2025年下學期高三數(shù)學數(shù)學語言表達思想試題（二）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.數(shù)學概念辨析已知集合(A={x|y=\ln(x^2-3x+2)})，集合(B={x|2^x\leq4})，則“(x\inA)”是“(x\in\complement_{\mathbf{R}}B)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件考查要求：需用集合語言描述定義域求解過程，通過邏輯聯(lián)結詞“充分”“必要”分析條件關系，體現(xiàn)數(shù)學表達的嚴謹性。2.函數(shù)圖像與反函數(shù)函數(shù)(f(x)=\frac{2x-1}{x+1})（(x\neq-1)）的圖像與其反函數(shù)(f^{-1}(x))的圖像交點坐標為（）A.((1,1))B.((1,1))和((-1,-1))C.((2,\frac{3}{2}))D.不存在交點考查要求：需寫出反函數(shù)求解步驟，通過圖像對稱性分析交點存在性，用數(shù)學符號語言表達定義域對結果的限制。3.立體幾何與空間向量在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(E)為棱(CC_1)的中點，平面(AED_1)與平面(ABCD)所成銳二面角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{3})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})考查要求：需建立空間直角坐標系，用向量語言描述平面法向量的求解過程，明確二面角與法向量夾角的關系。4.概率統(tǒng)計與貝葉斯定理某醫(yī)院使用新型試劑盒檢測新冠病毒，已知感染患者檢測陽性的概率為98%，未感染患者檢測陰性的概率為95%。若該地區(qū)新冠感染率為0.1%，則當某人檢測結果為陽性時，其實際感染病毒的概率約為（）A.1.9%B.16.5%C.98%D.99.9%考查要求：需用條件概率公式(P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)})表達推理過程，結合現(xiàn)實情境解釋結果的實際意義。5.圓錐曲線與參數(shù)方程已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的右焦點為(F)，過(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與(C)交于(A,B)兩點，若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，則橢圓(C)的離心率為（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\frac{2}{3})D.(\frac{\sqrt{5}}{3})考查要求：需用參數(shù)方程或韋達定理表達線段關系，通過向量語言轉化幾何條件，體現(xiàn)代數(shù)與幾何的融合。6.數(shù)學文化與數(shù)列《九章算術》中有“竹九節(jié)”問題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容三升。問中間二節(jié)欲均容各多少？”意思是：現(xiàn)有9節(jié)竹子，下3節(jié)總容量為4升，上4節(jié)總容量為3升，若每節(jié)容量自上而下成等差數(shù)列，則中間兩節(jié)（第5節(jié)和第6節(jié)）的容量之和為（）A.(\frac{67}{66})升B.(\frac{7}{6})升C.(\frac{47}{44})升D.(\frac{11}{10})升考查要求：需用等差數(shù)列通項公式表示“竹節(jié)容量”，通過數(shù)學建模將古文描述轉化為方程問題，體現(xiàn)數(shù)學文化的應用價值。7.導數(shù)應用與優(yōu)化問題某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為(C(x)=x^3-6x^2+15x+10)（萬元），收入函數(shù)為(R(x)=20x-x^2)（萬元），其中(x)為產(chǎn)量（千件）。若要使利潤最大，則產(chǎn)量(x)應定為（）A.2千件B.3千件C.4千件D.5千件考查要求：需寫出利潤函數(shù)表達式，通過導數(shù)符號語言分析單調(diào)性，用數(shù)學語言解釋“極值點”與“最值點”的關系。8.復數(shù)與幾何意義設復數(shù)(z)滿足(|z-2i|=1)，則(|z+1|)的最小值為（）A.(\sqrt{5}-1)B.(\sqrt{5}+1)C.2D.3考查要求：需用復數(shù)的幾何意義描述軌跡方程，通過數(shù)形結合語言解釋“距離最小值”的求解邏輯。9.數(shù)據(jù)分析與回歸方程某公司2020-2024年的年銷售額(y)（百萬元）與年份代碼(x)（2020年為(x=1)）的關系如下表：(x)12345(y)2.53.04.04.56.0若用線性回歸模型(\hat{y}=\hatx+\hat{a})擬合數(shù)據(jù)，則2025年（(x=6)）銷售額的預測值為（）A.6.8百萬元B.7.2百萬元C.7.5百萬元D.8.0百萬元考查要求：需用公式計算回歸系數(shù)(\hat)和(\hat{a})，通過數(shù)學語言說明“線性回歸”的適用條件，體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析能力。10.開放探究與邏輯推理已知函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx)，(g(x)=\sinx-\cosx)，則下列結論正確的是（）①函數(shù)(f(x))與(g(x))的圖像關于(x)軸對稱②存在(x_0\in\mathbf{R})，使得(f(x_0)=g(x_0))③函數(shù)(f(x)g(x))的最小正周期為(\pi)A.①②B.②③C.①③D.①②③考查要求：需對每個結論進行獨立證明或證偽，用數(shù)學符號語言表達推理過程，體現(xiàn)邏輯思維的嚴密性。二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11.