答案第=page22頁，共=sectionpages1414頁襄陽四中2023級(jí)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，若，則實(shí)數(shù)可取的值組成的集合為（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，《九章算術(shù)》總結(jié)了先秦時(shí)期數(shù)學(xué)成就，是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)巨著，對(duì)后世數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響.書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺，問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，它的底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為（

）平方尺．A． B． C． D．4．如圖，設(shè)，，線段與交于點(diǎn)F，且，則（

）A．4 B．3 C． D．55．已知數(shù)列是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，若則的值為（

）A． B． C． D．6．已知圓和直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知函數(shù)，是的一個(gè)極值點(diǎn)，且在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，點(diǎn)是與圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若是銳角三角形，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．已知事件，若，，且，則B．已知事件，若，且與相互獨(dú)立，則C．已知事件，若，，且，則與相互獨(dú)立D．某班對(duì)學(xué)生體重進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取男生30人，平均數(shù)和方差分別為55，15；女生20人，平均數(shù)和方差分別為45，20，則總體樣本的方差為10．已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，其中是各項(xiàng)均不為零的數(shù)列且．若，則（

）A． B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列C． D．11．橢圓具有特殊的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).對(duì)于橢圓，其左、右焦點(diǎn)分別是,為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為，橢圓在點(diǎn)處的切線為，過點(diǎn)且與垂直的直線與橢圓的長(zhǎng)軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是（

