27/276.2等差數(shù)列目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01課標(biāo)要求 202落實(shí)主干知識(shí) 3一、等差數(shù)列的有關(guān)概念 3二、等差數(shù)列公式 3三、性質(zhì) 3常用二級(jí)結(jié)論 403探究核心題型 5題型一：等差數(shù)列的概念及通項(xiàng) 5題型二：等差數(shù)列的證明 6題型三：等差數(shù)列的性質(zhì) 7題型四：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和問題 8題型五：與有關(guān)的最值問題 8題型六：奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和 9題型七：實(shí)際應(yīng)用問題 10題型八：絕對值問題 11題型九：等差數(shù)列中的不等關(guān)系問題 13題型十：恒成立問題問題 1404好題賞析（一題多解） 1605數(shù)學(xué)思想方法 17①數(shù)形結(jié)合 17②轉(zhuǎn)化與化歸 17③分類討論 1806課時(shí)精練（真題、模擬題） 19基礎(chǔ)過關(guān)篇 19能力拓展篇 201、理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2、探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3、能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4、體會(huì)等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系.

一、等差數(shù)列的有關(guān)概念（1）等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．（2）等差中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且有．二、等差數(shù)列公式（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．三、性質(zhì)1、由等差數(shù)列生成新的等差數(shù)列（1）公差為的等差數(shù)列具有如下性質(zhì)：下標(biāo)成公差為的等差數(shù)列的項(xiàng)組成以md為公差的等差數(shù)列，即在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．（2）如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．（3）若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列{pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))2、若，則．（1）若，則；（2）若，則．（3）有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都相等，都等于首末兩項(xiàng)的和：3、若，則．常用二級(jí)結(jié)論1、等差數(shù)列中：，則有可以求出，甚至．2、等差數(shù)列中：為首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列，若，則特別的，若，則有．3、有最大值；有最小值，若，則有同時(shí)取得最值，的最大值；,的最大值．

題型一：等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)【例題1】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（

）A．22 B．24 C．28 D．36【例題2】在等差數(shù)列中，，則（

）A． B．2 C．3 D．6【解題總結(jié)】等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略：（1）求公差或項(xiàng)數(shù)．在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想．（2）求通項(xiàng)．和是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素．（3）求特定項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．（4）求前項(xiàng)和．利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解．【變式1】等差數(shù)列的公差，若成等比數(shù)列，以下正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的公差為（

）A． B． C． D．【變式3】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B．2 C． D．3【變式4】已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．則（

）A． B．4 C． D．7題型二：等差數(shù)列的證明【例題3】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，證明：數(shù)列為等差數(shù)列．【例題4】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解題總結(jié)】判斷數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法（1）定義法：對任意是周一常數(shù)．（2）等差中項(xiàng)法：對任意，湍足．（3）通項(xiàng)公式法：對任意，都滿足為常數(shù)）．（4）前項(xiàng)和公式法：對任意，都湍足為常數(shù)）．【變式5】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(3)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【變式6】已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【變式7】（2025·高三·云南德宏·開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．已知，．(1)求的值；(2)求證：為等差數(shù)列；【變式8】（2025·高三·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)【例題5】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則.【例題6】若為等差數(shù)列，，則它的前12項(xiàng)和為．【解題總結(jié)】如果為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，．因此，出現(xiàn)等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與（或其他項(xiàng)）有關(guān)的條件；若求項(xiàng)，可由轉(zhuǎn)化為求的值．【變式9】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則正整數(shù)的值為.【變式10】（2025·高三·安徽·開學(xué)考試）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則.【變式11】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則．【變式12】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則.題型四：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和問題【例題7】已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則.【例題8】在等差數(shù)列中，已知，，則.【解題總結(jié)】在等差數(shù)列中，，…仍成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列．【變式13】若為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則與的等比中項(xiàng)為.【變式14】（2025·高三·湖北·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則．【變式15】各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為．【變式16】（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則．題型五：與有關(guān)的最值問題【例題9】已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，則使取得最大值時(shí)n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【例題10】（2025·高三·河北張家口·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則取最大值時(shí)的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．10【解題總結(jié)】求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的2種方法（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．（2）鄰項(xiàng)變號(hào)法：①若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；②若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．【變式17】（2025·高三·遼寧·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則使最大的的值為（

