第1頁(yè)/共1頁(yè)紅嶺中學(xué)石廈初中部2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期初三年級(jí)入學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題）1.如圖所示的幾何體是由六個(gè)大小相同的小正方體組合而成的，它的俯視圖為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.【詳解】解：如圖所示幾何體的俯視圖是：故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.2.一元二次方程，配方后可變形為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】移項(xiàng)后，兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方可得．【詳解】解：移項(xiàng)得：x2-8x=1，配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程－配方法，熟練掌握解一元二次方程的常用方法和根據(jù)不同方程靈活選擇方法是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，與位似，原點(diǎn)O是位似中心．若，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出求出，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∵與位似，∴，∴與的位似比為1：3，∵點(diǎn)，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為，即F點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，9），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出與的位似比是解題的關(guān)鍵．4.如圖，菱形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H．連接，若，則菱形的面積為（）A.8 B.16 C.24 D.3【答案】B【解析】【分析】由中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)是斜邊的一半，，則，由菱形對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)可得，應(yīng)用菱形的面積等于兩條對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴菱形的面積．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和面積及直角三角形的性質(zhì)，合理利用菱形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．5.如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)及反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)，由正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)可知，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，再由確定圖像為正比例函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像下方的部分，找出其對(duì)應(yīng)的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及圖像交點(diǎn)特征、利用函數(shù)圖像交點(diǎn)求不等式解集等知識(shí)，熟練掌握正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6.下列命題正確的是（）A.對(duì)角線(xiàn)垂直的四邊形是菱形B.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形C.順次連結(jié)一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的是一個(gè)正方形，那么原四邊形一定是正方形D.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半【答案】D【解析】【分析】利用平行四邊形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面積計(jì)算方法等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、對(duì)角線(xiàn)垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；B、一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、順次連結(jié)一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的是一個(gè)正方形，那么原四邊形一定是對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直的四邊形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面積計(jì)算方法等知識(shí)．7.如圖，長(zhǎng)方形花圃面積為，它的一邊利用已有的圍墻（圍墻足夠長(zhǎng)），另外三邊所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是．處開(kāi)一門(mén)，寬度為．設(shè)的長(zhǎng)度是，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，柵欄的總長(zhǎng)度是，門(mén)寬度為，則三邊的總長(zhǎng)度是，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)度是，則的長(zhǎng)度是，列出方程為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列出方程．8.如圖，是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用勾股定理計(jì)算出△ABO的三邊，再判斷△ABO的形狀，最后利用正弦函數(shù)的定義即可．【詳解】解：如圖，連接．∵點(diǎn)O、A、B在格點(diǎn)上，∴，,．∵，∴．∴是直角三角形．∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了在直角三角形中求一個(gè)銳角的正弦，掌握勾股定理、直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9.如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1．則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.abc＜0 B.4ac﹣b2＞0C.c﹣a＞0 D.當(dāng)x＝﹣n2﹣2（n為實(shí)數(shù)）時(shí)，y≥c【答案】D【解析】【分析】由圖象開(kāi)口向上，可知a＞0，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知c＞0，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A錯(cuò)誤；根據(jù)一次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的交點(diǎn)，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故B錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸方程得到b=2a，當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故C錯(cuò)誤；當(dāng)x=-n2-2（n為實(shí)數(shù)）時(shí)，代入解析式得到y(tǒng)=ax2+bx+c=a（-n2-2）+b（-n2-2）=an2（n2+2）+c，于是得到y(tǒng)=an2（n2+2）+c≥c，故D正確．【詳解】解：由圖象開(kāi)口向上，可知a＞0，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知c＞0，又對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A錯(cuò)誤；∴一次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）圖象與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B錯(cuò)誤；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C錯(cuò)誤；當(dāng)x＝﹣n2﹣2（n為實(shí)數(shù)）時(shí)，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)D象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10.