27/271.1集合目錄01課標(biāo)要求 202落實(shí)主干知識(shí) 3一、集合的含義與表示 3二、集合間的基本關(guān)系 3三、集合的基本運(yùn)算 3四、常用二級(jí)結(jié)論 403探究核心題型 5題型一：集合的含義與表示 5題型二：元素與集合的基本關(guān)系 5題型三：集合元素的特征 6題型四：集合間的基本關(guān)系 7題型五：集合的基本運(yùn)算 7題型六：集合與排列組合的綜合應(yīng)用 8題型七：韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算 9題型八：容斥問(wèn)題 10題型九：集合中的創(chuàng)新問(wèn)題 11

1、了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2、理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3、會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.4、能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言描述不同的具體問(wèn)題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.

一、集合的含義與表示1、元素與集合：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱元素；把一些元素組成的總體叫做集合．集合中的元素具有：確定性，互異性，無(wú)序性．2、元素與集合的關(guān)系：，；3、集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.4、常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或二、集合間的基本關(guān)系（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.三、集合的基本運(yùn)算1、①并集：；②交集：；③補(bǔ)集：．④全集：一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作2、運(yùn)算律①交換律，；②結(jié)合律，；③分配律，；④德摩根律，.四、常用二級(jí)結(jié)論（1）若集合中有個(gè)元素，則集合的所有子集個(gè)數(shù)為，所有非空子集的個(gè)數(shù)是，所有真子集的個(gè)數(shù)是，所有非空真子集的個(gè)數(shù)是．（2）包含關(guān)系的各種等價(jià)表示：①；②；③；④；⑤．（3）容斥原理．（4）牢記兩個(gè)注意點(diǎn)①在應(yīng)用條件時(shí)要樹(shù)立分類討論的思想，將集合A是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.②在解答集合問(wèn)題時(shí)，要注意集合元素的特性，特別是互異性對(duì)集合元素的限制.

題型一：集合的含義與表示【例1】（2025·重慶·三模）已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧與總結(jié)】(1)確定集合中的代表元素.(2)確定元素的限制條件.(3)理解元素的互異性，在解決集合中含有字母的問(wèn)題時(shí)，一定要返回代入驗(yàn)證，防止與集合中元素的互異性相矛盾.【變式1-1】（2025·廣東揭陽(yáng)·二模）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．9 C．11 D．13【變式1-2】（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有、、、四個(gè)數(shù)，從這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不同的數(shù)（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）已知集合，，，則集合C的子集有（

）A．64個(gè) B．63個(gè) C．16個(gè) D．15個(gè)題型二：元素與集合的基本關(guān)系【例2】（2025·重慶·二模）已知全集，集合滿足，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】明確元素與集合的“屬于”或“不屬于”關(guān)系。判斷時(shí)，看元素是否滿足集合定義條件。若滿足，則元素屬于該集合；若不滿足，則不屬于。此關(guān)系用于界定元素與集合的歸屬，是集合論的基礎(chǔ)?！咀兪?-1】（2025·遼寧·二模）設(shè)集合.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2025·河南·三模）已知集合，，則（

）．A． B． C． D．【變式2-3】（2025·陜西漢中·二模）已知集合，則（

）A． B． C． D．題型三：集合元素的特征【例3】（2025·廣東深圳·二模）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A． B．0 C．1 D．【方法技巧與總結(jié)】利用集合元素的特征：確定性、無(wú)序性、互異性．【變式3-1】（2025·高三·安徽宣城·期末）已知集合，，若，則a的值是（

）A．1或2 B．或0 C．1 D．【變式3-2】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則中所有元素之和為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-3】已知集合若，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或題型四：集合間的基本關(guān)系【例4】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）在判定兩個(gè)集合之間的關(guān)系時(shí)，我們通常會(huì)采用兩種主要方法。第一種是邏輯分析法，此方法要求我們先對(duì)集合的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)處理，再通過(guò)分析化簡(jiǎn)后的表達(dá)式來(lái)明確兩個(gè)集合之間的邏輯關(guān)系。第二種方法則是列舉法，具體操作是分別將兩個(gè)集合中的所有元素列舉出來(lái)，然后通過(guò)對(duì)比這些元素來(lái)直觀地判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系。（2）已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀解決這類問(wèn)題.【變式4-1】（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（

）A． B． C． D．【變式4-2】（2025·河北保定·二模）已知集合，則的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．15【變式4-3】（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-4】（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，若集合，則的子集個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．4 D．8題型五：集合的基本運(yùn)算【例5】（2025·寧夏銀川·三模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】在處理集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，可視元素特性選擇合適表示方法。若元素為離散型，可借助Venn圖直觀展示集合關(guān)系；若元素連續(xù)分布，則宜用數(shù)軸表示，同時(shí)需特別留意數(shù)軸端點(diǎn)的包含或排除情況?！咀兪?-1】（2025·山西朔州·二模）若集合，則（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知全集，，則集合（

）A． B． C． D．【變式5-3】（2025·黑龍江遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式5-4】（多選題）（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知全集，集合，且滿足：，則下列說(shuō)法正確的為（

