第4節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.通過具體實(shí)例,結(jié)合y=x,y=1x,y=x2,y=x12,y=x3的圖象,理解它們的變化規(guī)律2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義.一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是,α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).函數(shù)y=xy=x2y=x3y=xy=x-1圖象性質(zhì)定義域RRR值域RR奇偶性函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上分別單調(diào)遞減公共點(diǎn)2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式.一般式f(x)=,圖象的對稱軸是直線x=-b2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b2a頂點(diǎn)式f(x)=,圖象的對稱軸是直線x=m,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m,n)零點(diǎn)式f(x)=,其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根,圖象的對稱軸是直線x=x(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖象(拋物線)定義域值域)(對稱軸方程頂點(diǎn)坐標(biāo)()奇偶性當(dāng)b=0時,是偶函數(shù);當(dāng)b≠0時,是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在(上單調(diào)遞減,在()上單調(diào)遞增在(上單調(diào)遞增,在()上單調(diào)遞減1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)函數(shù)y=12x12是冪函數(shù)(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象恒在x軸下方,則a<0且Δ<0.()(3)二次函數(shù)y=a(x-1)2+2的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).()(4)若冪函數(shù)y=xα是偶函數(shù),則α為偶數(shù).()2.(人教A版必修第一冊P100復(fù)習(xí)參考題3T5改編)已知f(x)為冪函數(shù)且f(2)=14,則f(4)()A.12 B.1316 C.133.(人教A版必修第一冊P91練習(xí)T2改編)已知a=(-π)3,b=-27,c=(-5)0,則()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a4.(人教A版必修第一冊P100復(fù)習(xí)參考題3T4改編)已知函數(shù)f(x)=2x2-mx+1在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增,則f(1)的取值范圍是()A.[7,+∞) B.(7,+∞)C.(-∞,7] D.(-∞,7)5.(人教B版必修第一冊P116習(xí)題3-1BT7改編)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,當(dāng)x=1時,f(x)有最大值4,且|a|=1,則f(x)的解析式為.

考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)[例1](1)(2025·廣東廣州模擬)若冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的值為()A.2 B.1 C.-1 D.-2(2)(2025·四川南充模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能是()A.y=x12 B.yC.y=x3 D.y=x[溯源探本]本例(2)源于人教A版必修第一冊P100復(fù)習(xí)參考題3T5.(1)在區(qū)間(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);在區(qū)間(1,+∞)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.(2)研究冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),有時需要把指數(shù)式化為根式,結(jié)合根式的意義首先確定函數(shù)的定義域,然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定這個冪函數(shù)的單調(diào)性.[針對訓(xùn)練](1)如圖,已知冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的圖象分別是下降,急速上升,緩慢上升,則()A.c<b<a B.a<c<bC.c<a<b D.a<b<c(2)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(12,24),P(x1,y1),Q(x2,y2)(0<x1<x2)是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是(A.x1f(x1)>x2f(x2)B.x1f(x2)<x2f(x1)C.f(xD.f(x考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式[例2]已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定該二次函數(shù)的解析式.求二次函數(shù)解析式的三個策略求二次函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式,一般選擇規(guī)律如下:[針對訓(xùn)練](1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c滿足以下條件:圖象與x軸交于(-2,0),(4,0)兩點(diǎn),且過點(diǎn)(1,-92),則函數(shù)解析式為(2)已知f(x)為二次函數(shù),其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)且過原點(diǎn),則f(x)的解析式為.考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用角度一二次函數(shù)的圖象[例3](多選題)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2OB,則下列結(jié)論正確的為()A.abc>0 B.a+b+c>0C.ac-2b+4=0 D.OA·OB=-c二次函數(shù)圖象的應(yīng)用要學(xué)會“三看”(1)一看符號:看二次項(xiàng)系數(shù)的符號,它確定二次函數(shù)圖象的開口方向.(2)二看對稱軸:看對稱軸和最值,它確定二次函數(shù)圖象的具體位置.(3)三看特殊點(diǎn):看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn),如函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)等.角度二二次函數(shù)的單調(diào)性與最值[例4](2025·遼寧沈陽模擬)已知f(x)=ax2-2x+1.(1)若f(x)在[0,1]上單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若x∈[0,1],求f(x)的最小值g(a).解決“二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值”問題一般先用配方法化為f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,根據(jù)圖象的對稱軸方程x=h和所給區(qū)間,結(jié)合圖象求解.(1)對稱軸和區(qū)間都固定時,根據(jù)單調(diào)性和圖象直接求解.(2)若區(qū)間固定,對稱軸變動,這時要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在區(qū)間中;若對稱軸固定,區(qū)間變動,這時要討論區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值或值域.[針對訓(xùn)練]1.(角度一)(多選題)函數(shù)f(x)=ax2-2x+1與g(x)=xa在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象不可能為()ABCD2.(角度二)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+5在[m,n]上的值域?yàn)閇4m,4n],則m+n的值為.

微點(diǎn)提能2對勾函數(shù)與分式函數(shù)1.對勾函數(shù)y=ax+bx(a>0,b>(1)性質(zhì).①奇偶性:奇函數(shù).②單調(diào)性:單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-ba),(ba,+∞單調(diào)遞減區(qū)間為(-ba,0),(0,ba③漸近線方程:y=ax和x=0.(2)圖象.2.一次分式函數(shù)(1)定義:我們把形如y=cx+dax+b(a≠0,(2)圖象.(3)性質(zhì).①定義域:{x|x≠-ba};值域:{y|y≠c②對稱中心:(-ba,ca③漸近線方程:x=-ba和y=c④單調(diào)性:當(dāng)ad>bc時,函數(shù)在區(qū)間(-∞,-ba)和(-ba,+∞)上分別單調(diào)遞減;當(dāng)ad<bc時,函數(shù)在區(qū)間(-∞,-ba)和(-ba[典例1]已知函數(shù)f(x)=x+ax(a>0)在[2,4]上的最大值比最小值大1,則a=對勾函數(shù)的應(yīng)用(1)解決對勾函數(shù)問題應(yīng)熟練掌握對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)(奇偶性與單調(diào)性).(2)求解有關(guān)對勾函數(shù)的最值(范圍)問題時常用基本不等式法或利用函數(shù)的單調(diào)性,但利用基本不等式法時要注意取等號的條件.[典例2]已知函數(shù)f(x)=ax+2-ax+1,(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(-1,3)成中心對稱時,求a的值;(2)若函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.一次分式函數(shù)的解題策略一次分式函數(shù)y=cx+dax+b(a≠0,ad≠bc)的圖象可看成由反比例函數(shù)y=1[拓展演練](1)函數(shù)f(x)=2x+42x-1-5,x∈[1,3]的