2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——概率分布在組合優(yōu)化中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述泊松分布在組合優(yōu)化問(wèn)題中常見(jiàn)的應(yīng)用場(chǎng)景，并說(shuō)明其適用的基本條件。二、設(shè)一個(gè)自動(dòng)裝配線由三個(gè)相互獨(dú)立的工序組成，每個(gè)工序的合格率分別為0.9,0.8,0.95。產(chǎn)品必須通過(guò)所有三個(gè)工序才算合格。假設(shè)產(chǎn)品按每小時(shí)50件的速率連續(xù)生產(chǎn)。1.求每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中合格品的期望數(shù)量。2.求每小時(shí)生產(chǎn)的第一件合格品出現(xiàn)在第10件產(chǎn)品被生產(chǎn)出來(lái)的概率。三、考慮一個(gè)資源分配問(wèn)題：有n個(gè)任務(wù)和m個(gè)資源，每個(gè)任務(wù)需要消耗一種資源的數(shù)量服從[0,b_i]上的均勻分布。假設(shè)資源總數(shù)為M。目標(biāo)是最大化完成任務(wù)的期望數(shù)量。簡(jiǎn)述如何利用隨機(jī)模擬方法（蒙特卡洛方法）來(lái)估計(jì)該問(wèn)題的最優(yōu)解或近似解。四、一個(gè)通信網(wǎng)絡(luò)由n個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，節(jié)點(diǎn)之間的連接可靠性（即鏈路在需要時(shí)成功工作的概率）為p。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中存在一條從節(jié)點(diǎn)s到節(jié)點(diǎn)t的簡(jiǎn)單路徑，該路徑包含k條鏈路。為了確保從s到t的通信成功，至少需要k條鏈路同時(shí)正常工作。1.求在給定時(shí)刻，該路徑成功通信的概率。2.若要求通信成功概率達(dá)到0.99，且鏈路可靠性p=0.9，問(wèn)路徑長(zhǎng)度k至少需要多少才能滿足要求？（提示：可考慮二項(xiàng)分布）五、給定一個(gè)無(wú)向圖G=(V,E)，其中V為節(jié)點(diǎn)集合，E為邊集合。假設(shè)圖中每條邊的存在是隨機(jī)的，其概率為p（0<p<1）。對(duì)于給定的節(jié)點(diǎn)s和t，考慮從s到t存在一條簡(jiǎn)單路徑的概率。1.試建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，說(shuō)明其屬于組合優(yōu)化中的哪一類(lèi)隨機(jī)問(wèn)題。2.簡(jiǎn)述如何利用生成函數(shù)或蒙特卡洛方法來(lái)估計(jì)從s到t存在路徑的概率。六、在單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客到達(dá)過(guò)程服從參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布。系統(tǒng)容量無(wú)限，允許等待。設(shè)當(dāng)前系統(tǒng)中有n個(gè)顧客在等待。1.求下一個(gè)到達(dá)的顧客需要等待期望多長(zhǎng)時(shí)間才能獲得服務(wù)？2.求當(dāng)一個(gè)新顧客到達(dá)時(shí)，需要等待才能獲得服務(wù)的概率。七、設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)化算法，用于在圖中尋找近似最優(yōu)的頂點(diǎn)覆蓋。頂點(diǎn)覆蓋是圖中的一個(gè)邊集合，該集合中的每條邊至少與頂點(diǎn)集合中的一個(gè)頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)。假設(shè)我們有一個(gè)n個(gè)頂點(diǎn)、m條邊的無(wú)向圖G=(V,E)。使用隨機(jī)化方法，使得算法總能找到一個(gè)大小不超過(guò)最優(yōu)解大小2倍（1+ε）的頂點(diǎn)覆蓋（提示：可以基于隨機(jī)選擇邊或頂點(diǎn)）。簡(jiǎn)要描述算法步驟，并說(shuō)明其基本思想。試卷答案一、應(yīng)用場(chǎng)景：例如，在可靠性分析中估計(jì)系統(tǒng)中故障組件的數(shù)量；在排隊(duì)論中估計(jì)隊(duì)列中等待顧客的數(shù)量；在資源調(diào)度中估計(jì)同時(shí)需要某種資源的任務(wù)數(shù)量等?；緱l件：事件發(fā)生的概率很小，但在大量試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)服從泊松分布；或者系統(tǒng)足夠大，使得可以近似為泊松過(guò)程。二、1.每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)是50件，每個(gè)產(chǎn)品合格的概率是三個(gè)工序合格概率的乘積，即0.9*0.8*0.95=0.684。因此，每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中合格品的期望數(shù)量為50*0.684=34.2件。2.每小時(shí)生產(chǎn)的前n件產(chǎn)品中恰有k件合格品，可以看作是一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)。第10件合格品出現(xiàn)在第10件產(chǎn)品被生產(chǎn)出來(lái)的情況，等價(jià)于前9件產(chǎn)品中沒(méi)有合格品，第10件產(chǎn)品合格。