）A． B．C．集合可能是 D．題型六：集合與排列組合的綜合應(yīng)用【例6】（2025·北京朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，若集合A、B滿足：，則集合對(duì)共有（

）個(gè)．A．36 B．48 C．64 D．81【方法技巧與總結(jié)】在運(yùn)用排列與組合理論處理集合相關(guān)問(wèn)題，或求解集合中元素?cái)?shù)量時(shí)，關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的策略。通過(guò)深入剖析問(wèn)題本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為排列組合模型，從而高效地找到解決方案?！咀兪?-1】（2025·山西·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)從一含10個(gè)元素的集合的子集中隨機(jī)選出2個(gè)不同的子集，被選出的子集之間必須滿足包含或被包含的關(guān)系，則滿足該選取條件的選法有種.【變式6-2】設(shè)集合A是由所有滿足下面兩個(gè)條件的有序數(shù)組構(gòu)成：①；②；則集合A中的元素共有個(gè).【變式6-3】設(shè)集合，若I的非空子集滿足，我們稱有序集合對(duì)為I的“互斥集合對(duì)”，則集合I的“互斥集合對(duì)”的個(gè)數(shù)為.（用數(shù)字作答）題型七：韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算【例7】（2025·山東棗莊·二模）已知全集為，集合是的兩個(gè)子集，若，則下列運(yùn)算結(jié)果為的子集的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】Venn圖是一種借助平面幾何圖形來(lái)直觀表示集合的工具，通常以封閉曲線（多為矩形等）的內(nèi)部區(qū)域來(lái)代表集合。這種圖形化表達(dá)方式生動(dòng)形象，能將抽象的集合問(wèn)題具象化。借助Venn圖的直觀特性，可深入領(lǐng)會(huì)集合概念與運(yùn)算公式，清晰呈現(xiàn)集合間的關(guān)聯(lián)?！咀兪?-1】（2025·安徽合肥·三模）已知集合，則圖中陰影部分所示集合的元素個(gè)數(shù)為（

）

A．2 B．3 C．4 D．6【變式7-2】（2025·廣東佛山·二模）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）

A． B．C． D．【變式7-3】（多選題）（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）A． B．C． D．【變式7-4】（多選題）（2025·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知集合均為的子集，若，則（）A． B．C． D．題型八：容斥問(wèn)題【例8】（2025·江蘇·一模）我市某校共有1500名學(xué)生在學(xué)校用午餐，每次午餐只能選擇在樓上或樓下的一個(gè)食堂用餐，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)天在樓上食堂用午餐的學(xué)生中，有的學(xué)生第二天會(huì)到樓下食堂用午餐：而當(dāng)天在樓下食堂用午餐的學(xué)生中，有的學(xué)生第二天會(huì)到樓上食堂用樓午餐，則一學(xué)期后，在樓上食堂用午餐的學(xué)生數(shù)大約為（

）A．700 B．800 C．900 D．1000【方法技巧與總結(jié)】容斥原理．【變式8-1】（多選題）（2025·河北石家莊·三模）某?！拔逡惶飶竭\(yùn)動(dòng)會(huì)”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人【變式8-2】“運(yùn)動(dòng)改造大腦”，為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，某班學(xué)生積極參加學(xué)校組織的體育特色課堂，課堂分為球類項(xiàng)目A?徑賽項(xiàng)目B?其他健身項(xiàng)目C.該班有25名同學(xué)選擇球類項(xiàng)目A，20名同學(xué)選擇徑賽項(xiàng)目B，18名同學(xué)選擇其他健身項(xiàng)目C；其中有6名同學(xué)同時(shí)選擇A和名同學(xué)同時(shí)選擇A和C，3名同學(xué)同時(shí)選擇B和.若全班同學(xué)每人至少選擇一類項(xiàng)目且沒(méi)有同學(xué)同時(shí)選擇三類項(xiàng)目，則這個(gè)班同學(xué)人數(shù)是（

）A．51 B．50 C．49 D．48【變式8-3】學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，高三班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒(méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽.若從該班參加比賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行訪談，則抽取到的同學(xué)只參加田徑一項(xiàng)比賽的概率為（

）A． B． C． D．題型九：集合中的創(chuàng)新問(wèn)題【例9】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)剩余定理又稱“孫子剩余定理”，它是中國(guó)古代史上最有創(chuàng)造性的成就之一，其中“韓信點(diǎn)兵”“物不知數(shù)”等問(wèn)題的解法在數(shù)論中有相應(yīng)的推廣，數(shù)論中的形式表示和除以的余數(shù)相同．已知集合滿足，，．對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】數(shù)學(xué)思維創(chuàng)新代表著思維品質(zhì)的頂尖水準(zhǔn)，而在新高考命題趨勢(shì)中，以集合知識(shí)為載體的創(chuàng)新題型備受矚目。這類題目往往圍繞“問(wèn)題”展開(kāi)，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)“探究”過(guò)程，最終達(dá)成“發(fā)現(xiàn)”新知的成果，全面考察學(xué)生應(yīng)對(duì)創(chuàng)新問(wèn)題的理解力與解決能力?！咀?/p>