2025年數(shù)字考試題及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.若一個數(shù)的相反數(shù)是3，則這個數(shù)是（）A.3B.3C.1/3D.1/3答案：A。根據(jù)相反數(shù)的定義，互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和為0，所以3的相反數(shù)是3。2.計算：$(2)^3$的結(jié)果是（）A.6B.6C.8D.8答案：C。根據(jù)乘方的運算法則，$(2)^3=(2)\times(2)\times(2)=8$。3.化簡：$3x2x$的結(jié)果是（）A.xB.5xC.xD.1答案：A。合并同類項，$3x2x=(32)x=x$。4.已知一次函數(shù)$y=2x+1$，當$x=3$時，$y$的值為（）A.5B.6C.7D.8答案：C。把$x=3$代入$y=2x+1$，得$y=2\times3+1=7$。5.若關(guān)于$x$的方程$2x+a=5$的解是$x=2$，則$a$的值為（）A.1B.1C.9D.9答案：A。把$x=2$代入方程$2x+a=5$，得到$2\times2+a=5$，即$4+a=5$，解得$a=1$。6.一個多邊形的內(nèi)角和是$720^{\circ}$，這個多邊形是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形答案：C。根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式$(n2)\times180^{\circ}$（$n$為邊數(shù)，$n\geqslant3$且$n$為整數(shù)），設(shè)這個多邊形邊數(shù)為$n$，則$(n2)\times180^{\circ}=720^{\circ}$，解得$n=6$。7.數(shù)據(jù)2，3，5，7，8的中位數(shù)是（）A.3B.5C.7D.8答案：B。將數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，5，7，8，最中間的數(shù)是5，所以中位數(shù)是5。8.若點$P(m,2)$在第二象限，則$m$的取值范圍是（）A.$m\gt0$B.$m\lt0$C.$m\geqslant0$D.$m\leqslant0$答案：B。第二象限內(nèi)的點橫坐標小于0，縱坐標大于0，已知點$P(m,2)$在第二象限，所以$m\lt0$。9.化簡$\sqrt{18}$的結(jié)果是（）A.$3\sqrt{2}$B.$2\sqrt{3}$C.$9\sqrt{2}$D.$2\sqrt{9}$答案：A。$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。10.已知直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，則斜邊長為（）A.5B.6C.7D.8答案：A。根據(jù)勾股定理，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，所以斜邊長為$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。二、填空題（每題3分，共15分）1.比較大?。?\frac{2}{3}$______$\frac{3}{4}$（填“＞”“＜”或“=”）答案：＞。兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。$\vert\frac{2}{3}\vert=\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$，$\vert\frac{3}{4}\vert=\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$，因為$\frac{8}{12}\lt\frac{9}{12}$，所以$\frac{2}{3}\gt\frac{3}{4}$。2.分解因式：$x^24$=________。答案：$(x+2)(x2)$。根據(jù)平方差公式$a^2b^2=(a+b)(ab)$，這里$a=x$，$b=2$，所以$x^24=(x+2)(x2)$。3.函數(shù)$y=\frac{1}{x1}$中，自變量$x$的取值范圍是______。答案：$x\neq1$。因為分式的分母不能為0，所以$x1\neq0$，即$x\neq1$。4.已知扇形的圓心角為$60^{\circ}$，半徑為3，則扇形的弧長為______。答案：$\pi$。根據(jù)扇形弧長公式$l=\frac{n\pir}{180}$（$n$是圓心角度數(shù)，$r$是半徑），把$n=60^{\circ}$，$r=3$代入可得$l=\frac{60\pi\times3}{180}=\pi$。5.若二次函數(shù)$y=x^2+bx+c$的圖象經(jīng)過點$(0,1)$和$(1,2)$，則$b$的值為______。答案：4。把點$(0,1)$和$(1,2)$分別代入二次函數(shù)$y=x^2+bx+c$中，得到$\begin{cases}c=1\\1+b+c=2\end{cases}$，把$c=1$代入$1+b+c=2$，得$1+b+1=2$，解得$b=4$。三、解答題（共55分）1.（6分）計算：$\vert3\vert+(1)^{2025}\sqrt{4}$。解：$\vert3\vert+(1)^{2025}\sqrt{4}$$=3+(1)2$（根據(jù)絕對值的性質(zhì)$\vert3\vert=3$，負數(shù)的奇次冪是負數(shù)$(1)^{2025}=1$，算術(shù)平方根$\sqrt{4}=2$）$=312$$=0$。2.（6分）解不等式組：$\begin{cases}2x+1\gt1\\3x\geqslant1\end{cases}$解：解不等式$2x+1\gt1$，移項得$2x\gt11$，即$2x\gt2$，兩邊同時除以2得$x\gt1$。解不等式$3x\geqslant1$，移項得$x\geqslant13$，即$x\geqslant2$，兩邊同時除以$1$，不等號方向改變，得$x\leqslant2$。所以不等式組的解集為$1\ltx\leqslant2$。3.（7分）先化簡，再求值：$(a+2b)(a2b)+(a+2b)^24ab$，其中$a=1$，$b=\frac{1}{10}$。