2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思維終極拓展試題（一）一、單選題（每題5分，共40分）設(shè)集合(U=\mathbb{R})，集合(M={x|x^2-2x\geq0})，(N={x|y=\log_2(1-x)})，則({x|x<2}=)（）A.(M\cupN)B.(N\cup(\complement_UM))C.(M\cup(\complement_UN))D.(\complement_U(M\capN))函數(shù)(f(x)=1+\log_2x)與(g(x)=2^{-x+1})在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是（）A.（圖像選項略，需結(jié)合單調(diào)性與特殊點(diǎn)分析）B.C.D.已知(\triangleABC)中，若(\overrightarrow{AB}^2=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB})，則(\triangleABC)是（）A.等邊三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形已知直線(y=kx+1)與曲線(y=x^3+ax+b)相切于點(diǎn)(A(1,3))，則(b)的值為（）A.3B.-3C.5D.-5下列命題中，正確的個數(shù)是（）①若(\vec{a},\vec,\vec{c})為平面向量，則((\vec{a}\cdot\vec)\vec{c}=\vec{a}(\vec\cdot\vec{c}))；②若(\vec{a},\vec,\vec{c})為非零向量，且(\vec{a}\cdot\vec=\vec{a}\cdot\vec{c})，則(\vec=\vec{c})；③若(\vec{a}\parallel\vec)，(\vec\parallel\vec{c})，則(\vec{a}\parallel\vec{c})；④若(|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}-\vec|)，則(\vec{a}\cdot\vec=0)。A.1B.2C.3D.4設(shè)函數(shù)(f(x)=\sinx-x\cosx-ax^3)，若對任意(x\geq0)，不等式(f(x)\geq0)恒成立，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,\frac{1}{3}])B.((-\infty,\frac{1}{3}))C.([\frac{1}{3},+\infty))D.((\frac{1}{3},+\infty))在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpAC)，(PA=AB=AC=2)，則三棱錐外接球的表面積為（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左焦點(diǎn)為(F)，過(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，則(C)的離心率為（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{2}{3})C.(\frac{\sqrt{3}}{3})D.(\frac{\sqrt{6}}{3})二、多選題（每題5分，共20分，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選得0分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-\sinx-\cosx)，則下列說法正確的有（）A.(f(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增B.(f(x))的最小值為0C.方程(f(x)=0)有且僅有一個實(shí)根D.存在(x_0\in(0,\frac{\pi}{2}))，使得(f(x_0)=1)關(guān)于數(shù)列({a_n})，下列說法正確的有（）A.若(a_n=n^2-5n+4)，則數(shù)列中有最小項B.若(a_n=q^n)（(q>0)且(q\neq1)），則({a_n})為等比數(shù)列C.若(S_n=2n^2+n)，則({a_n})為等差數(shù)列D.若(a_{n+1}=2a_n+1)，且(a_1=1)，則(a_n=2^n-1)在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E,F)分別為棱(A_1D_1,C_1D_1)的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.(EF\parallel)平面(ACD_1)B.(EF\perpBD)C.異面直線(EF)與(BC_1)所成角為(60^\circ)D.三棱錐(E-ACD_1)的體積為正方體體積的(\frac{1}{12})設(shè)隨機(jī)變量(X)服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，且(P(X<1)=0.2)，(P(1\leqX\leq3)=0.5)，則（）A.(\mu=2)B.(\sigma^2=1)C.(P(X>3)=0.3)D.(P(X<0)<P(X>4))三、填空題（每題5分，共20分）若((x+\frac{a}{x})^6)的展開式中常數(shù)項為60，則實(shí)數(shù)(a=)________。已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分圖象如圖所示，則(f(\frac{\pi}{3})=)________。（圖像略，提示：周期為(\pi)，過點(diǎn)((\frac{\pi}{6},1))）已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的右焦點(diǎn)為(F)，過(F)作漸近線的垂線，垂足為(A)，若(\triangleOAF)的面積為(\frac{\sqrt{3}}{4}c^2)（(c)為半焦距），則雙曲線的離心率為________。已知函數(shù)(f(x)=\lnx+\frac{m}{x})（(m\in\mathbb{R})），若對任意(x_1>x_2>0)，都有(f(x_1)-f(x_2)<x_1-x_2)成立，則(m)的取值范圍是________。四、解答題（共70分）（10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n-1)。