）A．B．的最大值為C．當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為1時(shí)，的內(nèi)切圓半徑D．若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．若時(shí)，函數(shù)取得最小值，則．13．在中，，,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的最大值為．14．記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為“牛頓數(shù)列”．若函數(shù)，且，數(shù)列為牛頓數(shù)列．設(shè)，已知，則，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15．（13分）2025年3月14日（第六個(gè)國際數(shù)學(xué)日），某校開展了“站播臺(tái)”、“史探秘”、“日海報(bào)”、“徽設(shè)計(jì)”、“帽設(shè)計(jì)”共5項(xiàng)挑戰(zhàn)活動(dòng)，每名學(xué)生至少參與其中一項(xiàng)活動(dòng).為了解該校上述活動(dòng)的參與情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：參與人數(shù)站播臺(tái)史探秘日海報(bào)徽設(shè)計(jì)帽設(shè)計(jì)高一8045557545高二4060608040高三1550402030通過樣本估計(jì)該校全體學(xué)生參與活動(dòng)的情況.(1)從5項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選擇1項(xiàng)，估計(jì)此項(xiàng)活動(dòng)全校參與的人數(shù)大于該?？?cè)藬?shù)的一半的概率；(2)從該校高一年級(jí)和高二年級(jí)中各隨機(jī)選取2名學(xué)生，求這4名學(xué)生中恰有2名學(xué)生參與“徽設(shè)計(jì)”的概率；(3)假設(shè)高一某班參加挑戰(zhàn)活動(dòng)的情況如下：挑戰(zhàn)活動(dòng)站播臺(tái)史探秘日海報(bào)徽設(shè)計(jì)帽設(shè)計(jì)參與人數(shù)79已知，當(dāng)數(shù)據(jù)，，，，的方差最小時(shí)，寫出，，的取值.（結(jié)論不要求證明）16．（15分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)記的中點(diǎn)為，若，且，求的周長(zhǎng).17．（15分）如圖，在中，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，將沿翻折至，得到四棱錐為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．(1)若為棱的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求.18．（17分）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，F(xiàn)到其中一條漸近線的距離為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在第一象限），交直線于點(diǎn)M，（i）求的值；（ii）過M平行于OA的直線分別交直線OB、x軸于P，Q，證明：.19．（17分）已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，恒成立.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：（i）在上存在唯一的極值點(diǎn)和零點(diǎn)；（ii）對(duì)于（i）中的和，滿足.襄陽四中2023級(jí)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)參考答案1．D2．B3．C4．D5．D【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，所以，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，所以，則.6．C【詳解】設(shè)，由，知.又，所以，即①，由，消去得，所以，代入①式得，解得.7．A【詳解】由，得，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，所以，所以，，，在上有得或，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因，由函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則，，解得，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為．8．C【詳解】依題意，，函數(shù)周期，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，，，為連續(xù)三交點(diǎn)，(不妨設(shè)在軸下方)，為的中點(diǎn)，由對(duì)稱性知，是以為底邊的等腰三角形，，由，整理得，又，解得，于是點(diǎn)，的縱坐標(biāo)有，即，要使為銳角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得，所以的取值范圍是.9．ACD【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，則，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，，則，又，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，又，則，所以與相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，樣本總體平均數(shù)，總體樣本的方差為，所以D正確，故選：ACD.10．ACD【詳解】由題意有：，所以拋物線方程為，又點(diǎn)在上，所以，所以，因?yàn)椋?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以，故A正確；又，不是固定不變的常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；由，故C正確；由，即，令，所以，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，，即，所以，故D正確.11．ABD【詳解】對(duì)于A，由橢圓，可得，因?yàn)槊娣e的最大值為，可得，解得，所以，即橢圓的方程為，所以A正確；對(duì)于B，由橢圓，可得，且由橢圓的定義，可得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線，且位于的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為時(shí)，代入橢圓的方程，可得，不妨取點(diǎn)的坐標(biāo)為，則面積為，又由的周長(zhǎng)為，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，可得，即，解得，所以C不正確；對(duì)于D，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得點(diǎn)與垂直的直線為的角平分線，則，設(shè)，則且，因?yàn)榍?，所以，?又由，可得，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去；所以，所以，所以D正確.故選：ABD.12．【詳解】，其中銳角滿足，，當(dāng)，時(shí)，，因此，，那么，，所以．故答案為：．13．【詳解】如圖，設(shè)中角所對(duì)的邊分別為，因點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，則，，則，因，由余弦定理，，即，于是，因，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：.14．4【詳解】因?yàn)?，則，則，由，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，所以，，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，又且單調(diào)遞增，所以對(duì)任意的恒成立，令，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，所以，所以的最大值為．15．(1)(2)(3)答案見解析【詳解】（1）．（2）從該校高一年級(jí)中隨機(jī)選取1名學(xué)生參與“徽設(shè)計(jì)”的概率為，從高二年級(jí)中隨機(jī)選取1名學(xué)生參與“徽設(shè)計(jì)”的概率為，設(shè)“從高一年級(jí)隨機(jī)選取2名學(xué)生，高二年級(jí)隨機(jī)選取2名學(xué)生，這4名學(xué)生中恰有2名學(xué)生參與徽設(shè)計(jì)”，則．（3）由，則數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則的值集中在8.2附近時(shí)方差最小，又，，此時(shí)的值為（任意分配），此情況相對(duì)更集中，其他情況較分散，則或或.16．(1)證明見解析(2)16【詳解】（1）在中利用正弦定理，化簡(jiǎn)，得，即，，，則，即，利用正弦定理可得.（2）因，則，在中由余弦定理推論，得，在中由余弦定理推論，得，因，得，即，又，則，解得，，則，則的周長(zhǎng)為.17．(1)證明略；(2)?！驹斀狻浚?）因?yàn)椋裕?，因?yàn)椋?，又平面，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，則．設(shè)直線與平面所成的角為，所以，整理得，解得（舍），所以．18．(1)（2）設(shè)AB直線方程為，則，代入雙曲線方程整理得：，設(shè)，則，，（i），而，所以，，則，所以；（ii）過M平行于OA的直線方程為，直線OB方程為與聯(lián)立，得，即，則，所以，由，兩式相除得，，則，所以，因?yàn)?，所以，故P為線段MQ的中點(diǎn)，所以.19．（1），求導(dǎo)可得，觀察可知在上單調(diào)遞增，所以.①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，使得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，滿足題意.綜上，.（2）（i），其中，則，，當(dāng)時(shí)，，由知，成立，所以在上無零點(diǎn)，即在上無極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增，，由知，，所以使得，