解：化簡原式：\[\begin{align}&(a+2b)(a2b)+(a+2b)^24ab\\=&a^2(2b)^2+a^2+4ab+4b^24ab\\=&a^24b^2+a^2+4ab+4b^24ab\\=&(a^2+a^2)+(4ab4ab)+(4b^24b^2)\\=&2a^2\end{align}\]當$a=1$時，$2a^2=2\times1^2=2$。4.（8分）如圖，在平行四邊形$ABCD$中，$E$，$F$分別是$AD$，$BC$的中點，連接$BE$，$DF$。求證：四邊形$BEDF$是平行四邊形。證明：因為四邊形$ABCD$是平行四邊形，所以$AD\parallelBC$，$AD=BC$。又因為$E$，$F$分別是$AD$，$BC$的中點，所以$DE=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$。所以$DE=BF$。又因為$DE\parallelBF$，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以四邊形$BEDF$是平行四邊形。5.（8分）某學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機抽取了部分學(xué)生，對他們一周的課外閱讀時間進行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表：|課外閱讀時間（小時）|4|5|6|7|8|||||||||人數(shù)|10|15|20|12|3|（1）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。（2）若該校共有1200名學(xué)生，試估計該校學(xué)生一周課外閱讀時間不少于6小時的人數(shù)。解：（1）平均數(shù)：\[\begin{align}\overline{x}&=\frac{4\times10+5\times15+6\times20+7\times12+8\times3}{10+15+20+12+3}\\&=\frac{40+75+120+84+24}{60}\\&=\frac{343}{60}\approx5.72（小時）\end{align}\]一共有$60$個數(shù)據(jù)，從小到大排列后，第30個和第31個數(shù)據(jù)都在6小時這一組，所以中位數(shù)是6小時。6小時出現(xiàn)的次數(shù)最多，為20次，所以眾數(shù)是6小時。（2）課外閱讀時間不少于6小時的人數(shù)有$20+12+3=35$人，占抽取人數(shù)的比例為$\frac{35}{60}=\frac{7}{12}$。所以該校學(xué)生一周課外閱讀時間不少于6小時的人數(shù)約為$1200\times\frac{7}{12}=700$人。6.（10分）某商場銷售一種商品，已知這種商品的進價為每件60元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，銷售量$y$（件）與銷售單價$x$（元）之間的關(guān)系式為$y=2x+200$。設(shè)這種商品在這段時間內(nèi)的銷售利潤為$w$元。（1）求$w$與$x$之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價為多少元時，銷售利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）銷售利潤$w=$（銷售單價$$進價）$\times$銷售量，已知進價為60元，銷售量$y=2x+200$，所以$w=(x60)(2x+200)$$=2x^2+200x+120x12000$$=2x^2+320x12000$。（2）對于二次函數(shù)$w=2x^2+320x12000$，其中$a=2$，$b=320$，$c=12000$。因為$a=2\lt0$，所以拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標公式$x=\frac{2a}$，可得$x=\frac{320}{2\times(2)}=80$。把$x=80$代入$w=2x^2+320x12000$得：$w=2\times80^2+320\times8012000$$=2\times6400+2560012000$$=12800+2560012000$$=800$。所以當銷售單價為80元時，銷售利潤最大，最大利潤是800元。7.（10分）如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，以$AB$為直徑的$\odotO$交$AC$于點$D$，點$E$為$BC$的中點，連接$DE$。（1）求證：$DE$是$\odotO$的切線；（2）若$AD=6$，$BD=8$，求$DE$的長。證明：（1）連接$OD$，$OE$，$BD。因為$AB$是$\odotO$的直徑，所以$\angleADB=90^{\circ}$（直徑所對的圓周角是直角）。在$Rt\triangleBCD$中，$E$是$BC$的中點，所以$DE=BE=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）。又因為$OD=OB$，$OE=OE$，所以$\triangleODE\cong\triangleOBE$（SSS）。所以$\angleODE=\angleOBE$。因為$\angleC=90^{\circ}$，所以$\angleABC+\angleA=90^{\circ}$。又因為$OA=OD$，所以$\angleA=\angleODA$。所以$\angleODE=\angleOBE=90^{\circ}\angleA$，則$\angleODE+\angleODA=90^{\circ}$，即$\angleODE=90^{\circ}$。又因為$OD$是$\odotO$的半徑，所以$DE$是$\odotO$的切線。解：（2）在$Rt\triangleABD$中，$AD=6$，$BD=8$，根據(jù)勾股定理$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。因為$\angleADB=90^{\circ}$，$\angleC=90^{\circ}$，$\angleA=\angleA$，所以$\triangleABD\sim\triangleABC$。則$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac