試題試題專題04圓（13知識(shí)&17題型&6易錯(cuò)&5方法清單）【清單01】圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形。圓的對(duì)稱性：1）圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；2）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形?！厩鍐?2】圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦。2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍。弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧?！厩鍐?3】垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長(zhǎng)度；有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分【清單04】圓心角的概念圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。【清單05】圓角角的概念圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！厩鍐?6】圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴【清單07】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>r點(diǎn)P在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=r點(diǎn)P在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<r點(diǎn)P在圓內(nèi)【清單08】直線和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)性質(zhì)及判定相離沒(méi)有公共點(diǎn)d>r直線l與⊙O相離相切有唯一公共點(diǎn)d=r直線l與⊙O相切相交有兩個(gè)公共點(diǎn)d<r直線l與⊙O相交【小技巧】判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．【清單09】切線的性質(zhì)與判定定義線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．性質(zhì)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．（實(shí)際上過(guò)切點(diǎn)的半徑也可理解為過(guò)切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過(guò)切點(diǎn)與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點(diǎn)時(shí)，通常作的輔助線是連接切點(diǎn)與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見(jiàn)輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時(shí)，1）若已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來(lái)，然后證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確，可過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱“作垂直，證半徑”．【清單10】切線長(zhǎng)定理定義在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用問(wèn)題解題方法：切線長(zhǎng)定理經(jīng)常用來(lái)證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形來(lái)求解．【清單11】三角形內(nèi)切圓與外接圓1.三角形內(nèi)切圓與外接圓的定義三角形外接圓經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.2.三角形內(nèi)心與外心圓心的名稱圓心的確定方法圖形圓心的性質(zhì)外心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1)OA=OB=OC2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．內(nèi)心三角形三條角平分線的交點(diǎn)1)到三邊的距離相等；

2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

3)內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部．【清單12】正多邊形與圓的有關(guān)概念1.正多邊形的相關(guān)概念正多邊形概念各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.【清單13】弧長(zhǎng)和扇形面積設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長(zhǎng)公式l=nπR180（扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑rr【題型一】圓的基本性質(zhì)【典例1】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=45°,∠ABO=70°，則∠OAC=．

【變式1】下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)圓心的直線是圓的直徑 B．直徑是弦，弦是直徑C．半圓是軸對(duì)稱圖形 D．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧【變式2】如圖，在半徑為50mm的⊙O中，弦AB長(zhǎng)50mm．∠AOB的度數(shù)【變式3【如圖，點(diǎn)E在y軸上，⊙E與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C、D，若A?4,0，D0,?2，則⊙E半徑r為【題型二】垂徑定理及應(yīng)用【典例2】如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為30m，拱高PM為9m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有15m時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2(1)拱橋所在的圓的半徑；(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施．【變式1】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若CD=8，OD=5，則BE的長(zhǎng)為()A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】游樂(lè)場(chǎng)里有諸多有趣的項(xiàng)目，大擺錘便是其中之一．如圖，大擺錘OB以O(shè)為圓心前后擺動(dòng)，大擺錘底端前后擺動(dòng)1次的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作AC，連接AC，交OB于點(diǎn)D，已知OB⊥AC，且點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，AC=16m，BD=4m，則大擺錘的長(zhǎng)度為（A．8m B．12m C．10m 【變式3】西安的摔碗酒吸引眾多游客體驗(yàn)，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安，如圖，這是摔碗酒瓷碗正面的形狀示意圖，AB是⊙O的一部分，半徑OD⊥AB，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA、OB，已知AB=18cm，碗深CD=6cm，求

【題型三】點(diǎn)與圓上一點(diǎn)最值問(wèn)題【典例3】如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A為圓心，1為半徑畫(huà)圓A，E是圓A上一動(dòng)點(diǎn)，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD最小值是（

）A．25 B．2.5 C．4 【變式1】如圖，P是矩形ABCD(AB>AD)的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，連接DP，將△DAP沿DP所在直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接EF．已知AB=210，當(dāng)線段EF的最小值為1時(shí)，邊BC的長(zhǎng)為（

A．9 B．8 C．7 D．6【變式2】如圖，Rt△ABC中，AC=BC=8，M為邊BC的中點(diǎn)，長(zhǎng)度為2的動(dòng)線段AN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接MN，取MN的中點(diǎn)P，則CP長(zhǎng)度的最大值為，最小值為【變式3】如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8．E為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接CE，DE，且∠ADE=∠DCE，P為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，EP，則BP+EP的最小值為．

【題型四】圓周角定理【典例4】如圖，AB是⊙O的直徑，∠CDB=26°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．60° B．52° C．50° D．40°【變式1】如圖，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，∠BOC=40°，則∠BAC等于（

）A．40° B．30° C．20° D．10°【變式2】如圖，AB是⊙O的直徑，C,D是圓上的點(diǎn)，若∠AOC=100°，則∠D的度數(shù)是（A．50° B．40° C．30°【變式3】如圖，A，B，C三點(diǎn)在⊙O上，且∠BOC=100°，則A．40° B．50° C．80°

【題型五】圓內(nèi)接四邊形【典例5】如圖所示，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在⊙O上，邊AB、AC與⊙O分別交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F是劣弧DE上一點(diǎn)，且與D、E不重合，連接DF、EF，則∠DFE的度數(shù)為（

）A．115° B．118° C．120° D．125°【變式1】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A=110°，連接OB、OD，則∠BOD=°．【變式2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ADC=116°，點(diǎn)E在⊙O上，則∠BEC=．【變式3】如圖，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，若∠AOB=70°，則∠APB=°．【題型六】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定【典例6】若⊙O的直徑為8cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為4cm，那么點(diǎn)A與A．點(diǎn)A在圓外 B．點(diǎn)A在圓上C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．不能確定【變式1】已知⊙O的直徑為5cm，若點(diǎn)A到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．無(wú)法確定【題型七】三角形的外接圓【典例7】如圖，已知△ABC．

(1)用直尺和圓規(guī)作△ABC的外接圓⊙O（保留作圖的痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，若⊙O的半徑為5，點(diǎn)O到BC的距離為3，求BC的長(zhǎng)．【變式1】三角形的外心就是三角形外接圓圓心，是三角形（

）A．三邊上的高線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【變式2】如圖，直角坐標(biāo)系中A0,4,B4,4,C6,2，經(jīng)過(guò)A，B，CA．1,?1 B．1,0 C．2,0 D．2,1【題型八】直線與圓的位置關(guān)系的判定【典例8】如圖是記錄的日出美景，圖中太陽(yáng)與海天交界處可看成圓與直線，它們的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以點(diǎn)C為圓心，r=3cm為半徑的⊙C與【變式2】如圖，點(diǎn)A，B，D在⊙O上，∠A=29°，OD的延長(zhǎng)線與直線BC相交于點(diǎn)C，且∠C=32°，則直線BC與⊙O的位置關(guān)系是．【題型九】切線判定與性質(zhì)綜合【典例9】如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，B是⊙O上一點(diǎn)，且PA=PB，延長(zhǎng)BO分別與⊙O、切線PA相交于C、Q兩點(diǎn)．(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)QD為PB邊上的中線，若AQ=4，CQ=2，求【變式1】如圖，AB是⊙O的弦，C為過(guò)點(diǎn)B的切線上一點(diǎn)，且BC=AC，D,?E,?F分別在AB,?(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若∠C=50°，求∠EDF的度數(shù)．【變式2】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=75°,∠ABC=45°，連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)C作AD的平行線交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：CE與⊙O相切；(2)若BD=6，求線段EC的長(zhǎng)．【變式3】如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O切AB于點(diǎn)E，BF⊥AO交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且∠FBC=∠CAF．

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若AC=6，①求⊙O的半徑；②連接CF，求BF的長(zhǎng)．【題型十】切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用【典例10】如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，⊙O的切線EF分別交PA、PB于點(diǎn)E、F，切點(diǎn)C在弧AB上，PA=8，則△PEF的周長(zhǎng)是（

）．A．12 B．18 C．24 D．16【變式1】如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E、F、G且AB∥CD，若OB=8cmA．7cm B．8cm C．9cm【變式2】如圖，PA、PB、CD是⊙O的切線，點(diǎn)A、B、E是切點(diǎn)，CD分別交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，若∠APB=60°，則∠COD的度數(shù)（

）A．60° B．45° C．70° D．90°【變式3】如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過(guò)A作半圓的切線，與半圓相切于F點(diǎn)，與DC相交于E點(diǎn)，則△ADE的面積（

）A．12 B．24 C．8 D．6【題型十一】三角形的內(nèi)切圓【典例11】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別切BC,AB,AC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若△ABC的周長(zhǎng)為24cm，BC=10cm，則AE的長(zhǎng)為（

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【變式1】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且CD=2，AB=7，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．18 B．16 C．14 D．12【變式2】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=17，⊙O與△ABC三邊分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且OD=3，則△ABC的面積是（）A．80 B．70 C．60 D．50【變式3】如圖，已知⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，⊙O與BC，AC，AB的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，若AC=8，BC=6A．1.5 B．2 C．2.5 D．3

【題型十二】正多邊形與圓的綜合【典例12】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），連接CP，DP，則∠CPD的度數(shù)為（

）A．165° B．150° C．120° D．108°【變式1】劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過(guò)程中，作了一個(gè)如圖所示的圓內(nèi)接正十二邊形．若⊙O的半徑為1，則這個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形的面積為（

）

A．1 B．3 C．π D．2【變式2】如圖，已知⊙O的半徑為4，則它的內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．42 D．【變式3】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若四邊形AOCB的面積為83，則⊙O的半徑為（

A．2 B．22 C．23【題型十三】弧長(zhǎng)的計(jì)算【典例13】已知⊙O半徑為18cm，在⊙O中60°A．3πcm B．4.5πcm C．6πcm【變式1】如圖，直線l1∥l2，直線m分別交l1、l2于點(diǎn)A、B，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交l2、l1于直線A．5π B．4π C．72【變式2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=60°，∠ACD=42°．若⊙O的半徑為6，則DC?的長(zhǎng)是（

133π B．35π C．【題型十四】扇形面積的計(jì)算【典例14】如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為6，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則圖中陰影部分的面積為（

）A．12π B．6π C．108π D．10.8π【變式1】一個(gè)扇形的半徑是3，面積為6π，那么這個(gè)扇形的圓心角是（

）A．260° B．240° C．140° D．120°【變式2】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在BC邊上，BO=2CO=2，以O(shè)為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，這條弧恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且交AD于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為（

）A．π3 B．π2 C．2π3【變式3】中華美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤能讓美食錦上添花．圖①外圍的每一個(gè)拼盤的形狀都是扇形的一部分，圖②是其中一個(gè)的示意圖（陰影部分為拼盤）．測(cè)量得到AO=13cm，CO=3cm，∠AOB=72°，則圖②所示的拼盤面積為（1825πcm2 B．915πcm2【題型十五】圓錐的側(cè)面積【典例15】將如圖所示的圖形繞虛線所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的側(cè)面積是（）A．12cm2 B．15cm2 C．12【變式1】把一個(gè)圓心角為120°，半徑為9cm的扇形紙片，通過(guò)用膠水粘貼制作成了一個(gè)底面周長(zhǎng)為4πcm的圓錐側(cè)面，如圖所示，則圓錐上粘貼部分（圖中陰影部分）的面積是（A．8πcm2 B．9πcm2 【變式2】如圖，是用綢布所制作的清代官員夏日官帽，要制作一個(gè)底面半徑為16cm，高為12cm的圓錐形官帽，則所需扇形綢布的面積為（

A．240πcm2 B．280πcm2 C．320πcm2

【題型十六】不規(guī)則圖形的陰影面積【典例16】如圖，C是以AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，過(guò)B，C兩點(diǎn)作BC與弦AC相切．已知AB=4，∠ABC=30°，則陰影部分的面積為（

）A．23?12π B．54【變式1】如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，以點(diǎn)C為圓心，CB的長(zhǎng)為半徑在⊙O內(nèi)畫(huà)弧．若AB=2，則圖中陰影部分的面積為（

A．π2 B．π4 C．1 【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，分別以點(diǎn)A，D為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)A．10?25π4 B．20?25π2【題型十七】圓錐側(cè)面最短路徑問(wèn)題【典例17】如圖是一個(gè)圓錐與其側(cè)面展開(kāi)圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長(zhǎng)是4．（1）求這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中∠ABC的度數(shù)．（2）如果A是底面圓周上一點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，求這只螞蟻爬過(guò)的最短距離．【變式1】如圖，AB是圓錐底面的直徑，AB=6cm，母線PB=9cm．點(diǎn)C為PB的中點(diǎn)，若一只螞蟻從A點(diǎn)處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到C點(diǎn)處，則螞蟻爬行的最短路程為【變式2】如圖，圓錐母線的長(zhǎng)l等于底面半徑r的4倍，（1）求它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角．（2）當(dāng)圓錐的底面半徑r＝4cm時(shí)，求從B點(diǎn)出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞一圈回到B點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)【題型01：垂徑定理及應(yīng)用】1．閱讀材料，回答問(wèn)題．材料背景遇龍橋（如圖①）為虹式單拱石橋，是廣西歷史上的名橋．若某一時(shí)刻，將主橋拱抽象成如圖②所示的圖形，且測(cè)得水面寬度AB為24m，拱高CD（孤的中點(diǎn)到水面的距離）為8m．問(wèn)題解決(1)確定主橋拱半徑。求主橋拱所在圓的半徑．(2)確定水面寬度。若大雨過(guò)后，橋下水面上升2m，求此時(shí)水面的寬度．【題型02：點(diǎn)與圓上一點(diǎn)最值問(wèn)題】2．如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，過(guò)A作AC⊥MN于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥MN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN=26,AC=12,BD=5，則PA+PB的最小值為（

）A．152 B．172 C．173【題型03：直線與圓的位置關(guān)系的判定】3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑是1，直線AB與x軸交于點(diǎn)P(x，0)，且與x軸的正半軸夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點(diǎn)，則x值的范圍是()A．-1≤x≤1 B．-2≤x≤4.如圖，直線l與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，已知B（0，3），∠BAO=30°，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，⊙P與y軸相切于點(diǎn)O，若將⊙P沿x軸向左移動(dòng)，當(dāng)⊙P與該直線相交時(shí)，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【題型04：圓周角定理】5.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上．若∠DAB=64°，則∠ACD的度數(shù)為（

）A．32° B．28° C．26° D．24°【題型05：三角形的內(nèi)切圓】6．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，則AF的長(zhǎng)為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm7．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB=5cm，BC=7cm，如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，(1)求AF的長(zhǎng)．(2)已知S△ABC=66【題型06：求不規(guī)則陰影部分面積】8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，分別以AD，AB為直徑畫(huà)半圓，過(guò)點(diǎn)A的直線分別交兩半圓于點(diǎn)E，F(xiàn)．已知AF:AE=4:3，則陰影部分的面積為（

）A．252π?87 B．252π?24

【題型一】垂徑定理及其應(yīng)用

1.圓中模型“知2得3”由圖可得以下5點(diǎn)：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD過(guò)圓心O；④；⑤；以上5個(gè)結(jié)論，知道其中任意2個(gè)，剩余的3個(gè)都可以作為結(jié)論使用。常做輔助線：連半徑、作弦心距、見(jiàn)直接連弦長(zhǎng)得直徑所對(duì)圓周角

【題型二】三角形外接圓1、三角形的外心：三角形三邊中垂線的交點(diǎn)；實(shí)際畫(huà)圖時(shí)只需要畫(huà)兩條中垂線的交點(diǎn)即可！2、三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；常做輔助線：連結(jié)三角形內(nèi)心和頂點(diǎn)的線段【題型三】切線的判定和性質(zhì)

切線的判定方法1：圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線；切線的判定方法2：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；切線證明常見(jiàn)輔助線及規(guī)律：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直；無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑；【題型四】三角形的內(nèi)切圓

1.三角形的內(nèi)心：三角形條角平分線的交點(diǎn)；實(shí)際畫(huà)圖時(shí)只需要畫(huà)兩條角分線的交點(diǎn)即可！2、三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；常做輔助線：作內(nèi)心到三邊的垂線段【題型五】弧長(zhǎng)和扇形的面積；公式可以直接應(yīng)用，也可以由弧長(zhǎng)（或面積）的數(shù)值求解對(duì)應(yīng)的圓心角或者半徑專題04圓（13知識(shí)&17題型&6易錯(cuò)&5方法清單）【清單01】圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形。圓的對(duì)稱性：1）圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；2）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形?！厩鍐?2】圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦。2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧?！厩鍐?3】垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長(zhǎng)度；有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分【清單04】圓心角的概念圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角?；?、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等?！厩鍐?5】圓角角的概念圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！厩鍐?6】圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴【清單07】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>r點(diǎn)P在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=r點(diǎn)P在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<r點(diǎn)P在圓內(nèi)【清單08】直線和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)性質(zhì)及判定相離沒(méi)有公共點(diǎn)d>r直線l與⊙O相離相切有唯一公共點(diǎn)d=r直線l與⊙O相切相交有兩個(gè)公共點(diǎn)d<r直線l與⊙O相交【小技巧】判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．【清單09】切線的性質(zhì)與判定定義線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．性質(zhì)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．（實(shí)際上過(guò)切點(diǎn)的半徑也可理解為過(guò)切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過(guò)切點(diǎn)與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點(diǎn)時(shí)，通常作的輔助線是連接切點(diǎn)與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見(jiàn)輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時(shí)，1）若已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來(lái)，然后證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確，可過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱“作垂直，證半徑”．【清單10】切線長(zhǎng)定理定義在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用問(wèn)題解題方法：切線長(zhǎng)定理經(jīng)常用來(lái)證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形來(lái)求解．【清單11】三角形內(nèi)切圓與外接圓1.三角形內(nèi)切圓與外接圓的定義三角形外接圓經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.2.三角形內(nèi)心與外心圓心的名稱圓心的確定方法圖形圓心的性質(zhì)外心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1)OA=OB=OC2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．內(nèi)心三角形三條角平分線的交點(diǎn)1)到三邊的距離相等；

