2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程和圓的兩種類型的方程。我們知道利用直線的方程可以研究兩條直線的位置關(guān)系.本節(jié)我們將類比用直線方程研究兩條直線位置關(guān)系的方法，進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何利用直線和圓的方程，通過定量計算研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.5.1直線與圓的位置關(guān)系1.理解并掌握直線與圓的位置關(guān)系的兩種判斷方法；（重點）2.會求過一個定點的圓的切線方程；（重點）3.當(dāng)直線與圓相交時，會求直線被圓截得的弦長；（重點）4.掌握直線和圓的方程在實際生活中的應(yīng)用．（難點）復(fù)習(xí)回顧：初中學(xué)過的平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？相交相切相離（1）（3）（2）課堂探究怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？你能利用直線和圓的方程來判斷直線和圓的位置關(guān)系嗎？先來看一個具體的例子.(有兩個公共點）(有一個公共點）(沒有公共點）例1已知直線l:3x＋y－6＝0和圓心為C的圓x2＋y2－2y－4＝0,判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;如果相交,求直線l被圓C所截得的弦長.解1:(代數(shù)法)判斷直線與圓位置關(guān)系的方法：(1)代數(shù)法：①△＞0消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程.利用一元二次方程的判別式△確定解的情況,判斷直線與圓位置關(guān)系：直線l與圓C相交；方程有兩不等實根②△＝0直線l與圓C相切；方程有兩個相等實根③△＜0直線l與圓C相離.方程無實數(shù)根在平面直角坐標(biāo)系中,要判斷直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系,可以聯(lián)立它們的方程,通過方程組若相交,可以由方程組(1)解得兩交點坐標(biāo)利用兩點間的距離公式求得弦長.例1已知直線l:3x＋y－6＝0和圓心為C的圓x2＋y2－2y－4＝0,判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;如果相交,求直線l被圓C所截得的弦長.解2:(幾何法)xOy621BAdlC?③d＞r已知直線l:Ax+By+C=0,圓C:(x－a)2+(y－b)2=r2.設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則有①d＜r直線l與圓C相交；②d＝r直線l與圓C相切；直線l與圓C相離.判斷直線與圓位置關(guān)系的方法：(2)幾何法：根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑r,從而求得圓心到直線的距離d,通過比較d與r的大小,判斷直線與圓的位置關(guān)系.若相交,則可利用勾股定理求得弦長.xyOABdC若直線l與圓C相交,則弦長公式為r直線與圓相交時弦長的兩種求法：(2)代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

(1)幾何法：如圖示，直線l與圓C交于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有其中k為直線l的斜率,a是方程組消元后的二次方程的二次項系數(shù),?是判別式.?xOylCdABr例2過點P(2,1)作圓O:x2＋y2＝1的切線l,求切線l的方程.解1:(幾何法)?-1xOy112?P(2,1)r例2過點P(2,1)作圓O:x2＋y2＝1的切線l,求切線l的方程.解2:(代數(shù)法)?-1xOy112?P(2,1)r變式：過點P(1,2)作圓O:x2＋y2＝1的切線l,求切線l的方程.?-1xOy112?P(1,2)r解：當(dāng)過點P的直線斜率不存在時，其方程為x=1,易知圓心到此直線的距離等于半徑，所以直線x=1為圓的一條切線當(dāng)過點P的直線斜率存在時，設(shè)其方程為y-2=k(x-1)即kx-y-k+2=0綜上，所求切線方程為x=1或3x-4y+5=0鞏固訓(xùn)練1：1.過點P(3,－1)與圓C:(x－4)2+(y－2)2=1相切的切線方程為_________________.x=3或4x-3y-15=02.過點P(1,3)與圓C:(x－4)2＋(y－2)2＝10相切的切線方程為____________.3x－y＝0?xOy?P(3,-1)C(4,2)?xOyC(4,2)P(3,-1)(1)求過已知點的圓的切線的方法①如果已知點在圓上，那么圓心和已知點的連線和切線垂直，從而求得切線的斜率，用直線的點斜式方程可求得切線方程．②如果已知點在圓外，過這點的切線將有兩條，但在設(shè)斜率解題時要先判定斜率是否存在，否則可能會漏解.

總結(jié)：過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0

,y0)的切線方程：

補(bǔ)充結(jié)論：P(x,y)yxOC(a,b)特別地，過圓x2＋y2＝r2上點M(x0

,y0)的切線方程：

P(x,y)yxO1.判斷下列各組直線l與圓C的位置關(guān)系,如果相交,求直線l被圓C所截得的弦長.解:(1)2.已知直線4x＋3y－35＝0與圓心在原點的圓C相切,求圓C的方程.3.判斷直線2x－y＋2＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓截得的弦長.求圓心坐標(biāo)及半徑r（配方法）

圓心到直線的距離d（點到直線距離公式）

消去y（或x）幾何方法代數(shù)方法復(fù)習(xí)回顧：判斷直線和圓的位置關(guān)系|AB|解得：所以，圓的方程為：點P（0,4），B（10,0）在圓上，所以，有把的橫坐標(biāo)代入圓的方程得：由題可知y＞0，解得：y≈3.86(m)答：支柱A2P2的高度約為3.86米。那么圓的方程為：x2＋（y－b）2＝r2，解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使圓心在y軸上，設(shè)圓心的坐標(biāo)是（0，b），圓的半徑為rABPA1A2A3A4P2O例3如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱A2P2的高度(精確到0.01m).xy思考：不建立坐標(biāo)系,如何解決這個問題?由此比較綜合法與坐標(biāo)法的特點。CBH作即得在中，得又在中所以支柱A2P2的高度約是3.86m.解法如下CBH例4一個小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處,港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港,那么它是否會有觸礁危險??港口?輪船?解：以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為了運(yùn)算的簡便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為(0,3)，輪船所在位置的坐標(biāo)為(4,0).

這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程為輪船航線所在直線l的方程為聯(lián)立直線l與圓O的方程，消去y，得由△<0，可知直線l與圓O相離，所以輪船沿直線返港不會有觸礁危險.xyO用坐標(biāo)法解決幾何問題時，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素:點、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論.這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”:第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素,如點、直線、圓,把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步：通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題;第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.思考：你還能用其他方法解決上述問題嗎？1.趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程.ABPOxy解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)圓拱所在圓的圓心坐標(biāo)為(0,b)，圓的半徑為r，則圓的方程為由題意，點P,B在圓上，且它們的坐標(biāo)分別為(0,

7.2),(18.7,0)，則有故所求圓拱的方程為解得2.某圓拱橋的水面跨度20m,拱高4m.現(xiàn)有一船,寬10m,水面以上高3m.這條船能否從橋下通過?ABPOxyCFED解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)圓拱的圓心坐標(biāo)為(0,b)，圓的半徑為r，則圓的方程為由題意，點P,B在圓上，且它們的坐標(biāo)分別為(0,

4),(10,0)，則有故所求圓拱的方程為解得把點D的橫坐標(biāo)x=5代入上式，得因為船在水面以上的高度為3m，3<3.1，所以該船可以從船下穿過.3.在一個平面上,機(jī)器人從與點C(5,－3)的距離為9的地方繞點C順時針而行,在行進(jìn)過程中保持與點C的距離不變,它在行進(jìn)過程中到過點A(－10,0)與