2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——拓?fù)鋵W(xué)與幾何學(xué)的交叉研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空3分，共15分）1.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，A?X，若A的任意兩點(diǎn)都存在X中包含它們的鄰域，使得此鄰域與A的交集非空，則稱A是X中的______點(diǎn)。2.在緊致度量空間中，連續(xù)函數(shù)必定在空間上取到其最大值和最小值，這體現(xiàn)了緊致性的一個(gè)重要性質(zhì)，稱為______。3.設(shè)M是n維流形，f:M→?是光滑函數(shù)，?f在M上定義了一個(gè)______場(chǎng)，它描述了函數(shù)f沿M上各點(diǎn)的“梯度”方向。4.設(shè)S^n是n維球面，其同調(diào)群H_k(S^n)在k=0和k=n時(shí)取值為?，在其他k值時(shí)取值為0，這表明S^n具有一個(gè)非零的______，記作χ(S^n)。5.在辛幾何中，辛形式是一個(gè)非退化的______型二元光滑形式，它定義了辛流形上的基本度量結(jié)構(gòu)。二、選擇題（每題3分，共15分）1.下列哪個(gè)空間是緊致的？(A)?^+(正實(shí)數(shù)集，標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?(B)(0,1)(開區(qū)間，標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?(C)?(有理數(shù)集，標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?(D)?(實(shí)數(shù)集，標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?2.設(shè)f:?^n→?是光滑函數(shù)，?f(x)≠0對(duì)任意x∈?^n成立，則f在?^n中局部同胚于？(A)?(B)?^n(C){0}(D)球面S^n3.下列哪個(gè)陳述是正確的？(A)任何流形都是緊致的。(B)任何流形都是可微的。(C)緊致流形上的連續(xù)函數(shù)必定是常數(shù)。(D)同胚的兩個(gè)流形具有相同的同調(diào)群。4.高斯-博內(nèi)公式將流形上高斯曲率的積分與其邊界上的______聯(lián)系起來。(A)體積(B)面積(C)邊界曲率(D)邊界同調(diào)類5.下列哪個(gè)概念主要用于研究流形上的向量場(chǎng)？(A)示性類(B)同調(diào)群(C)李群(D)拓?fù)涞葍r(jià)三、解答題（共60分）1.（10分）設(shè)X為拓?fù)淇臻g，A?X。證明：A是X中的閉集當(dāng)且僅當(dāng)A包含其所有______點(diǎn)。（請(qǐng)?zhí)钊肟崭癫⑼瓿勺C明）2.（10分）設(shè)M是二維流形，且其上存在一個(gè)光滑函數(shù)f:M→?，使得?f在M上處處為零。證明：M必定是平面的一個(gè)同胚。（提示：考慮拓?fù)洳蛔兞浚?.（10分）設(shè)M是緊致、無向的n維流形，證明：其上存在一個(gè)非零的n-形式ω。若n=3，寫出ω的一個(gè)可能的具體形式（例如，利用球坐標(biāo)系）。4.（10分）解釋什么是流形的“可微性”和“光滑性”，并說明為什么在研究微分拓?fù)浜蛶缀瓮負(fù)鋾r(shí)，光滑結(jié)構(gòu)比可微結(jié)構(gòu)更為常用和重要。5.（20分）考慮二維球面S^2與二維圓環(huán)面T^2。分別計(jì)算它們的同調(diào)群H_k(S^2)和H_k(T^2)（k=0,1,2）。利用同調(diào)群的信息，說明為什么S^2和T^2在拓?fù)渖巷@著不同。試卷答案一、填空題（每空3分，共15分）1.極限2.最大最小值定理3.梯度4.示性類5.密度二、選擇題（每題3分，共15分）1.(A)2.(A)3.(B)4.(B)5.(C)三、解答題（共60分）1.（10分）證明：（?）設(shè)A是X中的閉集，x是A中的極限點(diǎn)。任取x的鄰域U，則U∩A≠?