如圖，正方形中，E為的中點(diǎn)，于M，交于N，交于F．連接．有如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（）A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)【答案】B【解析】【分析】①先由余角的性質(zhì)得出，根據(jù)“”可證；②根據(jù)，推出，可判斷；④連接CF，再設(shè)，即可得出與的比值即可；③延長(zhǎng)與交于G，得出，由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得；⑤進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】解：①∵是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，故①正確；②連接，∵是正方形，∴，∵點(diǎn)F在線(xiàn)段上，∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤；④連接，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，則，，∴，∴，∴，故④正確；③延長(zhǎng)與交于G，則，根據(jù)④的結(jié)論F為中點(diǎn)，即，在與中，，∴，∴，又，∴，∵于M，∴，∴是直角三角形，∴，故③正確；⑤∵，∴，因此，故⑤正確．所以正確的有①③④⑤共4個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)問(wèn)題，在解題時(shí)要注意全等三角形、相似等知識(shí)的綜合利用，綜合運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共5小題）11.如果，那么______．【答案】【解析】【分析】先由已知條件式得到，再利用分離常數(shù)法得到，由此即可得到，即可利用分離常數(shù)法得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，利用分離常數(shù)法求解是解題的關(guān)鍵．12.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)競(jìng)選班長(zhǎng)，副班長(zhǎng)，請(qǐng)問(wèn)最后甲乙搭檔班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)的概率為_(kāi)____．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果數(shù)，找出甲乙搭檔班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲乙搭檔班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)的有2種，則最后甲乙搭檔班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)的概率為＝；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．13.如圖，斜坡的坡度，坡腳B處有一棵樹(shù)、某一時(shí)刻測(cè)得樹(shù)在斜坡上的影子的長(zhǎng)度為10米．這時(shí)測(cè)得太陽(yáng)光線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角為．則樹(shù)的高度為_(kāi)_________米．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意首先利用勾股定理得出的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，∵斜坡的坡度，∴設(shè)，則米，∴，解得：，故，，∵測(cè)得太陽(yáng)光線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角為，∴，解得：，故（米），故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及勾股定理，正確得出的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．14.如圖，平行四邊形的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸上，與y軸交于點(diǎn)E，若，則k的值為_(kāi)______．【答案】6【解析】【分析】過(guò)A向x軸作垂線(xiàn)，垂足為F，得到ABOF為矩形，又ABCD為平行四邊形，，可得到平行四邊形ABCD為6，根據(jù)平行四邊形ABCD的面積等于矩形ABOF的面積，可得出k的值．【詳解】解：過(guò)A向x軸作垂線(xiàn)，垂足為F，∴可得ABOF為矩形，又ABCD為平行四邊形，∴，∴S平行四邊形ABCD=6，又S平行四邊形ABCD=S矩形ABOF=6，∴k=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形中三角形與平行四邊形面積關(guān)系，反比例函數(shù)中k的幾何意義問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于找出三角形BCE與平行四邊形ABCD面積的關(guān)系，根據(jù)k的幾何意義求出k的值．15.如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AC和CD中點(diǎn)，連接BE，EF，BF，若CD＝8，則BEF的面積是_____．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BF于H，利用三角形的中位線(xiàn)定理以及直角三角形斜邊中線(xiàn)定理證明△BFE是頂角為120°的等腰三角形即可解決問(wèn)題．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BF于H．∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，∴AD=AC=4∵DF=FC，AE=EC，∴EF=AD=2，EF//AD，∴∠FEC=∠DAC=90°，∵∠ABC=90°，AE=EC，∴BE=AE=EC=2，∴EF=BE=2，∵∠BAD=105°，∠DAC=90°，∴∠BAE=105°-90°=15°，∴∠EAB=∠EBA=15°，∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，∴∠FEB=90°+30°=120°，∴∠EFB=∠EBF=30°，∵EH⊥BF，∴EH=EF=，F(xiàn)H=EH=，∴BF=2FH=2，S△EFB=故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線(xiàn)定理，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．三、解答題16.計(jì)算：．【答案】6【解析】【分析】分別計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、去絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值，然后按照去括號(hào)、先乘除后加減的順序依次計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，包含零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值四類(lèi)運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算的運(yùn)算法則以及整體的運(yùn)算順序是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17.解方程：（1）（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先移項(xiàng)，再根據(jù)因式分解法解方程即可；（2）直接根據(jù)公式法求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：移項(xiàng)得，因式分解得，即，∴；【小問(wèn)2詳解】解：，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．18.為了傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，我市某中學(xué)舉行“漢字聽(tīng)寫(xiě)”比賽．賽后整理參賽學(xué)生的成績(jī)，將學(xué)生的成績(jī)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，并將結(jié)果繪制成圖1的條形統(tǒng)計(jì)圖和圖2扇形統(tǒng)計(jì)圖，但均不完整．