2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

3)內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部．【清單12】正多邊形與圓的有關(guān)概念1.正多邊形的相關(guān)概念正多邊形概念各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.【清單13】弧長(zhǎng)和扇形面積設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長(zhǎng)公式l=nπR180（扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑rr【題型一】圓的基本性質(zhì)【典例1】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=45°,∠ABO=70°，則∠OAC=．

【答案】25°/25度【分析】本題考查了圓的基本概念，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由題意可得OC=OB,OA=OB，推出∠OBC=∠OCB=45°,∠OAB=∠OBA=70°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC=90°,∠AOB=40°，進(jìn)而得到∠AOC=130°，再根據(jù)OA=OC，利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：由題意可得OC=OB,OA=OB，∵∠OCB=45°,∠ABO=70°，∴∠OBC=∠OCB=45°,∠OAB=∠OBA=70°，∴∠BOC=90°,∠AOB=40°，∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=130°，∵OA=OC，∴∠OAC=1故答案為：25°．【變式1】下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)圓心的直線是圓的直徑 B．直徑是弦，弦是直徑C．半圓是軸對(duì)稱圖形 D．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧【答案】C【分析】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)∶熟練掌握與圓有關(guān)的概念(弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、弧、等圓、等弧等)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，也考查了軸對(duì)稱圖形，根據(jù)直徑、弦的定義對(duì)A選項(xiàng)和B選項(xiàng)進(jìn)行判斷∶根據(jù)對(duì)稱軸圖形的定義對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)等弧的定義對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解∶A．過(guò)圓心的弦是圓的直徑，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．直徑是弦，過(guò)圓心的弦是直徑，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．半圓是軸對(duì)稱圖形，所以C選項(xiàng)符合題意；D．在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，所以D選項(xiàng)不符合題意；故選∶C【變式2】如圖，在半徑為50mm的⊙O中，弦AB長(zhǎng)50mm．∠AOB的度數(shù)【答案】60°/60度【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出△AOB是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)半徑為50mm，弦AB長(zhǎng)50mm，可以判斷【詳解】解：∵AO=BO=50mm，AB=50∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，故答案為：60°．【變式3【如圖，點(diǎn)E在y軸上，⊙E與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C、D，若A?4,0，D0,?2，則⊙E半徑r為【答案】5【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到OA=4，OD=2，則OE=ED?OD=r?2，由勾股定理可得【詳解】解：如圖所示，連接AE，∵A?4,0，D∴OA=4，∴OE=ED?OD=r?2，在Rt△AOE中，由勾股定理得A∴r2解得r=5，∴⊙E半徑r為5，故答案為：5．【題型二】垂徑定理及應(yīng)用【典例2】如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為30m，拱高PM為9m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有15m時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2(1)拱橋所在的圓的半徑；(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施．【答案】(1)17(2)不需要，見(jiàn)解析【分析】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理求得圓弧所在的半徑是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．（1）由垂徑定理可知AM=BM、A'N=B'N，再在Rt△AOM（2）求出ON=OP?PN=15m，再由勾股定理可得A'N=8m，則【詳解】（1）解：設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，連接OA、OA'、OM設(shè)半徑為xm則OA=OA'=OP，由垂徑定理可知AM=BM，A'N=B'N，∵AB=30m∴AM=1在Rt△AOM中，OM=OP?PM=(x?9)由勾股定理可得：AO即x2解得：x=17，即拱橋所在的圓的半徑為17m（2）解：∵OP=17m∴ON=OP?PN=17?2=15m在Rt△A'ON中，由勾股定理可得A'N=∴A'B'=2A∴不需要采取緊急措施．【變式1】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若CD=8，OD=5，則BE的長(zhǎng)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了垂徑定理及勾股定理，熟知垂徑定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)垂徑定理得出DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【詳解】解∶∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CD，∴DE=1在Rt△DOE中，OE=∴BE=5?3=2．故選∶B．【變式2】游樂(lè)場(chǎng)里有諸多有趣的項(xiàng)目，大擺錘便是其中之一．如圖，大擺錘OB以O(shè)為圓心前后擺動(dòng)，大擺錘底端前后擺動(dòng)1次的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作AC，連接AC，交OB于點(diǎn)D，已知OB⊥AC，且點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，AC=16m，BD=4m，則大擺錘的長(zhǎng)度為（A．8m B．12m C．10m 【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，由OB⊥AC，且點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，則AD=CD=12AC=8m，∠ADO=∠CDO=90°，設(shè)【詳解】解：∵OB⊥AC，且點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，∴AD=CD=12AC=8設(shè)OB=rm，則OD=∴OA∴r2解得：r=10，∴大擺錘的長(zhǎng)度為10m故選：C．【變式3】西安的摔碗酒吸引眾多游客體驗(yàn)，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安，如圖，這是摔碗酒瓷碗正面的形狀示意圖，AB是⊙O的一部分，半徑OD⊥AB，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA、OB，已知AB=18cm，碗深CD=6cm，求【答案】OA的長(zhǎng)為39【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理得出AC=BC=12AB=9【詳解】解：∵半徑OD⊥AB，∴D是AB的中點(diǎn)，∵AB=18cm∴AC=BC=1設(shè)OA=rcm∵CD=6cm，則OC=在Rt△OAC中，由勾股定理得O即r?62+9∴OA的長(zhǎng)為394

【題型三】點(diǎn)與圓上一點(diǎn)最值問(wèn)題【典例3】如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A為圓心，1為半徑畫(huà)圓A，E是圓A上一動(dòng)點(diǎn)，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD最小值是（

）A．25 B．2.5 C．4 【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用等，作出對(duì)稱圖形是本題的關(guān)鍵．以BC為軸作矩形ABCD的對(duì)稱圖形A'BCD'以及對(duì)稱圓A'，連接A'D交BC于P，則D【詳解】解：如圖，以BC為軸作矩形ABCD的對(duì)稱圖形A'BCD'以及對(duì)稱圓A'，連接A'D交BC∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圓A的半徑為1，∴A'∴A'∴D∴PE+PD=PE故選：C．【變式1】如圖，P是矩形ABCD(AB>AD)的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，連接DP，將△DAP沿DP所在直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接EF．已知AB=210，當(dāng)線段EF的最小值為1時(shí)，邊BC的長(zhǎng)為（

