哈三中2025—2026學(xué)年度上學(xué)期

高三學(xué)年期中考試

數(shù)學(xué)試卷

考試說明：(1)本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.

考試時間為120分鐘；

(2)第I卷，第Ⅱ卷試題答案均答在答題卡上，交卷時只交答題卡.

第I卷(選擇題，共58分)

一、選擇題(共58分)

(一)單項選擇題(共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的)

1.已知復(fù)數(shù)z=2-i,則z的虛部是

A.-1B.1C.-iD.i

2.向量a=(1,t),b=(-1,1),若a//b,則t=

A.±1B.1C.-1D.0

3.已知函數(shù)f(x)在[-3,3]上的大致圖象如圖所示，

則f(x)的解析式可能是

4

A.B.

2x

C.D.f(x)=x2cosx

4.已知a=(0,-1),b=(4,4),則a在b上的投影向量為

A.(0,4)B.(0,-4)C.

高三數(shù)學(xué)第1頁，共6頁

5.“Vx∈R,ax2+ax+2>0”的一個必要不充分條件是

A.a<0B.a≤0C.a>0D.a≥0

6.若,cosα-2sinβ=√2,sina+2cosβ=-1,則

B.D.

7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足,且f(1+x)+f(2-x)=2,

f(-1)=0,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列說法錯誤的是

A.3為f(x)的一個周期B.f(x)關(guān)于點(0,1)對稱

C.f'(x)是偶函數(shù)D.

8.已知圓錐底面半徑為3,母線長為5,在圓錐內(nèi)放置一個長方體，使其可以在圓錐

內(nèi)部隨意轉(zhuǎn)動，則該長方體體積最大值為

A.√3B.2√3C.3√3D.6√3

(二)多項選擇題(共3小題，每小題6分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.已知{a}為等差數(shù)列，其前n項和為S?,a?=12,S?=Sg,則下列結(jié)論正確的有

A.a?=0

B.S?=40

C.當(dāng)且僅當(dāng)n=6時，S最大

D.滿足S,>0的最大整數(shù)n為14

高三數(shù)學(xué)第2頁，共6頁

5.“Vx∈R,ax2+ax+2>0”的一個必要不充分條件是

A.a<0B.a≤0C.a>0D.a≥0

6.若,cosa-2sinβ=√2,sina+2cosβ=-1,則

B.D.

7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足,且f(1+x)+f(2-x)=2,

f(-1)=0,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列說法錯誤的是

A.3為f(x)的一個周期B.f(x)關(guān)于點(0,1)對稱

C.f'(x)是偶函數(shù)D.

8.已知圓錐底面半徑為3,母線長為5,在圓錐內(nèi)放置一個長方體，使其可以在圓錐

內(nèi)部隨意轉(zhuǎn)動，則該長方體體積最大值為

A.√3B.2√3C.3√3D.6√3

(二)多項選擇題(共3小題，每小題6分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為S,a=12,S?=S8,則下列結(jié)論正確的有

A.a?=0

B.S?=40

C.當(dāng)且僅當(dāng)n=6時，S,最大

D.滿足S,>0的最大整數(shù)n為14

高三數(shù)學(xué)第2頁，共6頁

10.已知函數(shù)

的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有

A.w=4

B.w=8

C.函數(shù)y=|f(x)|的圖象關(guān)于直線對稱

D.函數(shù)y=f(x)的圖象可由g(x)=4tanwx向右平移個單位長度得到

11.橢圓左右焦點分別為F,F?,雙曲線3(m>0,n>0)

與橢圓C的焦點相同，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，則下列結(jié)論正確的是

A.若

B.若則雙曲線C?的方程為

C.若△PFF?的內(nèi)切圓的圓心為I,則雙曲線的

離心率取值范圍是(1,5)

D.若PF?與y軸交于點Ω,F?Q平分∠PF?F?,則雙曲線的離心率大于2

第Ⅱ卷(非選擇題，共92分)

二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上)

12.S,為等比數(shù)列{an}的前n項和，若

13.已知函數(shù)在(0,2)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是__.

14.如圖，△ABC中，D,E是線段BC上的兩個點，△ADE為等邊三角

形，BD=9EC,則cos∠ABC=

高三數(shù)學(xué)第3頁，共6頁

三、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.已知函數(shù)f(x)=sinwx,w>0.

