2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)決策考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為U(x,y)=xαyβ，其中x和y分別是兩種商品的數(shù)量，α,β>0且α+β=1。消費(fèi)者的收入為M，兩種商品的價(jià)格分別為p_x和p_y(p_x,p_y>0)。(1)寫出消費(fèi)者的預(yù)算約束方程。(2)運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法，推導(dǎo)消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化時(shí)，商品x和y的最優(yōu)購(gòu)買量x*和y*分別滿足的方程（即拉格朗日函數(shù)的一階條件）。二、某壟斷廠商面臨的需求曲線為P=100-2Q，其中P是價(jià)格，Q是產(chǎn)量。該廠商的成本函數(shù)為C(Q)=10Q+Q^2。(1)求該壟斷廠商的利潤(rùn)最大化產(chǎn)量和價(jià)格。(2)計(jì)算該壟斷廠商的利潤(rùn)以及其產(chǎn)生的無(wú)謂損失（假設(shè)存在一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)，價(jià)格為邊際成本）。三、考慮一個(gè)包含兩個(gè)參與者的靜態(tài)博弈，參與人1有策略A和B，參與人2有策略X和Y。參與人1的支付矩陣如下：U_1(X,A)=3,U_1(X,B)=1U_1(Y,A)=0,U_1(Y,B)=2參與人2的支付矩陣如下：U_2(X,A)=1,U_2(X,B)=0U_2(Y,A)=0,U_2(Y,B)=1(1)找出該博弈的嚴(yán)格納什均衡（如果存在）。(2)如果該博弈是零和博弈，支付矩陣應(yīng)如何修改？請(qǐng)給出修改后的支付矩陣（只需給出參與人1的支付矩陣即可，并找出新的嚴(yán)格納什均衡）。四、假設(shè)一個(gè)生產(chǎn)者使用兩種投入L和K生產(chǎn)一種產(chǎn)品，生產(chǎn)函數(shù)為Q=min{3L,2K}。(1)該生產(chǎn)函數(shù)屬于哪種類型（固定比例、柯布-道格拉斯、CES等）？請(qǐng)說(shuō)明理由。(2)如果投入L的價(jià)格為w_L=4，投入K的價(jià)格為w_K=3，產(chǎn)品售價(jià)為p=10，求該生產(chǎn)者的成本最小化投入組合(L*,K*)以及最小成本。(3)如果生產(chǎn)者希望生產(chǎn)Q=12的產(chǎn)品，最低成本是多少？需要投入多少L和K？五、證明：對(duì)于任意常數(shù)c>0，函數(shù)f(x)=x^2+c在其定義域內(nèi)存在全局最小值，并求出該最小值及其對(duì)應(yīng)的自變量值。六、設(shè)廠商的成本函數(shù)為C(Q)=Q^3-6Q^2+9Q+5。(1)求廠商的邊際成本函數(shù)MC(Q)和平均成本函數(shù)AC(Q)。(2)求邊際成本函數(shù)的拐點(diǎn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。(3)當(dāng)產(chǎn)量Q為何值時(shí)，廠商的邊際成本等于平均成本？此時(shí)平均成本是遞增還是遞減？七、假設(shè)在一個(gè)市場(chǎng)中，存在許多買者和賣者，所有商品都是同質(zhì)的，信息是完全的，買者和賣者都可以自由進(jìn)入和退出市場(chǎng)。需求函數(shù)為Q_d=150-10P，供給函數(shù)為Q_s=-30+20P，其中Q_d和Q_s分別是市場(chǎng)需求量和供給量，P是市場(chǎng)價(jià)格。(1)求該市場(chǎng)的均衡價(jià)格和均衡數(shù)量。(2)如果由于技術(shù)進(jìn)步，供給函數(shù)變?yōu)镼_s'=-10+20P，求新的市場(chǎng)均衡價(jià)格和均衡數(shù)量。(3)比較新舊均衡，分析技術(shù)進(jìn)步對(duì)市場(chǎng)均衡價(jià)格和均衡數(shù)量的影響。八、考慮如下的非線性規(guī)劃問(wèn)題：Maximizef(x,y)=xySubjectto:x^2+y^2=1(1)使用拉格朗日乘數(shù)法求解該問(wèn)題。(2)分析該問(wèn)題的解，并說(shuō)明它屬于哪種類型的優(yōu)化問(wèn)題（例如，無(wú)約束、約束、線性、非線性等）。試卷答案一、(1)預(yù)算約束方程：p_x*x+p_y*y=M。(2)拉格朗日函數(shù)：L=xαyβ+λ(M-p_x*x-p_y*y)。最優(yōu)條件為一階導(dǎo)數(shù)為零：dL/dx=αx^(α-1)y^β-λp_x=0dL/dy=βx^αy^(β-1)-λp_y=0dL/dλ=M-p_x*x-p_y*y=0。二、(1)利潤(rùn)函數(shù)Π=P*Q-C(Q)=(100-2Q)Q-(10Q+Q^2)=90Q-3Q^2。求導(dǎo)數(shù)dΠ/dQ=90-6Q，令其為零得Q*=15。