專題06空間幾何體

目錄

明晰學(xué)考要求.......................................................................................................................................1

基礎(chǔ)知識(shí)梳理.......................................................................................................................................1

考點(diǎn)精講講練基礎(chǔ)知識(shí)梳理...............................................................................................................4

考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征........................................................................................................................4

考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積............................................................................................................................6

考點(diǎn)三：空間幾何體的體積................................................................................................................................6

考點(diǎn)四：球的表面積與體積................................................................................................................................8

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練.......................................................................................................................................9

明晰學(xué)考要求

1、了解多面體和旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征.；

2、知道棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.；

3、知道圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式；

4、知道球的表面積和體積的計(jì)算公式；

5、了解斜二測(cè)畫法畫簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖.

基礎(chǔ)知識(shí)梳理

1、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

有兩個(gè)面互相平直棱柱：側(cè)棱垂

底面(底)：兩個(gè)互

行，其余各面都直于底面的棱柱

相平行的面

是四邊形，并且斜棱柱：側(cè)棱不

側(cè)面：其余各面

棱相鄰兩個(gè)四邊形垂直于底面的棱

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的

柱的公共邊都互相柱

公共邊

平行，由這些面記作：棱柱ABCDEF－正棱柱：底面是

頂點(diǎn)：側(cè)面與底面

所圍成的多面體A′B′C′D′E′F′正多邊形的直棱

的公共頂點(diǎn)

叫做棱柱柱

底面(底)：多邊形

有一個(gè)面是多邊面

正棱錐：底面是

形，其余各面都側(cè)面：有公共頂點(diǎn)

正多邊形，并且

棱是有一個(gè)公共頂?shù)母鱾€(gè)三角形面

頂點(diǎn)與底面中心

錐點(diǎn)的三角形，由側(cè)棱：相鄰側(cè)面的

的連線垂直于底

這些面所圍成的記作：棱錐公共邊

面的棱錐

多面體叫做棱錐S－ABCD頂點(diǎn)：各側(cè)面的公

共頂點(diǎn)

上底面：原棱錐的

截面

用一個(gè)平行于棱下底面：原棱錐的

錐底面的平面去底面

棱截棱錐，底面和側(cè)面：其余各面

臺(tái)截面之間的那部側(cè)棱：相鄰側(cè)面的

分多面體叫做棱公共邊

臺(tái)記作：棱臺(tái)ABCD－A′B′C′D′頂點(diǎn)：側(cè)面與上

(下)底面的公共頂

點(diǎn)

2、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圖形表示

以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)

軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面

所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)

軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊圓柱用表示它的軸的字母

圓柱旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底表示，如圖中的圓柱記作

面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲圓柱O′O

面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到

什么位置，平行于軸的邊都叫做

圓柱側(cè)面的母線

以直角三角形的一條直角邊所在

圓錐也用表示它的軸的字

直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一

圓錐母表示，如圖中的圓錐記

周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做

作圓錐SO

圓錐

用平行于圓錐底面的平面去截圓圓臺(tái)也用表示它的軸的字

圓臺(tái)錐，底面與截面之間的部分叫做母表示，如圖中的圓臺(tái)記

圓臺(tái)作圓臺(tái)O′O

半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)

軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球

面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球

體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫做球的球常用表示球心的字母來(lái)

球

球心，連接球心和球面上任意一表示，左圖可表示為球O

點(diǎn)的線段叫做球的半徑；連接球

面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫

做球的直徑

3、直觀圖

用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

4、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積

(1)多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.

(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和.

5、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

(1)棱柱：棱柱的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.

1

(2)棱錐：棱錐的底面面積為S，高為h，則V＝Sh.

3

1

(3)棱臺(tái)：棱臺(tái)的上、下底面面積分別為S′，S，高為h，則V＝(S′＋S′S＋S)h.

3

5、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積

2

底面積：S底＝πr

圓柱側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl

表面積：S＝2πrl＋2πr2

2

底面積：S底＝πr

圓錐側(cè)面積：S側(cè)＝πrl

表面積：S＝πrl＋πr2

2

上底面面積：S上底＝πr′

2

下底面面積：S下底＝πr

圓臺(tái)

側(cè)面積：S側(cè)＝πl(wèi)(r＋r′)

表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

6、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積

2

V圓柱＝πrh(r是底面半徑，h是高)，

12

V圓錐＝πrh(r是底面半徑，h是高)，

3

122

V圓臺(tái)＝πh(r＋r′r＋r′)(r′、r分別是上、下底面半徑，h是高).