請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題：（1）參加比賽的學(xué)生共有______名，并補(bǔ)全圖1的條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在圖2扇形統(tǒng)計(jì)圖中，m的值為_(kāi)_____，表示D等級(jí)的扇形的圓心角為_(kāi)_____；（3）組委會(huì)決定從本次比賽獲得A等級(jí)的學(xué)生中，選出2名去參加全市中學(xué)生“漢字聽(tīng)寫(xiě)”大賽．已知A等級(jí)學(xué)生中男生有1名，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求出所選2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）20；形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析（2）40，72°（3）【解析】【分析】（1）用A等級(jí)的人數(shù)除以其所占比例即可得到總參賽人數(shù)，用總?cè)藬?shù)減去A、C、D等級(jí)人數(shù)和即可得到B等級(jí)人數(shù)，按要求補(bǔ)全條形圖；（2）用C等級(jí)人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求出m的值，用D等級(jí)人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以360°即可求解；（3）采用列表法列舉即可求解．【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意得：3÷15%＝20（人），即參賽學(xué)生共20人，則B等級(jí)人數(shù)（人）．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：【小問(wèn)2詳解】C等級(jí)的百分比為，即m＝40，表示D等級(jí)的扇形的圓心角為，故答案為：40，72°．【小問(wèn)3詳解】列表如下：男女女男（男，女）（男，女）女（女，男）（女，女）女（女，男）（女，女）所有等可能的結(jié)果有6種，其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種，則P（恰好是一名男生和一名女生）．【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)以及采用列舉法求解概率的知識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．19.如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)．（1）求k與m的值；（2）為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APB的面積為時(shí)，求a的值．【答案】（1）k的值為，的值為6（2）或【解析】【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式可得答案；（2）先求解．由為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，可得．由，建立方程求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：把代入，得．∴．把代入，得．∴．把代入，得．∴k的值為，的值為6．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，．∴．∵為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，∴．∴，．∵，∴．∴或．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想，建立方程都是解本題的關(guān)鍵．20.山清水秀的東至縣三條嶺已成為游客最喜歡的旅游地之一，其中“蔡嶺”在2019年“五一”小長(zhǎng)假期間，接待游客達(dá)2萬(wàn)人次，預(yù)計(jì)在2021年“五一”小長(zhǎng)假期間，接待游客2.88萬(wàn)人次，在蔡嶺，一家特色小面店希望在“五一”小長(zhǎng)假期間獲得好的收益，經(jīng)測(cè)算知，該小面成本價(jià)為每碗10元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn)，若每碗賣(mài)15元，平均每天將銷(xiāo)售120碗，若價(jià)格每提高0.5元，則平均每天少銷(xiāo)售4碗，每天店面所需其他各種費(fèi)用為168元．（1）求出2019至2021年“五一”小長(zhǎng)假期間游客人次的年平均增長(zhǎng)率；（2）為了更好地維護(hù)東至縣形象，物價(jià)局規(guī)定每碗售價(jià)不得超過(guò)20元，則當(dāng)每碗售價(jià)定為多少元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天凈利潤(rùn)600元？（凈利潤(rùn)＝總收入﹣總成本﹣其它各種費(fèi)用）【答案】（1）20%；（2）18元【解析】【分析】（1）可設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)等量關(guān)系：2019年五一長(zhǎng)假期間，接待游客達(dá)209萬(wàn)人次，在2021年五一長(zhǎng)假期間，接待游客將達(dá)2.88萬(wàn)人次，列出方程求解即可；（2）可設(shè)每碗售價(jià)定為y元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤(rùn)600元，根據(jù)利潤(rùn)的等量關(guān)系列出方程求解即可．【詳解】解：（1）可設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，依題意，得：2（1＋x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：年平均增長(zhǎng)率為20%；（2）設(shè)每碗售價(jià)定為y元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤(rùn)600元，依題意得：（y﹣10）·[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，解得：y1＝18，y2＝22，∵每碗售價(jià)不得超過(guò)20元，∴y＝18．答：當(dāng)每碗售價(jià)定為18元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤(rùn)600元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．21.如圖，AB是的直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且．（1）求證：為的切線(xiàn)；（2）連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接AG．若，，求AG的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．由，，可得，由是的直徑，D是的中點(diǎn)，，進(jìn)而可得，即可證明CF為的切線(xiàn)；方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)．同方法一證明，即可證明CF為的切線(xiàn)；（2）方法一：如圖3，過(guò)G作，垂足為H．設(shè)的半徑為r，則．在Rt△OCF中，勾股定理求得，證明，得出，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)勾股定理即可求得；方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得．，D是的中點(diǎn)，可得，根據(jù)勾股定理即可求得．【小問(wèn)1詳解】（1）方法一：如圖1，連接OC，OD．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵是的直徑，D是的中點(diǎn)，∴．∴．∴，即．∴．∴CF為的切線(xiàn)．方法二：如圖2，連接OC，BC．設(shè)．∵AB是直徑，D是的中點(diǎn)，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∵AB是的直徑，∴．∴．∴，即．∴．∴CF為的切線(xiàn)．【小問(wèn)2詳解】解：方法一：如圖3，過(guò)G作，垂足為H．設(shè)的半徑為r，則．在Rt△OCF中，，解之得．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∵G為BD中點(diǎn)，∴．∴，．∴．∴．方法二：如圖4，連接AD．由方法一，得．∵AB是的直徑，∴．∵，D是的中點(diǎn)，∴．∵G為BD中點(diǎn)，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定，勾股定理，相似三角形的性