A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)可得∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=210，通過(guò)折疊性質(zhì)可知：∠PAD=∠PED，AD=ED，則有點(diǎn)E在以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接DFDE+EF≥DF，從而可知當(dāng)點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，EF有最小值，然后設(shè)BC=2x，則CF=x，DF=DE+EF=2x+1，最后通過(guò)勾股定理，解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=210由折疊性質(zhì)可知：∠PAD=∠PED，AD=ED，∴點(diǎn)E在以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接DF，如圖，∵DE+EF≥DF，∴當(dāng)點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，EF有最小值，即此時(shí)EF=1，如圖，∵F是BC的中點(diǎn)，∴CF=1設(shè)BC=2x，則CF=x，DF=DE+EF=2x+1，由勾股定理得：DF∴2x+12=2解得：x1=?13∴BC=2x=2×3=6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，解一元二次方程，圓的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，Rt△ABC中，AC=BC=8，M為邊BC的中點(diǎn)，長(zhǎng)度為2的動(dòng)線段AN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接MN，取MN的中點(diǎn)P，則CP長(zhǎng)度的最大值為，最小值為【答案】25+1【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，延長(zhǎng)MC至D，使得MC=CD，連接DN，可得CP是△MDN的中位線，即得CP=12DN，可知當(dāng)DN【詳解】解：延長(zhǎng)MC至D，使得MC=CD，連接DN，∵點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，∴CP是△MDN的中位線，∴CP=1∴當(dāng)DN取最大值或最小值時(shí)，CP的值最大或最小，如圖，當(dāng)點(diǎn)N在DA的延長(zhǎng)線且D、A、N共線時(shí)，DN的值最大，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，∵CD=MC=1∴AD=A∴DN=AD+AN=45∴CP=1即CP長(zhǎng)度的最大值為25如圖，當(dāng)點(diǎn)N在DA之間且D、N、A共線時(shí)，DN的值最小，∴DN=AD?AN=45∴CP=1即CP長(zhǎng)度的最小值為25故答案為：25+1，【變式3】如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8．E為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接CE，DE，且∠ADE=∠DCE，P為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，EP，則BP+EP的最小值為．【答案】8【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱—線段最短，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)T，取CD的中點(diǎn)O，連接OT，OE，PT，過(guò)點(diǎn)O作OR⊥AB于點(diǎn)R，由四邊形ABCD是矩形，則AD=BC=8，AD∥BC，∠ADC=90°，又OD=OC，AD∥OR∥BC，故有AR=BR=2，通過(guò)勾股定理得OT=TR2+OR2=【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)T，取CD的中點(diǎn)O，連接OT，OE，PT，過(guò)點(diǎn)O作OR⊥AB于點(diǎn)R，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AD∥BC，∵OD=OC，AD∥∴AR=BR=2，∵AB=AT=4，∴RT=6，∴OT=T∵∠ADE=∠DCE，∠ADE+∠CDE=90°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CED=90°，∴OE=1∴點(diǎn)E在⊙O上運(yùn)動(dòng)，∵PT+PE+OE≥OT=10，∴PT+PE≥10?2=8，∵PT=PB，∴PB+PE≥8，∴PB+PE的最小值為8，故答案為：8．

【題型四】圓周角定理【典例4】如圖，AB是⊙O的直徑，∠CDB=26°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．60° B．52° C．50° D．40°【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：∵∠CDB和∠BOC∴故選：B．【變式1】如圖，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，∠BOC=40°，則∠BAC等于（

）A．40° B．30° C．20° D．10°【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，掌握此定理是解題的關(guān)鍵，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵BC=BC，∴∠CAB=1故選：C．【變式2】如圖，AB是⊙O的直徑，C,D是圓上的點(diǎn)，若∠AOC=100°，則∠D的度數(shù)是（A．50° B．40° C．30°【答案】B【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵∠AOC=100∴∠BOC=80∴∠D=1故選：B．【變式3】如圖，A，B，C三點(diǎn)在⊙O上，且∠BOC=100°，則A．40° B．50° C．80° 【答案】B【分析】在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，由此可得出答案．本題考查了圓周角定理，屬于基礎(chǔ)題，掌握?qǐng)A周角定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得∠A=1故選：B．

【題型五】圓內(nèi)接四邊形【典例5】如圖所示，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在⊙O上，邊AB、AC與⊙O分別交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F是劣弧DE上一點(diǎn)，且與D、E不重合，連接DF、EF，則∠DFE的度數(shù)為（

）A．115° B．118° C．120° D．125°【答案】C【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)等知識(shí)點(diǎn)，解決此題的關(guān)鍵是運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得到兩角之和為180°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到其中一個(gè)角是60°，即可得到答案；【詳解】解：∵四邊形EFDA是⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠EFD+∠A=180°，∵等邊△ABC的頂點(diǎn)A在⊙O上，∴∠A=60°，∴∠EFD=120°，故選：C．【變式1】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A=110°，連接OB、OD，則∠BOD=°．【答案】140【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BCD，再根據(jù)圓周角定理求出∠BOD．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°?∠A=180°?110°=70°，由圓周角定理得：∠BOD=2∠BCD=2×70°=140°，故答案為：140．【變式2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ADC=116°，點(diǎn)E在⊙O上，則∠BEC=．【答案】26°【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，連接AC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BAC，再根據(jù)圓周角定理求出∠BEC．【詳解】解：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=116°，∴∠ABC=180°?∠ADC=180°?116°=64°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°?64°=26°，由圓周角定理得：∠BEC=∠BAC=26°，故答案為：26°．【變式3】如圖，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，若∠AOB=70°，則∠APB=°．【答案】145【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)同圓中，等弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半得出∠ACB=35°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，∵AB=AB，∴∠ACB=1∵四邊形ACBP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠APB=180°?∠ACB=180°?35°=145°．故答案為：145．