（因?yàn)閤屬于A）。取U'?U為x的任意鄰域，則U'∩A≠?。因此，x屬于A的閉包c(diǎn)l(A)。由于x是A中任意的極限點(diǎn)，故A=cl(A)，即A是閉集。（?）設(shè)A包含其所有極限點(diǎn)，即A=cl(A)。根據(jù)閉包的定義，cl(A)是包含A的所有極限點(diǎn)的集合。由假設(shè)，A已包含所有這些極限點(diǎn)，故cl(A)=A。因此，A是閉集。解析思路：利用閉集的定義（包含其所有極限點(diǎn)）和閉包的定義進(jìn)行充要性證明。分別證明“閉集?包含所有極限點(diǎn)”和“包含所有極限點(diǎn)?閉集”。2.（10分）證明：因?yàn)?f在M上處處為零，所以對(duì)于M上任意一點(diǎn)p和任意非零切向量v_p∈T_pM，有df_p(v_p)=0。這表明函數(shù)f在M上的梯度向量場(chǎng)?f(p)總是零向量。根據(jù)微分拓?fù)涞幕径ɡ?，若流形M的切叢TM是平凡叢（即TM同構(gòu)于M×?^n），且存在全局光滑的截面σ:T_pM→?^n，使得?f(p)=dσ_p(v_p)，則f在M上為常數(shù)。由于f的梯度為零，可以取σ_p(v_p)=0（對(duì)于某個(gè)固定的零向量）。由光滑性，σ和零映射都是光滑截面，由唯一性定理（若兩個(gè)光滑截面差異在切叢上的導(dǎo)數(shù)為零，則它們必相等），σ必須恒等于零映射。這意味著f在M上處處為零。這與假設(shè)f非零矛盾。因此，M的切叢TM不可能平凡。對(duì)于二維流形，非平凡的切叢意味著它不是可trivialized的。因此，M必定不是平面上的一個(gè)同胚。或者，從同調(diào)角度，若M是可微同胚于平面的，其同調(diào)群應(yīng)與平面一致。對(duì)于平面T^2，H_0=?,H_1=0,H_2=0。若M是平面，則H_k(M)=H_k(T^2)。若f處處為零，則M無法同胚于帶有非零標(biāo)量場(chǎng)的平面，從而M不能是平面。解析思路：利用梯度為零的條件，結(jié)合微分拓?fù)渲嘘P(guān)于截面存在性與平凡性的理論（特別是陳省身定理的思路或相關(guān)基本結(jié)論），證明流形M的切叢不可能平凡，從而M不能是平面?；蛘邚耐{(diào)群角度出發(fā)，比較M與平面的同調(diào)群。3.（10分）證明：由于M是緊致流形，根據(jù)陳省身定理（或相關(guān)基本結(jié)果），M上存在一個(gè)非零的n-形式ω。這是因?yàn)榫o致流形上的上同調(diào)群H^n(M;?)同構(gòu)于其基本群π_n(M)的系數(shù)群。如果π_n(M)不是平凡群，則H^n(M;?)非零。即使π_n(M)平凡，對(duì)于任意非零n-形式η，上同調(diào)類[η]也可能非零。因此，存在非零n-形式。若n=3，考慮標(biāo)準(zhǔn)3-球面S^3。取球坐標(biāo)系ρ,θ,φ（其中θ是極角，范圍為[0,π]，φ是方位角，范圍為[0,2π]）。定義3-形式為：ω=ρ^2*sin(θ)*dρ∧dθ∧dφ這個(gè)形式在S^3上非零，因?yàn)楫?dāng)(ρ,θ,φ)遍歷S^3時(shí)，dρ,dθ,dφ均非零。解析思路：運(yùn)用陳省身定理或類似結(jié)果，說明緊致流形上存在非零n-形式。對(duì)于n=3的例子，利用具體的坐標(biāo)系在S^3上構(gòu)造一個(gè)非零的3-形式。4.（10分）解釋：流形的“可微性”（Differentiability）通常指其結(jié)構(gòu)群是可微Ли-群（Liegroup）G，使得流形到G的映射是光滑的，并且滿足局部微分同胚的條件。更精確地，流形M上的每點(diǎn)p都有一個(gè)鄰域U和G的子群H（包含Identity）使得映射π|_U:U→H是微分同胚，且U×H同胚于U。流形的“光滑性”（Smoothness）通常指其結(jié)構(gòu)群是光滑Ли-群G，使得流形到G的映射是光滑的，并且滿足局部微分同胚的條件，但允許更一般的結(jié)構(gòu)（例如，可以考慮不連續(xù)的結(jié)構(gòu)群映射，只要局部性質(zhì)滿足）。在現(xiàn)代微分拓?fù)渲?，通常將光滑流形定義為具有光滑結(jié)構(gòu)（由光滑Atlases定義）的流形，其結(jié)構(gòu)群視為?^n（即每個(gè)變換都是可微的）。