3

7、球的表面積與體積公式

前提條件球的半徑為R

2

球的表面積公式S球＝4πR

43

球的體積公式V球＝πR

3

1

球的表面積公式與體積公式的聯(lián)系V球＝S球R

3

考點(diǎn)精講講練基礎(chǔ)知識(shí)梳理

考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

【典型例題】

例題1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）如圖所示，在三棱臺(tái)ABCA1B1C1中，沿平面A1C1B截去三棱

錐B1A1C1B，則剩余的部分是（）

A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．四棱柱

例題2．（2024年江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬）已知圓錐的母線長(zhǎng)為22，其側(cè)面展開圖為一個(gè)

半圓，則該圓錐的底面半徑為（）

23

A．2B．C．3D．

22

例題3．如圖、以矩形ABCD的邊AB所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是（）

A．圓錐B．圓臺(tái)C．圓柱D．球

【即時(shí)演練】

1.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA12，則BD1=（）

A．6B．7C．10D．11

2．如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是（）

A．棱柱B．棱臺(tái)C．棱柱與棱錐的組合體D．不能確定

3．有一個(gè)多面體，共由四個(gè)面圍成，每一個(gè)面都是三角形，則這個(gè)幾何體為（）

A．四棱柱B．四棱錐

C．三棱柱D．三棱錐

4．在三棱錐PABC中，PO平面ABC，垂足為O，且PAPBPC，則點(diǎn)O一定是VABC的（）

A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心

考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積

【典型例題】

例題1．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）若圓柱的上?下底面的圓周都在一個(gè)半徑為2的球面上，則該圓柱側(cè)

面積的最大值為（）

A．4πB．8πC．12πD．16π

例題2．已知圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角是60，則該圓錐的側(cè)面積是（）

23π2π

A．B．2πC．D．π

33

例題3．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個(gè)多面體，圖

2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個(gè)全等的等腰梯形，AB//CD//EF,△EAD

和FBC是兩個(gè)全等的正三角形．已知該多面體的棱BF與平面ABCD成的角45，AB20,BC8，則該

屋頂?shù)膫?cè)面積為（）

A．80B．803C．160D．1603

【即時(shí)演練】

1.已知棱長(zhǎng)為2，各面均為等邊三角形的四面體，則其表面積為（）

4

A．12B．23C．43D．3

3

2.已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓柱的側(cè)面積為（）

A．2πB．4πC．6πD．4

3.底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)為5，它的體對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)

面積為（）

A．160B．80C．100D．120

考點(diǎn)三：空間幾何體的體積

【典型例題】

例題1．（江蘇省南京市2025屆高三學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷）在正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，AB4，

A1B12，AA122，則該棱臺(tái)的體積為．

例題2．已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線與底面所成的角是60o，則該圓錐的體積是（）

3π

A．B．πC．3πD．3π

3

例題3．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）如圖，三棱錐PABC的底面ABC和側(cè)面PBC都是邊長(zhǎng)為2的等邊

三角形，M,N分別是AB,BC的中點(diǎn)，PNAN.

(1)證明：MN//平面PAC；

(2)求三棱錐PABC的體積.

【即時(shí)演練】

1．小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個(gè)半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)分

別記為A,B,C，如圖1所示，然后截去以VABC為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種方

法共截去八個(gè)正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長(zhǎng)為6，則此半正多面體模型

的體積為（）

A．108B．162C．180D．189

2.上、下底面圓的半徑分別為r、2r，高為3r的圓臺(tái)的體積為（）

33

A．7πr3B．21πr3C．522πrD．52πr

3.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，CC1平面

ABC.

(1)求證：AC1//平面CDB1；

(2)求三棱錐DB1BC的體積.

考點(diǎn)四：球的表面積與體積

【典型例題】

例題1．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為1，1，3，且它的各個(gè)頂點(diǎn)都

在一個(gè)球面上，則該球體積為（）

55π55π

A．B．5πC．6πD．

36

例題2．（江蘇省徐州市2024屆高三上學(xué)期合格考試學(xué)情調(diào)研）一個(gè)圓錐的底面直徑和高都同一個(gè)球的直

徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（）

A．1∶3B．2∶3C．1∶2D．2∶9

例題3．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知一個(gè)實(shí)心銅質(zhì)的圓錐形材料的底面半徑為4，側(cè)面積為85，

現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)實(shí)心銅球，不計(jì)損耗，則銅球的半徑為（）

26

A．2B．C．233D．312

3

【即時(shí)演練】

1．在三棱錐PABC中，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，PA2，PB3，PC3，則該三棱錐的外接球

的表面積為．

2.若球的表面積為4π，則該球的半徑是．

3

3.一個(gè)半徑為cm的球和一個(gè)上，下底面邊長(zhǎng)分別為1cm和2cm的正四棱臺(tái)的體積相同，則正四棱臺(tái)的高

2

為cm．

實(shí)戰(zhàn)能考點(diǎn)精講講練力訓(xùn)練

1.圓錐的底面半徑是1，高是2，則這個(gè)圓錐的體積為（）

2π4π

A．B．π