【題型六】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定【典例6】若⊙O的直徑為8cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為4cm，那么點(diǎn)A與A．點(diǎn)A在圓外 B．點(diǎn)A在圓上C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．不能確定【答案】B【分析】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先求出⊙O的半徑，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵⊙O的直徑為8cm∴⊙O的半徑為4cm∵點(diǎn)A到圓心O的距離為4cm∴點(diǎn)A在⊙O上．故選：B．【變式1】已知⊙O的直徑為5cm，若點(diǎn)A到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是比較點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的大?。雀鶕?jù)圓的直徑求出半徑；再比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大?。蛔詈蟾鶕?jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判定點(diǎn)的位置．【詳解】解：已知⊙O的直徑為5cm，則半徑為5÷2=2.5點(diǎn)A到圓心O的距離為3cm，因?yàn)?cm>2.5cm，所以點(diǎn)故選：C．【題型七】三角形的外接圓【典例7】如圖，已知△ABC．

(1)用直尺和圓規(guī)作△ABC的外接圓⊙O（保留作圖的痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，若⊙O的半徑為5，點(diǎn)O到BC的距離為3，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)8【分析】本題考查尺規(guī)作圖，垂徑定理，勾股定理三角形的外接圓與外心等知識(shí)，（1）作線段AB，AC的垂直平分線交點(diǎn)為O，點(diǎn)O即為△ABC的外接圓的圓心；（2）作OE⊥BC于E.利用勾股定理求出BE，再利用垂徑定理可得BE=EC，求出BC即可．【詳解】（1）解：如圖，作線段AB，AC的垂直平分線交點(diǎn)為O，點(diǎn)O即為△ABC的外接圓的圓心；

（2）解：作OE⊥BC于E．在Rt△OBE中，∵OB=5，OE=3，∴BE=O∵OE⊥BC，∴BE=EC=4，∴BC=BE+EC=8．【變式1】三角形的外心就是三角形外接圓圓心，是三角形（

）A．三邊上的高線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圓的圓心，就是三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)．【詳解】解：∵三角形的外心就是三角形外接圓圓心，∴角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∵到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴三角形的外心就是三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：C．【變式2】如圖，直角坐標(biāo)系中A0,4,B4,4,C6,2，經(jīng)過(guò)A，B，CA．1,?1 B．1,0 C．2,0 D．2,1【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理、坐標(biāo)與圖形．由網(wǎng)絡(luò)可得出線段AB和BC的垂直平分線的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)即為圓心M，進(jìn)而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，作線段AB和BC的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為圓心M，則點(diǎn)M坐標(biāo)為2,0，故選：C【題型八】直線與圓的位置關(guān)系的判定【典例8】如圖是記錄的日出美景，圖中太陽(yáng)與海天交界處可看成圓與直線，它們的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：圖中太陽(yáng)與海天交界處可看成圓與直線，它們的位置關(guān)系是相交，故選：A．【變式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以點(diǎn)C為圓心，r=3cm為半徑的⊙C與【答案】相交【分析】此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答．根據(jù)勾股定理可知AB=5cm．作CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)表示圓心C到AB的距離．根據(jù)等積法求出CD【詳解】解：如圖，作CD⊥AB于D點(diǎn)．∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4∴AB=BC2+AC∴CD=2.4(cm∵2.4cm∴⊙C與AB的位置關(guān)系是相交，故答案為：相交．【變式2】如圖，點(diǎn)A，B，D在⊙O上，∠A=29°，OD的延長(zhǎng)線與直線BC相交于點(diǎn)C，且∠C=32°，則直線BC與⊙O的位置關(guān)系是．【答案】相切【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理．連接OB,利用圓周角定理求出∠BOC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OBC的度數(shù)，再根據(jù)切線的判定定理判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系．【詳解】解：連接OB,∵∠A=29°，∴∠BOC=2∠A=58°.∵∠C=32°，∴∠OBC=180°?∠BOC?∠C=180°?58°?32°=90°.∴OB⊥BC.∵OB是⊙O的半徑，∴BC與⊙O相切．故答案為：相切．【題型九】切線判定與性質(zhì)綜合【典例9】如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，B是⊙O上一點(diǎn)，且PA=PB，延長(zhǎng)BO分別與⊙O、切線PA相交于C、Q兩點(diǎn)．(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)QD為PB邊上的中線，若AQ=4，CQ=2，求【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)73．【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接OA，先證明△OBP≌△OAP（SSS），則∠OBP=∠OAP，繼而求出∠OBP=90°，可推導(dǎo)出PB（2）設(shè)OA=r，得到r2+42=（r+2）2，求出r=3，則OA=3,BC=6，設(shè)BP=x【詳解】（1）證明：連接OA，在△OBP和△OAP中，PA=PBOB=OA∴△OBP≌△OAP（∴∠OBP=∠OAP，∵PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，∵OB是半徑，∴PB是⊙O的切線；（2）∵AQ=4,CQ=2,∠OAP=90°，∴∠OAQ=90°,設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=r，QO=OC+CQ=r+2，∴OA∴r2解得r=3，∴OA=3,BC=2r=6，∴BQ=BC+CQ=8，設(shè)BP=x，則AP=x，∴PQ=AP+AQ=x+4，∵∠OBP=90°，∴BP∴x2解得x=6，∴BP=6，∵QD為PB邊上的中線，∴BD=1∴QD=B即QD的值是73．【變式1】如圖，AB是⊙O的弦，C為過(guò)點(diǎn)B的切線上一點(diǎn)，且BC=AC，D,?E,?F分別在AB,?(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若∠C=50°，求∠EDF的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)65°【分析】本題考查切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）連接OA,?OB，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAO=∠CBO，再根據(jù)切線的性質(zhì)定理可得（2）證明△ADF≌△BEDSAS得到∠ADF=∠BED，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠CAB=∠CBA=65°，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理和平角定義得到∠EDF=∠CBA=65°【詳解】（1）證明：連接OA,?∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠CAO=∠CBO，∵BC是⊙O的切線，∴∠CBO=90°，∴∠CAO=90°．∵OA是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：在△ADF與△BED中，AD=BE∴△ADF≌△BEDSAS∴∠ADF=∠BED，∵AC=BC，∠C=50°，∴∠CAB=∠CBA=1∵∠ADF+∠FDE+∠BDE=180°，∠BED+∠CBA+∠BDE=180°，∴∠EDF=∠CBA=65°．【變式2】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=75°,∠ABC=45°，連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)C作AD的平行線交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：CE與⊙O相切；(2)若BD=6，求線段EC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)6+6【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得∠AOC＝90°，再根據(jù)AD∥EC，可得（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE于點(diǎn)F，可知∠ACB=∠ADB=60°，從而求出AD的長(zhǎng)，再證明四邊形AOCF是正方形，得CF=AO=6，再證∠E=30°，從而EF=3【詳解】（1）證明：連接OC，∵∠ABC=45°，∴∠AOC=90°，又∴∠AOC+∠OCE=180°，∴∠OCE=90°，則OC⊥CE，∵OC為半徑，∴CE與⊙O相切．（2）如圖，作AF⊥CE于點(diǎn)F，∵AD為直徑，∴∠ABD=90°，∵AF⊥EC，∴四邊形OAFC是矩形，又∵OA＝∴四邊形OAFC是正方形，∵∠BAC=75°，∵AB=∴∠ACB=∠ADB=180°?75°?45°=60°，∴∠BAD=90°?∠D=30°，又∵AD∥CE，∴∠E=∠BAD=30°，∴AD=2BD=12，∴OA=OC=AF=CF=6，EF=3∴EC=EF+CF=6+63【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O切AB于點(diǎn)E，BF⊥AO交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且∠FBC=∠CAF．