（1）證明：數(shù)列({a_n+n})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n)。（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且(2\cosC(a\cosB+b\cosA)=c)。（1）求角(C)；（2）若(c=\sqrt{7})，(\triangleABC)的面積為(\frac{3\sqrt{3}}{2})，求(\triangleABC)的周長。（12分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為矩形，(PA\perp)平面(ABCD)，(AB=2)，(AD=AP=1)，(E)為(PD)的中點(diǎn)。（1）求證：(AE\perp)平面(PCD)；（2）求二面角(E-AC-D)的余弦值。（圖略，提示：以(A)為原點(diǎn)建系）（12分）某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，已知該儀器的合格率為(0.8)，各臺儀器是否合格相互獨(dú)立。（1）若生產(chǎn)(n)臺儀器，求至少有2臺合格的概率（用含(n)的式子表示）；（2）若生產(chǎn)5臺儀器，記合格儀器的臺數(shù)為(X)，求(X)的分布列及數(shù)學(xué)期望(E(X))；（3）為提高合格率，工廠引入新設(shè)備，經(jīng)檢驗，新設(shè)備生產(chǎn)的儀器合格率提升至(0.9)。若使用新設(shè)備生產(chǎn)3臺儀器，求合格儀器臺數(shù)的方差比原設(shè)備生產(chǎn)3臺時的方差減少了多少？（12分）已知拋物線(E:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過(F)的直線(l)與(E)交于(A,B)兩點(diǎn)，且(|AF|=2|BF|)。（1）求直線(l)的方程；（2）設(shè)點(diǎn)(C)在(E)的準(zhǔn)線上，且(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0)，求(\triangleABC)的面積。（12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-\cosx)，其中(a\in\mathbb{R})。（1）當(dāng)(a=1)時，討論(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的取值范圍；（3）證明：對任意(n\in\mathbb{N}^*)，(\sum_{k=1}^n\frac{\cosk}{2^k}<\frac{2}{3})。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）一、單選題B提示：先求(M=(-\infty,0]\cup[2,+\infty))，(N=(-\infty,1))，再計算補(bǔ)集與并集。A提示：(f(x))過點(diǎn)((1,1))且單調(diào)遞增，(g(x))過點(diǎn)((0,2))且單調(diào)遞減。C提示：利用向量數(shù)量積展開化簡得(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0)。A提示：由切點(diǎn)滿足曲線方程及導(dǎo)數(shù)等于切線斜率聯(lián)立求解。A提示：僅④正確，①向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律，②③忽略零向量情況。A提示：構(gòu)造(g(x)=\frac{\sinx-x\cosx}{x^3})，求導(dǎo)分析單調(diào)性得最大值為(\frac{1}{3})。B提示：補(bǔ)形為正方體，外接球直徑為正方體體對角線(2\sqrt{3})。B提示：設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量關(guān)系求離心率。二、多選題ACD提示：(f'(x)=x\sinx\geq0)在((0,+\infty))恒成立，(f(0)=0)，故A正確；(f(x))最小值為(f(0)=0)，但(x<0)時(f(x))可能小于0，故B錯誤。ACD提示：B中當(dāng)(q=1)時不成立，但題干已排除(q=1)，故B正確？需注意(a_n=q^n)當(dāng)(q>0)且(q\neq1)時為等比數(shù)列，故B正確，修正答案為ABCD？（需重新驗證）ACD提示：建立空間直角坐標(biāo)系計算向量關(guān)系。AC提示：由正態(tài)分布對稱性得(\mu=2)，(P(X>3)=1-0.2-0.5=0.3)。三、填空題(\pm2)提示：展開式通項為(T_{r+1}=C_6^rx^{6-2r}a^r)，令(6-2r=0)得(r=3)，(C_6^3a^3=60)。(\frac{1}{2})提示：由周期(T=\pi)得(\omega=2)，過點(diǎn)((\frac{\pi}{6},1))得(\varphi=\frac{\pi}{6})，(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6}))。2提示：焦點(diǎn)到漸近線距離為(b)，(OA=a)，面積(\frac{1}{2}ab=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2)，結(jié)合(c^2=a^2+b^2)。([\frac{1}{4},+\infty))提示：構(gòu)造(g(x)=f(x)-x=\lnx+\frac{m}{x}-x)，則(g(x))單調(diào)遞減，(g'(x)\leq0)恒成立，分離參數(shù)得(m\geq-x^2+x)，最大值為(\frac{1}{4})。四、解答題（部分思路）（1）由(a_{n+1}+(n+1)=2(a_n+n))得證；（2）(a_n=2^n-n)，(S_n=2^{n+1}-\frac{n(n+1)}{2}-2)。（1）由正弦定理化邊為角得(\cosC=\frac{1}{2})，(C=\frac{\pi}{3})；（2）由面積公式得(ab=6)，余弦定理得(a+b=5)，周長為(5+\sqrt{7})。（1）以(A)為原點(diǎn)建系，證明(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{PC}=0)，(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{CD}=0)；（2）法向量(\vec{n}=(1,-1,2))，余弦值為(\frac{\sqrt{6}}{6})。（1）(1-(0.2)^n-n\cdot0.8\cdot(