(1)若函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π,求函數(shù)在上的

值域；

(2)若w=1,在△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c,其中A滿足

AB·AC=4,求a的最小值.

16.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F(1,0),過點P(2,1)的直線1與拋物線交于

A,B兩點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)求|AF|·|BF|的最小值.

高三數(shù)學(xué)第4頁，共6頁

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,E為AD的中點，將△ABE沿BE翻

折至△PBE,使得平面PBE⊥平面BCDE.

(1)證明：平面PEC⊥平面PBE;

(2)設(shè)F為線段PC上的動點，求直線DF與平面PBC所成角正弦值的最大值.

c

18.已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a?=3,且a,a?,a?成等比數(shù)列，數(shù)列

{b?}的前n項和S,=2b,-1.

(1)求數(shù)列{an}和的通項公式；

(2)設(shè)cn=abn,T,為數(shù)列{c}的前n項和.

(i)求T;

(ii)若對于Vn∈N,恒成立，求實數(shù)t的最小值.

高三數(shù)學(xué)第5頁，共6頁

19.已知函數(shù)(a>0)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)f(x)的極大值為g(a),求g(a)的最小值；

(3)當(dāng)a=1時，若方程f'(x)=t恰有兩個不同的實數(shù)解x?,x?,

求證：

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哈三中2025-2026學(xué)年度上學(xué)期

高三學(xué)年期中考試數(shù)學(xué)答案

一、選擇題

1-5.BCBDD6-8.BDC

9.AB10.AC11.ACD

二、填空題

12.513.[-3,-2]14.

三、解答題

15.(1)值域為[-√3,2]

(2)a最小值為2√2

(1),w=2,f(x)=sin2x,(2分)

(4分)

y∈[-√3,2](6分)

(2)AB·AC=4>0,則則(8分)

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-8≥2bc-8=8(10分)

取等當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2√2(12分)

則a最小值為2√2(13分)

16.(1)y2=4x

(2)|AF|·|BF|最小值為

(1)·,p=2,y2=4x(3分)

(2)由于直線I與拋物線交于A,B兩點，則直線1不與x軸平行，設(shè)直線l:

x-2=m(y-1)(5分)

設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),則

|AF|·|BF|=(x?+1)(x?+1)=(my+3-m)(my?+3-m)(7分)

=m2y?y?+(3m-m2)(y+y?)+m2-6m+9

聯(lián)立得y2-4my+4m-8=0

△>0,則y?+y?=4m-8,y?y?=4m,(10分)

|AF||BF|=5m2-6m+9(12分)

,|AF|·|BF|最小值為(15分)

17.(1)證明略

②

(1)CE⊥BE(1分)

面PBE⊥面BCE,面PBE∩面BCE=BE,BE⊥CE,(3分)

CEc面BCE→CE⊥面PBE

CE⊥面PBE,CEc面PEC→面PBE⊥面PEC(4分)

(2)取BE中點O,作Ox//CD,作Oy//BC,以O(shè)P為z軸，建系如圖(6分)

設(shè)PF=λPC,則

(8分)

J

平面PBC法向量(10分)

設(shè)平面PBC與DF夾角為θ,

貝(13分)

則當(dāng)時，sinθ有最大值(15分)

18.(1)an=n+1,b?=2”-

(2)(i)T,=n·2”

(ii)

(1)a=n+1(2分),

b?=2”?1(4分)

(2)(i)T=2·2?+3·21+...+(n+1)·2”

2T,=2·21+3·22+...+(n+1)·2#+1(6分)

-T?=2·2?-(n+1)·2“+(2'+22+...+2”)(8分)

T?=n·2”(10分)

(12分)

(14分)

隨著n增大而增大，且n→+∞時，

則t最小值為·

19.(1)f'(x)=(e?-a)(x+1)

當(dāng)時，f'(x)≥0,f(x)在R上單調(diào)遞增(1分)

時，(一∞,Ina),(-1,+∞)上單調(diào)遞增(3分)

當(dāng)時，(-∞,-1),(lna,+00)上單調(diào)遞增(5分)

(2)