更嚴(yán)格地，流形M是光滑的，如果存在一族最大光滑坐標(biāo)卡{(U_α,φ_α)}，使得M是覆蓋空間，且Transitionmapsφ_βοφ_α^(-1):φ_α(U_α∩U_β)→φ_β(U_α∩U_β)是光滑映射。重要性與原因：光滑結(jié)構(gòu)比可微結(jié)構(gòu)更為常用和重要，主要有以下原因：1.分析工具的豐富性：微分幾何和許多應(yīng)用領(lǐng)域（如物理學(xué)中的廣義相對(duì)論、力學(xué)）高度依賴分析工具，如微積分、微分方程、張量分析等。光滑結(jié)構(gòu)提供了這些分析工具所需的框架，允許進(jìn)行梯度、散度、旋度、曲率等計(jì)算，以及求解微分方程?？晌⒔Y(jié)構(gòu)雖然允許某些分析操作，但通常不足以支撐完整的微積分理論。2.龐加萊-哈密頓理論的基礎(chǔ)：辛幾何和許多幾何拓?fù)涞纳羁探Y(jié)果（如龐加萊猜想的部分解決）建立在龐加萊-哈密頓理論之上，該理論研究辛形式（一種非退化光滑2-形式），這本質(zhì)上需要光滑結(jié)構(gòu)。3.物理應(yīng)用的對(duì)應(yīng)：在物理學(xué)中，描述物理定律（如廣義相對(duì)論的度規(guī)張量、量子場(chǎng)論的場(chǎng)強(qiáng)度）通常需要用到光滑張量場(chǎng)，這些物理量自然地要求其定義的背景時(shí)空具有光滑結(jié)構(gòu)。4.數(shù)學(xué)上的豐產(chǎn)性：光滑流形的研究發(fā)展出了龐大而成熟的數(shù)學(xué)分支，產(chǎn)生了許多深刻的結(jié)果和強(qiáng)大的工具，如微分形式、纖維叢、同調(diào)理論、譜序列等，這些在可微流形上不一定有完全對(duì)應(yīng)或等價(jià)的結(jié)果。解析思路：首先分別清晰定義可微流形和光滑流形（側(cè)重于結(jié)構(gòu)群和局部同胚的條件）。然后闡述光滑結(jié)構(gòu)為何更常用，重點(diǎn)從分析工具的適用性、辛幾何的基礎(chǔ)地位、物理學(xué)的需求以及數(shù)學(xué)發(fā)展的豐產(chǎn)性等角度進(jìn)行論證。5.（20分）計(jì)算H_k(S^2)：S^2是緊致、無向的2維流形。其基本群π_2(S^2)??。根據(jù)上同調(diào)序列（或陳省身定理），有：0→H^0(S^2;?)→H^2(S^2;?)→π_2(S^2)→H^1(S^2;?)→0由于S^2是可縮的（π_1(S^2)=0），長正合列中H^1(S^2;?)=0。π_2(S^2)??，所以其系數(shù)群決定了H^2(S^2;?)??。上同調(diào)類[ω]（某個(gè)非零閉2-形式）是H^2(S^2;?)的生成元。H^0(S^2;?)??（由常數(shù)函數(shù)決定）。因此，H_k(S^2;?)=H_k(S^2;?)={H^0(S^2;?)=?,H^1(S^2;?)=0,H^2(S^2;?)=?,H_k(S^2;?)=0fork≠0,2}計(jì)算H_k(T^2)：T^2=S^1×S^1是緊致、無向的2維流形。其基本群π_2(T^2)?π_1(S^1)×π_1(S^1)??×?。根據(jù)上同調(diào)序列：0→H^0(T^2;?)→H^2(T^2;?)→π_2(T^2)→H^1(T^2;?)→0T^2不是可縮的（π_1(T^2)≠0），所以H^1(T^2;?)是H^1(S^1;?)=?的子群，即H^1(T^2;?)??×?。π_2(T^2)??×?，所以H^2(T^2;?)??×?。上同調(diào)類[ω]（非零閉2-形式）是H^2(T^2;?)的生成元。H^0(T^2;?)??。因此，H_k(T^2;?)={H^0(T^2;?)=?,H^1(T^2;?)=?×?,H^2(T^2;?)=?×?,H_k(T^2;?)=0fork≠0,1,2}拓?fù)洳町愓f明：S^2和T^2雖然都是2維緊致流形，但它們的同調(diào)群顯著不同：1.H^1群：S^2的H^1群為0，表明其“環(huán)路”或“1維洞”的拓?fù)湫再|(zhì)是“無”。T^2的H^1群為?×?，表明其存在兩個(gè)獨(dú)立的“環(huán)路”或“1維洞”（可以想象成兩個(gè)互相纏繞但不完全交錯(cuò)的環(huán)）。這是兩者最直觀的區(qū)別。2.H^2群：S^2的H^2群為?，表明其“2維表面”或“空洞”