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若AC=6，①求⊙O的半徑；②連接CF，求BF的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①3；②2【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，只要證明∠ACO=90°即可得證；（2）根據(jù)題意，由勾股定理可得AB，連接OE，由切線長(zhǎng)定理及切線性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列方程求解即可得到答案；（3）根據(jù)切線性質(zhì)，利用三角形全等的性質(zhì)得到△AFG≌【詳解】（1）證明：∵BF⊥AO，∴∠BFO=90°，∵∠FBC=∠CAF，∴∠ACO=∠BFO=90°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：①∵AC=6，∴AB=A連接OE，如圖所示：

∵AC與AE都為⊙O的切線，∴AC=AE=6，∴BE=AB?AE=4，在Rt△BOE中，設(shè)OC=OE=r，則有OB=8?r，由勾股定理得8?r2=②延長(zhǎng)AC、BF相交于點(diǎn)

∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，∵AC與AE都為⊙O的切線，∴OC⊥AC,OE⊥AE,OC=OE，∴∠CAO=∠EAO，在△AFG和△AFB中，∠CAO=∠EAOAF=AF∴△AFG≌∴AG=AB=10，∴CG=BE=4，在Rt△BCG中，∠BCG=90°，則BG=∴BF=1【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及切線的證明、勾股定理、切線性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)證明圓的相關(guān)綜合問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【題型十】切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用【典例10】如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，⊙O的切線EF分別交PA、PB于點(diǎn)E、F，切點(diǎn)C在弧AB上，PA=8，則△PEF的周長(zhǎng)是（

）．A．12 B．18 C．24 D．16【答案】D【分析】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用．由切線長(zhǎng)定理知，AE=CE，F(xiàn)B=CF，PA=PB=8，然后根據(jù)△PEF的周長(zhǎng)公式即可求出其結(jié)果．【詳解】解：∵PA、PB、EF分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B、C，∴AE=CE，BF=CF，PA=PB=8，∴△PEF的周長(zhǎng)=PE+EF+PF=PE+CE+CF+PF=PE+AE+BF+PF=PA+P故選：D．【變式1】如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E、F、G且AB∥CD，若OB=8cmA．7cm B．8cm C．9cm【答案】D【分析】此題主要是考查了切線長(zhǎng)定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理，即可證明∠BOC=90°，再根據(jù)勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，再結(jié)合切線長(zhǎng)定理即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接OF，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°，∵OB=6cm，OC=8∴BC=O∵OF⊥BC，∴BE=BF，CG=CF∴BE+CG=BF+CF=BC=10cm故選：D．【變式2】如圖，PA、PB、CD是⊙O的切線，點(diǎn)A、B、E是切點(diǎn)，CD分別交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，若∠APB=60°，則∠COD的度數(shù)（

）A．60° B．45° C．70° D．90°【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)切線性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理可得∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°，DB=DE，CA=CE，進(jìn)而可得△AOC≌△EOCSAS，△EOD≌△BODSAS，即得∠AOC=∠EOC=12∠AOE【詳解】解：如圖，連接OA、OE、OB，∵PA、PB、CD是⊙O的切線，點(diǎn)A、B、E是切點(diǎn)，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，CA=CE，∴∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°，又∵AO=OE=OB，∴△AOC≌△EOCSAS，△EOD≌△BOD∴∠AOC=∠EOC=12∠AOE∴∠COD=1∵∠APB=60°，∴∠AOB=360°?∠PAO?∠PBO?∠APB=360°?90°?90°?60°=120°，∴∠COD=1故選：A．【變式3】如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過(guò)A作半圓的切線，與半圓相切于F點(diǎn)，與DC相交于E點(diǎn)，則△ADE的面積（

）A．12 B．24 C．8 D．6【答案】D【分析】此題主要考查圓的切線長(zhǎng)定理，正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是運(yùn)用切線長(zhǎng)定理得出AB=AF，EF=EC．由于AE與圓O切于點(diǎn)F，根據(jù)切線長(zhǎng)定理有AF=AB=4cm，EF=EC；設(shè)EF=EC=xcm．則DE=(4?x)cm，AE=(4+x)cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出關(guān)于【詳解】解：∵AE與圓O切于點(diǎn)F，顯然根據(jù)切線長(zhǎng)定理有AF=AB=4cm，EF=EC設(shè)EF=EC=xcm則DE=(4?x)cm，AE=(4+x)在三角形ADE中由勾股定理得：(4?x)2∴x=1，∴CE=1cm∴DE=4?1=3cm∴S故選：D

【題型十一】三角形的內(nèi)切圓【典例11】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別切BC,AB,AC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若△ABC的周長(zhǎng)為24cm，BC=10cm，則AE的長(zhǎng)為（

