27/274.2簡單的三角恒等變換目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01課標(biāo)要求 202落實(shí)主干知識 3一、兩角和與差公式 3二、二倍角公式 3三、降冪公式 3四、升冪公式 3五、輔助角公式 4常用二級結(jié)論 403探究核心題型 6題型一：兩角和與差的三角函數(shù)公式 6題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用 7題型三：輔助角公式的多種應(yīng)用 7題型四：給值求值型問題 8題型五：給角求值型問題 8題型六：給值求角型問題 9題型七：正切恒等式的綜合應(yīng)用 10題型八：三角函數(shù)式的化簡 11題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用 1204好題賞析（一題多解） 15①數(shù)形結(jié)合 16②轉(zhuǎn)化與化歸 16③分類討論 1706課時精練（真題、模擬題） 18基礎(chǔ)過關(guān)篇 18能力拓展篇 201、會推導(dǎo)兩角差的余弦公式，會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.2、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用.3、能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡單的恒等變換.

一、兩角和與差公式①；③；②；④；⑤；變形公式：；⑥；變形公式：．二、二倍角公式①；②；③三、降冪公式①；②；③．四、升冪公式①，②；③，④．五、輔助角公式．①其中輔助角是由方程，，．決定②正弦在前，余弦在后（確保系數(shù)，不會弄反）③利用系數(shù)算出所填角度的正切，正弦（余弦），決定所填角度的確切象限.④保證，．常用二級結(jié)論1、積化和公式①②③2、和化積公式①②③④3、化簡小技巧：①1的代換：；②．4、兩角互組，兩角互補(bǔ)，兩角互余①兩角互組：②兩角互補(bǔ)：③兩角互余：

題型一：兩角和與差的三角函數(shù)公式【典例1-1】（2025·海南·模擬預(yù)測）若，且為銳角，為鈍角，則（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2025·高三·云南·期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.【變式1-1】（2025·廣東深圳·二模）若，，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】的值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2025·山東濰坊·二模）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，其終邊與圓交于點(diǎn)．若角終邊沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，交圓于點(diǎn)，則角可能為（

）A． B． C． D．題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用【典例2-1】（2025·廣西·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B．5 C． D．【典例2-2】（2025·云南·模擬預(yù)測）下列選項中，值為的是（

）A． B．C． D．【解題總結(jié)】逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.【變式2-1】（2025·江西·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2025·湖南長沙·三模）已知，，且，則（）A． B． C． D．【變式2-3】（2025·四川成都·模擬預(yù)測）已知，是第三象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2-4】（2025·河北·模擬預(yù)測）（

）A．2 B．1 C．0 D．-2題型三：輔助角公式的多種應(yīng)用【典例3-1】已知，則．【典例3-2】已知關(guān)于的方程在上有兩個不同的實(shí)數(shù)解，則這兩個解的和為【解題總結(jié)】對化簡時，要清楚如何求輔助角的值.【變式3-1】已知，則的值為.【變式3-2】（2025·高三·河北·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，，，則的最大值為.【變式3-3】（2025·高三·遼寧·開學(xué)考試）已知均為正數(shù)，，則的最大值為.題型四：給值求值型問題【典例4-1】（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測）已知，則的值為．【典例4-2】已知，滿足，，則．【解題總結(jié)】(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.(2)當(dāng)“已知角”有一個時，“所求角”一般表示為“已知角”與特殊角的和或差的形式，或者應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.【變式4-1】（2025·高三·廣東深圳·期末）已知，則．【變式4-2】已知，，，，則的值為．【變式4-3】若和都為銳角，，則.【變式4-4】已知，，，則.題型五：給角求值型問題【典例5-1】1551年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雷蒂庫斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割，余割和余切.在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與鄰邊的比，叫做的正割，用表示；其斜邊與對邊的比，叫做的余割，用表示；其鄰邊與對邊的比，叫做的余切，用表示，則（

）A．1 B． C．2 D．【典例5-2】（2025·湖南永州·模擬預(yù)測）的值為（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．【變式5-1】（2025·重慶·模擬預(yù)測）式子化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【變式5-2】．【變式5-3】求值：．【變式5-4】．題型六：給值求角型問題【典例6-1】已知，且，則（

）A． B． C． D．【典例6-2】已知，，，，則（

）A． B．或 C． D．或【解題總結(jié)】針對給定三角函數(shù)值來求解對應(yīng)角度的問題，其核心解決策略為：首先，依據(jù)已知條件計算出該待求角的某一特定三角函數(shù)（如正弦、余弦或正切等）的函數(shù)值；接著，結(jié)合題目所給信息明確待求角所在的取值范圍；最后，綜合運(yùn)用三角函數(shù)的圖象特征以及誘導(dǎo)公式等工具，準(zhǔn)確求出該角度的具體數(shù)值?！咀兪?-1】設(shè)是方程的兩根，且，則（

）A． B． C．或 D．【變式6-2】已知等差數(shù)列中，，，又，，其中，則的值為（

）A．或 B． C． D．【變式6-3】（2025·高三·河北·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【變式6-4】已知，且，，則（

）A． B． C． D．題型七：正切恒等式的綜合應(yīng)用【典例7-1】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）計算：（

）A． B．1 C． D．【典例7-2】（

）A．2 B．4 C． D．【解題總結(jié)】當(dāng)時，【變式7-1】（2025·江西·一模）化簡（

）A． B． C．1 D．【變式7-2】在中，，則（

）A． B． C． D．【變式7-3】（

）A． B．1 C． D．【變式7-4】（2025·河南·模擬預(yù)測）（

）A． B． C．1 D．2【變式7-5】（2025·全國·模擬預(yù)測）已知正項等差數(shù)列滿足，，則值為（

）A． B． C． D．題型八：三角函數(shù)式的化簡【典例8-1】（多選題）下列式子化簡正確的是（

）A． B．C． D．【典例8-2】（多選題）下列選項化簡值為1的有（

）A． B．C． D．【解題總結(jié)】(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點(diǎn).【變式8-1】（多選題）（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．【變式8-2】（多選題）下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．【變式8-3】（多選題）下列化簡結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．【變式8-4】（多選題）下列計算或化簡正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若為第二象限角，則題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用【典例9-1】（1）求證：；（2）已知，，求的值．【典例9-2】已知，，，，.(1)求，的值；(2)求的值.【解題總結(jié)】進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用.【變式9-1】已知．(1)求的值；(2)若，求的值．【變式9-2】已知，且均為銳角．(1)求的值；(2)求的值．【變式9-3】已知，為銳角，，．(1)求證：；(2)求的值．【變式9-4】已知函數(shù)（其中）的最小正周期為.(1)若，求的值；(2)已知，求的值.

1．已知，是函數(shù)在上的兩個零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．02．若，則（

）A． B． C． D．3．已知，，則

A．3 B． C． D．24．已知，，則

A． B． C． D．

①數(shù)形結(jié)合1．如圖所示，

A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)和第二象限內(nèi)的點(diǎn)都在單位圖O上，，，其中，，若，則的值為

A． B． C． D．3．已知正n邊形的邊長為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則，其中（

）A． B． C． D．②轉(zhuǎn)化與化歸4．已知，則（

）A． B． C．2 D．35．已知，，則

A． B． C． D．6．若，，則

A． B． C． D．③分類討論7．已知，，則（

）A．0 B． C．1 D．8．已知，，則

A．0 B． C．1 D．9．已知，都是銳角，且，則（

）A． B． C． D．

基礎(chǔ)過關(guān)篇1．（2025年高考全國二卷數(shù)學(xué)真題）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）．A． B． C． D．5．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．6．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）若，則（

）A． B．C． D．7．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.8．（2023年上海秋季高考數(shù)學(xué)試題（網(wǎng)絡(luò)收集版））已知，則=.9．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）若，則，．10．（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）若關(guān)于的方程在上有個實(shí)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測）已知，則（

）．A． B． C． D．12．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．13．（2025·甘肅白銀·一模）已知，則（

）A． B． C． D．14．（2025·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，則的值是（

）A． B． C． D．15．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，則（

）A． B． C． D．16．（2025·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．17．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．18．（多選題）（2025·福建福州·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，β終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B．β終邊在第二象限C． D．19．（多選題）（2025·吉林·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則可能為（

）A． B． C． D．20．（多選題）（2025·山東聊城·三模）已知，，則（

）A． B．C． D．21．（多選題）（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知單位圓的內(nèi)接正邊形的邊長、周長和面積分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．22．（2025·高三·河南許昌·期中）當(dāng)時，，則.23．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，.24．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）若，則.25．（2025·全國·二模）已知，則．26．（2025·山東青島·模擬預(yù)測）已知，，則