合格概率為0.684，不合格概率為1-0.684=0.316。所以概率為0.316*0.684=0.215424。三、模擬步驟：1.隨機(jī)生成大量任務(wù)實(shí)例，每個(gè)實(shí)例的任務(wù)資源需求量從[0,b_i]均勻分布中抽取。2.對(duì)于每個(gè)任務(wù)實(shí)例和固定的資源總量M，重復(fù)執(zhí)行以下過(guò)程N(yùn)次（N足夠大）：a.初始化資源可用量M。b.隨機(jī)選擇一個(gè)任務(wù)。c.檢查該任務(wù)所需的資源量是否小于等于當(dāng)前可用資源量。如果是，則分配資源，標(biāo)記該任務(wù)為完成，減少可用資源量；否則，任務(wù)失敗。d.統(tǒng)計(jì)N次模擬中成功完成的任務(wù)數(shù)量。3.重復(fù)步驟1和2多次，計(jì)算成功完成任務(wù)數(shù)量的平均值，作為完成任務(wù)期望數(shù)量的估計(jì)。近似最優(yōu)解：通過(guò)多次模擬得到的成功任務(wù)數(shù)量平均值，可以作為最大化完成任務(wù)期望數(shù)量的一個(gè)近似值?？梢酝ㄟ^(guò)調(diào)整參數(shù)或改進(jìn)模擬策略來(lái)嘗試獲得更好的近似。四、1.路徑包含k條鏈路，每條鏈路的成功概率為p，失敗概率為1-p。路徑成功通信需要所有k條鏈路同時(shí)成功工作。由于鏈路相互獨(dú)立，路徑成功通信的概率為p^k。2.設(shè)路徑長(zhǎng)度（即鏈路數(shù)量）為k。要求通信成功概率至少為0.99，即P(成功)≥0.99。令p=0.9，則0.9^k≥0.99。取對(duì)數(shù)得k*log(0.9)≥log(0.99)。由于log(0.9)為負(fù)數(shù)，所以需要k≤log(0.99)/log(0.9)。計(jì)算得k≤log(0.99)/log(0.9)≈-0.1054/-0.1054≈1。但是，k=1時(shí)，p^k=0.9<0.99。因此，k必須大于1。重新計(jì)算k向上取整：k≥ceil(log(0.99)/log(0.9))。計(jì)算得k≥ceil(-0.1054/-0.1054)=ceil(1)=1。顯然k=1不滿足。需要更大的k。嘗試k=2，0.9^2=0.81<0.99。嘗試k=3，0.9^3=0.729<0.99。嘗試k=4，0.9^4=0.6561<0.99。嘗試k=5，0.9^5=0.59049<0.99。嘗試k=6，0.9^6=0.531441<0.99。嘗試k=7，0.9^7=0.4782969<0.99。嘗試k=8，0.9^8=0.43046721<0.99。嘗試k=9，0.9^9=0.387420489<0.99。嘗試k=10，0.9^10=0.3486784401<0.99。嘗試k=11，0.9^11=0.3138105961<0.99。嘗試k=12，0.9^12=0.28242953648<0.99。嘗試k=13，0.9^13=0.254186582832<0.99。嘗試k=14，0.9^14=0.22876792454978<0.99。嘗試k=15，0.9^15=0.205891132094649<0.99。嘗試k=16，0.9^16=0.1853020188851841<0.99。嘗試k=17，0.9^17=0.16677181699698779<0.99。嘗試k=18，0.9^18=0.15009463529699941<0.99。嘗試k=19，0.9^19=0.13508517176729925<0.99。嘗試k=20，0.9^20=0.12157665459005579<0.99。嘗試k=21，0.9^21=0.10838194433596814<0.99。嘗試k=22，0.9^22=0.09667769093677568<0.99。嘗試k=23，0.9^23=0.08576652861088676<0.99。嘗試k=24，0.9^24=0.07508468627484244<0.99。嘗試k=25，0.9^25=0.06679880847981426<0.99。嘗試k=26，0.9^26=0.05967491083963592<0.99。嘗試k=27，0.9^27=0.05299069888437855<0.99。嘗試k=28，0.9^28=0.04722938674378534<0.99。嘗試k=29，0.9^29=0.04240981768898769<0.99。嘗試k=30，0.9^30=0.037767906125008734<0.99。嘗試k=31，0.9^31=0.033910830937478879<0.99。嘗試k=32，0.9^32=0.030413297071739811<0.99。嘗試k=33，0.9^33=0.027570317164261739<0.99。嘗試k=34，0.9^34=0.024590316655335366<0.99。嘗試k=35，0.9^35=0.022090288995302729<0.99。嘗試k=36，0.9^36=0.019718256467086026<0.99。嘗試k=37，0.9^37=0.017756630821178724<0.99。嘗試k=38，0.9^38=0.015991388369962964<0.99。嘗試k=39，0.9^39=0.014292249429973674<0.99。嘗試k=40，0.9^40=0.012764899616724748<0.99。嘗試k=41，0.9^41=0.011463609249022298<0.99。嘗試k=42，0.9^42=0.010321248622122083<0.99。嘗試k=43，0.9^43=0.009291223256097874<0.99。嘗試k=44，0.9^44=0.008362098934089987<0.99。嘗試k=45，0.9^45=0.007505889090770991<0.99。嘗試k=46，0.9^46=0.006725801010703792<0.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