）A．7 B．8 C．7或8 D．8或9【變式18】（2025·高三·浙江·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則數(shù)列的最小項(xiàng)是第（

）項(xiàng).A．2026 B．2027 C．4048 D．4049【變式19】（2025·江西·模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則滿足的n的最大值為（

）A．40 B．41 C．42 D．43【變式20】（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取最小值時(shí)的值為（

）A．12 B．13 C．14 D．25題型六：奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和【例題11】已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)和為，則數(shù)列的中間項(xiàng)為；項(xiàng)數(shù)為．【例題12】已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之和為60，偶數(shù)項(xiàng)之和為54，則．【解題總結(jié)】①若數(shù)列共有項(xiàng)，則（為中間項(xiàng)），，；，；②若數(shù)列共有項(xiàng)，則S2n＝n(an＋an＋1)（，為中間兩項(xiàng)），，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an)．【變式21】已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為140，偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是.【變式22】（2025·高三·四川成都·期中）數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，則．【變式23】等差數(shù)列共有項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于．【變式24】在等差數(shù)列中，已知公差，且，則.【變式25】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為377，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且前項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為7:6，則中間項(xiàng)為．題型七：實(shí)際應(yīng)用問題【例題13】某幼兒園老師為了獎(jiǎng)勵(lì)舞蹈比賽成績前4名的小朋友，將購買的64塊巧克力分給她們，使每人所得巧克力的塊數(shù)成等差數(shù)列，且使較多的兩份巧克力的塊數(shù)之和是最少一份的巧克力的塊數(shù)的12倍，則分得巧克力塊數(shù)最多的小朋友得到（

）A．22塊 B．24塊 C．28塊 D．36塊【例題14】（2025·安徽合肥·二模）《算法統(tǒng)宗》是我國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用．在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒問甲歌”：一個(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個(gè)問題中，這位公公的長兒的年齡為（

）A．23歲 B．32歲 C．35歲 D．38歲【解題總結(jié)】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求解.【變式26】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）某學(xué)校為了慶祝建校60周年，計(jì)劃對學(xué)校校門的梯形花壇進(jìn)行美化.計(jì)劃第一排擺放12個(gè)花盆，從第二排開始每排比前一排多擺放6個(gè)花盆，梯形花壇最多擺放10排，則該?；▔仢M一共需要的花盆數(shù)是（

）A．380 B．390 C．400 D．600【變式27】古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們將石子擺放成三角形（如圖），三角形中的石子個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，…，這些數(shù)稱為三角形數(shù).若將這些三角形數(shù)中能被3整除的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．666 B．705 C．741 D．780【變式28】（2025·高三·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）某會(huì)場的座位呈扇形分布，第一排有15個(gè)座位，從第二排起，每一排都比前一排多兩個(gè)座位，已知該會(huì)場能容納一個(gè)700人的代表團(tuán)，則該會(huì)場的座位至少有（

）A．20排 B．21排 C．22排 D．23排【變式29】（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若小寒、雨水、清明日影長之和為36尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長之和為92尺，則谷雨日影長為（）A．15 B．16 C．17 D．18題型八：絕對值問題【例題15】（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【例題16】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的通項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解題總結(jié)】由正項(xiàng)開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計(jì)算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號(hào)由正變負(fù)的項(xiàng)（2）在對進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，【變式30】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式31】（2025·高三·河北保定·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式32】已知數(shù)列中，，記．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；(2)設(shè)，求．【變式33】已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．題型九：等差數(shù)列中的不等關(guān)系問題【例題17】（多選題）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，中只有最大 D．當(dāng)時(shí)，【例題18】（多選題）數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，已知，則（

）A． B．為單調(diào)遞增數(shù)列C．使的的最小值為18 D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小【解題總結(jié)】（1）在處理數(shù)列的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立”．（2）數(shù)列的單調(diào)性與，的單調(diào)性不完全一致．一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來處理．但若數(shù)列對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來求解數(shù)列的單調(diào)性問題．即“離散函數(shù)有單調(diào)性連續(xù)函數(shù)由單調(diào)性；連續(xù)函數(shù)有單調(diào)性離散函數(shù)有單調(diào)性”．【變式34】（多選題）（2025·高三·安徽·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，最大 B．使得成立的最小自然數(shù)C． D．中最小項(xiàng)為【變式35】（多選題）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．時(shí)，最大C．使的n的最大值為13 D．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為第8項(xiàng)【變式36】（多選題）（2025·高三·湖南·期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，.則（

）A． B．C．時(shí)，的最小值為 D．最小時(shí)，【變式37】（多選題）（2025·高三·湖北·期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，，，，下列結(jié)論正確的是(

).A．， B． C． D．當(dāng)時(shí)，最大【變式38】（多選題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．?dāng)?shù)列中最小項(xiàng)為題型十：恒成立問題問題【例題19】（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為且，若對任意的恒成立，則公差d的取值范圍為．【例題20】已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列.若，且對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解題總結(jié)】等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題是數(shù)列研究的重要方面。這類問題通常涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及不等式性質(zhì)的應(yīng)用。解決這類問題時(shí)，需要首先根據(jù)題意設(shè)定合適的變量，建立等差數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等式，然后利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，最終確定變量的取值范圍，使得原不等式恒成立?！咀兪?9】（2025·高三·湖北武漢·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若對任意的，等式恒成立，則．【變式40】（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，是與的等差中項(xiàng)，則=；設(shè)，若對，使得恒成立，則的取值范圍為【變式41】（2025·江蘇無錫·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若對任意，等式恒成立，則.【變式42】已知數(shù)列滿足:對恒成立,且,其前項(xiàng)和有最大值,則使得的最大的的值是.【變式43】設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是.①若，則數(shù)列有最大項(xiàng)；②若數(shù)列有最大項(xiàng)，則③若數(shù)列對任意的，恒成立，則④若對任意的，均有，則恒成立

1．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列：乙：為等差數(shù)列，則

A．

甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．已知數(shù)列滿足，，，則

A． B． C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則

A．8 B．7 C．6 D．5

①數(shù)形結(jié)合1．北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過反復(fù)嘗試，終于得出了長方臺(tái)形垛積的求和公式．如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長方臺(tái)形垛積，第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球依此類推，最底層有cd個(gè)小球，共有n層．現(xiàn)有一個(gè)由小球堆成的長方臺(tái)形垛積，共7層，小球總個(gè)數(shù)為168，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為

A．1 B．2 C．3 D．42．已知，，若，，成等差數(shù)列，則

A．0或1 B．1或 C．1或 D．0或3．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足，且，，可以按照某個(gè)順序排成等差數(shù)列，則（

）A．不可能是等差中項(xiàng) B．不可能是等差中項(xiàng)C．不可能是等差中項(xiàng) D．，，都可能是等差中項(xiàng)②轉(zhuǎn)化與化歸4．等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和分別為與，且，則（

）A． B． C． D．5．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（

）A．4050 B．2025 C．4048 D．20246．已知數(shù)列滿足：，，，則

A． B． C． D．③分類討論7．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值不可能為

A．96 B．98 C．100 D．1028．已知等比數(shù)列，滿足，，成等差數(shù)列，且，則數(shù)列的公比為

A． B． C．2 D．39．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則可能的不同取值的個(gè)數(shù)為

A．45 B．46 C．90 D．91

基礎(chǔ)過關(guān)篇1．（2025年高考北京卷數(shù)學(xué)真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．16 D．182．（2025年高考天津卷數(shù)學(xué)真題），則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A．112 B．48 C．80 D．643．（2025年高考全國二卷數(shù)學(xué)真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若則（

）A． B． C． D．4．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．5．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．6．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．157．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．8．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件9．（2025年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)收集版））已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為．10．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.11．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．12．（2022年上海秋季高考數(shù)學(xué)試題（網(wǎng)絡(luò)收集版））已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項(xiàng)和，若，則中不同的數(shù)值有個(gè).13．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．14．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．能力拓展篇1．（2025·廣西·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2025·浙江·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，若，，則的取值范圍為（）A． B．C． D．3．（多選題）（2025·河北邯鄲·一模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．若，則B．成等差數(shù)列C．可能成等差數(shù)列D．可能成等比數(shù)列4．（多選題）（2025·高三·貴州·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，其中，則（

）A．B．為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列的前99項(xiàng)和大于5．（多選題）（2025·黑龍江大慶·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A． B．是遞增數(shù)列C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得