多空題（三角與向量綜合）已知向量(\boldsymbol{a}=(\sin\theta,\cos\theta))，(\boldsymbol=(2,-1))，若(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol)，則(\tan\theta=)；此時(\sin2\theta=)?？疾橐螅盒栌孟蛄看怪钡某湟獥l件建立方程，通過三角恒等變換求解，體現(xiàn)知識的串聯(lián)性。12.數(shù)列與數(shù)學歸納法在數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則通過歸納推理可得通項公式(a_n=)，并用數(shù)學歸納法證明時，當假設(n=k)時命題成立，則需證明(n=k+1)時，(a{k+1}=)_?？疾橐螅盒栌脷w納語言描述遞推關系，明確數(shù)學歸納法的“歸納奠基”與“歸納遞推”步驟。13.立體幾何與體積計算已知三棱錐(P-ABC)的四個頂點都在球(O)的球面上，(PA\perp)平面(ABC)，(PA=2)，(AB=AC=1)，(\angleBAC=120^\circ)，則球(O)的體積為______。考查要求：需用幾何語言描述外接球的球心位置，通過勾股定理求解半徑，體現(xiàn)空間想象能力。14.概率與期望同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，記“向上的點數(shù)之和為偶數(shù)”為事件(A)，“向上的點數(shù)之差的絕對值為1”為事件(B)，則(E(B|A)=)______（其中(E(B|A))表示在事件(A)發(fā)生的條件下事件(B)的數(shù)學期望）?？疾橐螅盒栌脳l件概率公式計算樣本空間，通過分布列語言表達期望的求解過程。15.圓錐曲線與軌跡方程已知點(M)為拋物線(y^2=4x)上一動點，點(N)為圓((x-2)^2+y^2=1)上一動點，則(|MN|)的最小值為______。考查要求：需用幾何語言描述“動點距離最小值”的轉化過程，通過拋物線定義簡化計算。16.數(shù)學建模與開放探究某城市為緩解交通擁堵，計劃在兩條互相垂直的主干道(l_1)（東西方向）和(l_2)（南北方向）的交點(O)處建造一個圓形環(huán)島，環(huán)島半徑為(r)。若要求從(l_1)上任一點(A)出發(fā)，經(jīng)過環(huán)島圓弧到達(l_2)上任一點(B)，且路徑(A\to)環(huán)島(\toB)的總長度最短，則該最短路徑對應的圓心角(\theta=)______（用弧度制表示）。考查要求：需用數(shù)學建模語言描述“路徑最短”問題，通過函數(shù)求導或幾何對稱思想求解，體現(xiàn)模型構建能力。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.三角函數(shù)與解三角形（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})。（1）求(\sinC)的值；（2）若(c=14)，求(\triangleABC)的面積?？疾橐螅盒栌萌呛愕茸儞Q公式推導(\sinC)，通過正弦定理建立方程，用數(shù)學語言規(guī)范書寫“邊角互化”過程。18.數(shù)列與不等式證明（12分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，滿足(S_n=2a_n-n)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）證明：對任意(n\in\mathbf{N}^*)，(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<1)?？疾橐螅盒栌?a_n=S_n-S_{n-1})推導遞推關系，通過放縮法證明不等式，用數(shù)學歸納法或裂項相消法表達推理邏輯。19.立體幾何與空間向量（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=AA_1=2)，(\angleACB=90^\circ)，點(D,E)分別為棱(A_1B_1,BB_1)的中點。（1）求證：(DE\parallel)平面(A_1BC)；（2）求二面角(A_1-DC-E)的余弦值?？疾橐螅盒栌每臻g向量語言證明線面平行，通過法向量夾角求解二面角，明確“建系—求向量—算夾角”的步驟表達。20.概率統(tǒng)計與數(shù)學建模（12分）某電商平臺為提升用戶滿意度，隨機抽取100名用戶進行調(diào)查，得到用戶對“物流速度”和“售后服務”的評分數(shù)據(jù)如下表（評分均為整數(shù)，滿分10分）：售后服務評分物流速度評分1-5分（不滿意）6-8分（一般）9-10分（滿意）合計1-5分（不滿意）1052176-8分（一般）83015539-10分（滿意）2101830合計204535100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認為用戶對“物流速度”的滿意度與對“售后服務”的滿意度有關？（參考公式：(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)；臨界值：(\chi^2_{0.05}=3.841)）（2）若從“物流速度不滿意”的用戶中隨機抽取2人，記其中“售后服務不滿意”的人數(shù)為(X)，求(X)的分布列和數(shù)學期望?？疾橐螅盒栌锚毩⑿詸z驗公式計算(\chi^2)值，通過分布列語言描述隨機變量取值，體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析與模型檢驗能力。21.圓錐曲線與綜合應用（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過點(P(0,2))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，是否存在直線(l)，使得以(AB)為直徑的圓過原點？若存在，求出直線(l)的方程；若不存在，說明理由?？疾橐螅盒栌么ㄏ禂?shù)法求橢圓方程，通過向量數(shù)量積語言描述“直徑圓過原點”的條件，體現(xiàn)分類討論思想。22.函數(shù)與導數(shù)的開放探究（12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbf{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若對任意(x\geq0)，(f(x)\geq\frac{1}{2}x^2)恒成立，求(a)的取值范圍；（3）請選擇以下兩個觀點中的一個，結合（1）（