代入需求曲線得P*=100-2*15=70。(2)壟斷利潤(rùn)Π=70*15-(10*15+15^2)=1050-325=725。競(jìng)爭(zhēng)性價(jià)格P_c=MC=dC/dQ=10+2Q，令P_c=70，得Q_c=30/2=15。競(jìng)爭(zhēng)性價(jià)格P_c=10+2*15=40。無(wú)謂損失=0.5*(P_m-P_c)*(Q_c-Q_m)=0.5*(70-40)*(15-15)=0。此處Q_m=Q*=15，均衡數(shù)量相同，無(wú)謂損失為零，說(shuō)明原壟斷均衡恰好在競(jìng)爭(zhēng)均衡處達(dá)到。若非如此，則無(wú)謂損失=0.5*(P_m-P_c)*|Q_c-Q_m|。三、(1)參與人1：策略A：若對(duì)手選X，U_1=3；若對(duì)手選Y，U_1=0。選X。策略B：若對(duì)手選X，U_1=1；若對(duì)手選Y，U_1=2。選Y。參與人2：策略X：若對(duì)手選A，U_2=1；若對(duì)手選B，U_2=0。選A。策略Y：若對(duì)手選A，U_2=0；若對(duì)手選B，U_2=1。選B。不存在嚴(yán)格納什均衡。參與人1選擇A，參與人2選擇X是一個(gè)混合策略納什均衡。設(shè)參與人1選擇A的概率為p，選擇B的概率為1-p；參與人2選擇X的概率為q，選擇Y的概率為1-q。對(duì)于參與人2，X對(duì)Y優(yōu)，所以U_2(A)=p,U_2(B)=1-p=>q=1。對(duì)于參與人1，A對(duì)B優(yōu)，所以U_1(X)=3q,U_1(Y)=0q=>p=1?；旌喜呗约{什均衡為(A,X)。(2)零和博弈，設(shè)參與人2的支付為-U_1。修改后參與人1的矩陣：U_1'(X,A)=-1,U_1'(X,B)=0U_1'(Y,A)=0,U_1'(Y,B)=-1嚴(yán)格納什均衡為(B,Y)。四、(1)生產(chǎn)函數(shù)Q=min{3L,2K}表示L和K必須按3:2的固定比例投入才能生產(chǎn)出Q，否則其中一種投入會(huì)剩余。屬于固定比例生產(chǎn)函數(shù)。(2)為生產(chǎn)任意產(chǎn)量Q，需要L=Q/3且K=Q/2。成本最小化即投入最小化。C=w_L*L+w_K*K=4*(Q/3)+3*(Q/2)=8Q/6+9Q/6=17Q/6。最小成本為17Q/6。最優(yōu)投入組合L*=Q/3,K*=Q/2。(3)最低成本為C(Q=12)=17*12/6=34。需要投入L=12/3=4，K=12/2=6。五、f'(x)=2x。令f'(x)=0得x=0。f''(x)=2>0，說(shuō)明x=0是全局最小值點(diǎn)。全局最小值為f(0)=0^2+c=c。六、(1)MC(Q)=dC/dQ=3Q^2-12Q+9。AC(Q)=C(Q)/Q=Q^2-6Q+9+5/Q=Q^2-6Q+9+5/Q。(2)MC'(Q)=d(MC)/dQ=6Q-12。令MC'(Q)=0得Q=2。當(dāng)Q<2時(shí)MC'<0，MC遞減；當(dāng)Q>2時(shí)MC'>0，MC遞增。拐點(diǎn)是邊際成本函數(shù)的凹凸性轉(zhuǎn)變點(diǎn)，即邊際成本增長(zhǎng)速度變化的點(diǎn)。(3)令MC(Q)=AC(Q)=>3Q^2-12Q+9=Q^2-6Q+9+5/Q。=>2Q^3-6Q^2-5=0。=>Q^3-3Q^2-5/2=0。此方程無(wú)簡(jiǎn)單解析解，通常需數(shù)值方法。設(shè)此方程的解為Q_0。此時(shí)AC(Q_0)=2Q_0^2-6Q_0+9+5/(2Q_0)。AC'(Q)=4Q-6-5/(2Q^2)。令A(yù)C'(Q)=0=>8Q^3-12Q^2-5=0。由于Q_0是2Q^3-6Q^2-5=0的解，且AC''(Q)=4+25/(2Q^3)>0，所以AC在Q_0處遞增，即平均成本在邊際成本等于平均成本處是遞增的。七、(1)均衡條件Q_d=Q_s=>150-10P=-30+20P=>80=30P=>P*=80/30=8/3。代入需求或供給曲線得Q*=150-10*(8/3)=150-80/3=290/3。(2)新均衡Q_d=Q_s'=>150-10P=-10+20P=>160=30P=>P'_*=160/30=16/3。代入需求或新供給曲線得Q'_*=150-10*(16/3)=150-160/3=170/3。(3)技術(shù)進(jìn)步使供給曲線右移（截距變大，斜率不變），導(dǎo)致均衡價(jià)格下降（P'_*<P*），均衡數(shù)量增加（Q'_*>Q*）。八、(1)拉格朗日函數(shù)：L=xy+λ(1-x^2-y^2)。最優(yōu)條件：dL/dx=y-2λx=0dL/dy=x-2λy=0dL/dλ=1-x^2-y^2=0由前兩式得y/x=2λ=>x/y=1/(2λ)。代入第一式得y-2λx=y-2x/y=0=>y^2=2x=>x=y^2/2。代入約束條件x^2+y^2=1：(y^2/2)^2+y^2=1=>y^4/4+y^2-1=0=>t^2+4t-4=0(令t=y^2)=>t=(-4±√(16+16))/2=-2±2√2。舍去t=-2-2√2(非正)。t=-2+2√2>0。y^2=-2+2√2。y=±√(-2+2√2)。x=y^2/