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì),再結(jié)合三角形周長(zhǎng)求出AE的長(zhǎng)度.根據(jù)⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，得到切線長(zhǎng)相等，再根據(jù)三角形△ABC的周長(zhǎng)，以及BC的長(zhǎng)度，求出AE的長(zhǎng)度.【詳解】∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴AE=AF,BE=BD,CD=CF，∴BE+CF=BD∵△ABC的周長(zhǎng)為24cm，∴AE+AF+BE+CF+BC=24cm∴2AE=4cm∴AE的長(zhǎng)為2故選：C.【變式1】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且CD=2，AB=7，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CE=CD=2，AE=AF，BF=BD，根據(jù)AB=7，于是得到△ABC的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴CE=CD=2，AE=AF，BF=BD，∵AF+BF=AB=7，∴AE+BD=AB=7，∴△ABC的周長(zhǎng)=2+2+7+7=18，故選：A．【變式2】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=17，⊙O與△ABC三邊分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且OD=3，則△ABC的面積是（）A．80 B．70 C．60 D．50【答案】C【分析】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．連接OE、OF、AO、BO，由⊙O與△ABC三邊分別相切于點(diǎn)D,E,F，得AB⊥OD，AC⊥OE，BC⊥OF，OE=OF=OD=3，AE=AD，BF=BD，CE=CF，則AE+BF=AD+BD=AB，推導(dǎo)出S△AOE+S△BOF=S△AOB【詳解】解：連接OE、OF、AO、BO，∵⊙O與△ABC三邊分別相切于點(diǎn)D,E,F，且∠ACB=90°，AB=17，OD=3，∴AB⊥OD，AC⊥OE，BC⊥OF，OE=OF=OD=3，AE=AD，BF=BD，CE=CF，∴AE+BF=AD+BD=AB，∴S△AOE∵∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∴四邊形OECF是矩形，∵OE=OF，∴四邊形OECF是正方形，∴S四邊形∴S△ABC故選：C．【變式3】如圖，已知⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，⊙O與BC，AC，AB的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，若AC=8，BC=6A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】連接OD，OE，由∠C=90°，AC=8，BC=6，求得AB=10，由⊙O與AC，BC，AB的切點(diǎn)分別為E，D，F(xiàn)，得AE=AF，BD=BF，CD=CE，由AE+BD=AB=10，求得CD+CE=2CD=AC+BC?(AE+BD)=4，則CD=2，再證明四邊形ODCE是正方形，所以O(shè)D=CD=2，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：連接OD，OE，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=A∵⊙O與BC，AC，AB的切點(diǎn)分別為D，∴BC⊥OD，AC⊥OE，AE=AF，BD=BF，CD=CE，∴AE+BD=AF+BF=AB=10，∴CD+CE=2CD=AC+BC?(AE+BD)=8+6?10=4，∴CD=2，∵∠ODC=∠C=∠OEC=90°，OD=OE，∴四邊形ODCE是正方形，∴OD=CD=2，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，求得CD=2，并且證明四邊形ODCE是正方形是解題的關(guān)鍵．

【題型十二】正多邊形與圓的綜合【典例12】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），連接CP，DP，則∠CPD的度數(shù)為（

）A．165° B．150° C．120° D．108°【答案】B【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，連接OC、OD，在AB上任意取一點(diǎn)Q，連接QC，QD，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠COD=360°6=60°，根據(jù)圓周角定理得出∠CQD=12【詳解】解：連接OC、OD，在AB上任意取一點(diǎn)Q，連接QC，QD，如圖：∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=360°∴∠CQD=1∵四邊形CPDQ為圓內(nèi)接四邊形，∴∠CPD+∠CQD=180°，∴∠CPD=180°?30°=150°．故選：B．【變式1】劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過(guò)程中，作了一個(gè)如圖所示的圓內(nèi)接正十二邊形．若⊙O的半徑為1，則這個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形的面積為（

）

A．1 B．3 C．π D．2【答案】B【分析】本題考查了正多邊形與圓，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決此題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于C，得到圓的內(nèi)接正十二邊的圓心角為30°，根據(jù)三角形的面積公式即可求出結(jié)論．【詳解】解：由題意可作圖如下，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于C，

∵圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為360°12∴AC=1∴S△OAB即這個(gè)圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為12×1故選：B【變式2】如圖，已知⊙O的半徑為4，則它的內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．42 D．【答案】C【分析】本題主要考查了正多邊形和圓、勾股定理；正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出正方形ABCD的邊長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示：連OA，OB，∵⊙O的半徑為4，四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB=4，∠AOB=90°，∴AB=O故選：C．【變式3】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若四邊形AOCB的面積為83，則⊙O的半徑為（

A．2 B．22 C．23【答案】D【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形、菱形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．連接AC,OB于點(diǎn)G，設(shè)⊙O的半徑為2r，則OA=OB=OC=2r，先證出四邊形AOCB是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得S△AOG【詳解】解：如圖，連接AC,OB于點(diǎn)G，設(shè)⊙O的半徑為2r，則OA=OB=OC=2r，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴∠AOB=360°∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB，同理可得：OC=BC，∴OA=AB=OC=BC，∴四邊形AOCB是菱形，∴OG=12OB=r，AC⊥OB∴AG=O∵四邊形AOCB的面積為83∴S△AOG=1解得r=2或r=?2<0（不符合題意，舍去），∴⊙O的半徑為2r=2×2=4，故選：D．【題型十三】弧長(zhǎng)的計(jì)算【典例13】已知⊙O半徑為18cm，在⊙O中60°A．3πcm B．4.5πcm C．6πcm【答案】C【分析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是記住弧長(zhǎng)公式．直接利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)=60故選：C．【變式1】如圖，直線l1∥l2，直線m分別交l1、l2于點(diǎn)A、B，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交l2、l1于直線A．5π B．4π C．72【答案】C【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接AC，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠CBD=∠ADB=35°，∠ADB=∠ABD=35°，∠ABC=∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAC=∠ACB=70°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接AC，如圖所示：∵l1∴∠CBD=∠ADB=35°，根據(jù)作圖可知：AB=AC=AD，∴∠ADB=∠ABD=35°，∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°，∵l1∴∠DAC=∠ACB=70°，∴CD的長(zhǎng)為7