2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在生命疾病學(xué)研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述數(shù)學(xué)建模在生命科學(xué)研究中發(fā)揮的作用。請列舉至少三個(gè)不同的生命科學(xué)研究領(lǐng)域，并說明在這些領(lǐng)域中數(shù)學(xué)模型可以解決哪些具體問題。二、給定一個(gè)描述某種傳染病在人群中傳播的簡單SIR模型微分方程組：S'(t)=-β*S(t)*I(t)I'(t)=β*S(t)*I(t)-γ*I(t)R'(t)=γ*I(t)其中S(t),I(t),R(t)分別表示時(shí)刻t時(shí)易感者、感染者、康復(fù)者的數(shù)量；β為傳染率，γ為康復(fù)率。1.請解釋每個(gè)微分方程中各項(xiàng)的生物學(xué)意義。2.試求該模型平衡點(diǎn)的表達(dá)式，并分析每個(gè)平衡點(diǎn)的意義（是否存在？是否為病態(tài)平衡點(diǎn)或穩(wěn)定平衡點(diǎn)？）。三、在研究腫瘤生長時(shí)，常使用vonBertalanffy生長模型來描述腫瘤體積V(t)隨時(shí)間t的變化：dV/dt=a*(V^(3/4)-V)其中a>0是一個(gè)生長參數(shù)。1.說明該模型中各項(xiàng)的生物學(xué)意義。2.求解該微分方程，找到V(t)的表達(dá)式（假設(shè)初始體積V(0)=V?>0）。3.分析腫瘤體積V(t)隨時(shí)間t的變化趨勢。當(dāng)t趨向于無窮大時(shí)，腫瘤體積的極限是多少？這個(gè)極限在生物學(xué)上代表什么？四、某研究團(tuán)隊(duì)想估計(jì)某地區(qū)某種野生動(dòng)物（設(shè)種群數(shù)量N(t)）的出生率r和死亡率d。他們進(jìn)行了為期一年的觀察，假設(shè)種群增長近似滿足離散的Logistic模型：N(t+1)=N(t)*(1+r-d*N(t))其中t=0,1,2,...,12。初始種群數(shù)量N(0)=100。在年末（t=12）時(shí)，觀察到種群數(shù)量N(12)=150。1.說明模型中各項(xiàng)的意義。2.假設(shè)死亡率d是一個(gè)常數(shù)，請根據(jù)給定數(shù)據(jù)，建立關(guān)于出生率r的方程，并解出r的值。3.若進(jìn)一步假設(shè)該種群的飽和容量K=1000，請寫出完整的Logistic模型，并預(yù)測種群在第五年（t=5）時(shí)的數(shù)量（無需精確求解，說明求解思路即可）。五、考慮一個(gè)簡單的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，其中一個(gè)基因A可以激活另一個(gè)基因B的表達(dá)，而基因B的表達(dá)量Y(t)滿足如下一階線性非齊次微分方程：dY/dt+y=X*f(t)其中y是Y(t)的一個(gè)“衰減”或“穩(wěn)態(tài)”分量，X是基因A的激活強(qiáng)度，f(t)是一個(gè)描述基因A表達(dá)動(dòng)態(tài)的函數(shù)（例如可以是常數(shù)或周期函數(shù)）。1.解釋該方程中各項(xiàng)（除X和f(t)外）的生物學(xué)意義。2.假設(shè)f(t)=1是一個(gè)常數(shù)輸入，且要求Y(t)最終能達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)（即lim(t→∞)Y(t)存在且有限），請說明Y(t)的穩(wěn)態(tài)值Y_ss與X之間存在怎樣的關(guān)系？如何推導(dǎo)這個(gè)關(guān)系？3.如果f(t)=sin(ωt)，請簡述求解該微分方程以分析Y(t)長期行為（如振蕩頻率、振幅等）的基本思路。六、在藥物動(dòng)力學(xué)中，口服藥物在血液中的濃度C(t)常用如下一階線性微分方程描述：dC/dt=-k*C(t)其中k是消除速率常數(shù)。1.該模型是基于怎樣的生理學(xué)假設(shè)？2.求解該微分方程，得到C(t)的表達(dá)式。假設(shè)藥物首次口服后，立即達(dá)到一個(gè)初始濃度C(0)=C?，請寫出具體的表達(dá)式。3.半衰期（T?）是指藥物濃度下降到初始值一半所需的時(shí)間。請根據(jù)該模型，推導(dǎo)出半衰期T?與消除速率常數(shù)k之間的關(guān)系式。4.如果另一個(gè)更復(fù)雜的模型為：dC/dt=-k*C(t)+I?*e^(-at)，其中I?是持續(xù)輸入的劑量，a是相關(guān)的時(shí)間常數(shù)，請解釋新增加的項(xiàng)I?*e^(-at)可能代表的生理學(xué)意義，并簡述求解該微分方程（以a≠k為例）的基本思路。試卷答案一、數(shù)學(xué)建模通過建立數(shù)學(xué)模型，能夠定量描述、分析、預(yù)測生命科學(xué)現(xiàn)象的規(guī)律，簡化復(fù)雜系統(tǒng)，揭示內(nèi)在機(jī)制，為實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、理論推導(dǎo)和實(shí)際應(yīng)用提供有力工具。應(yīng)用領(lǐng)域包括：1.傳染病傳播動(dòng)力學(xué)（如SIR模型、SEIR模型）：分析疫情發(fā)展趨勢，預(yù)測感染峰值，評估干預(yù)措施效果。2.種群生態(tài)學(xué)（如Logistic增長模型）：研究種群數(shù)量動(dòng)態(tài)，預(yù)測資源限制下的種群增長，評估棲息地承載力。3.藥物動(dòng)力學(xué)與藥效學(xué)（PK/PD模型）：描述藥物在體內(nèi)的吸收、分布、代謝、排泄過程，預(yù)測藥物濃度與療效/毒性的關(guān)系，指導(dǎo)給藥方案設(shè)計(jì)。4.遺傳學(xué)與進(jìn)化生物學(xué)（如馬爾可夫鏈模型）：分析基因頻率變化，研究遺傳漂變，模擬物種進(jìn)化過程。5.神經(jīng)科學(xué)（如神經(jīng)元模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型）：模擬神經(jīng)元電活動(dòng)，構(gòu)建大腦功能模型，研究學(xué)習(xí)記憶機(jī)制。二、1.各項(xiàng)生物學(xué)意義：*S'(t)=-β*S(t)*I(t)：表示單位時(shí)間內(nèi)因感染而轉(zhuǎn)入感染者的易感者數(shù)量。β為傳染率，代表易感者與感染者接觸并發(fā)生感染的效率。*I'(t)=β*S(t)*I(t)-γ*I(t)：表示單位時(shí)間內(nèi)感染者的變化量。β*S(t)*I(t)是轉(zhuǎn)入感染者的數(shù)量，γ*I(t)是轉(zhuǎn)出康復(fù)者的數(shù)量。*R'(t)=γ*I(t)：表示單位時(shí)間內(nèi)因康復(fù)而轉(zhuǎn)入康復(fù)者的感染者數(shù)量。γ為康復(fù)率，代表感染者轉(zhuǎn)化為康復(fù)者的效率。2.平衡點(diǎn)求解與分析：*令S'(t)=I'(t)=R'(t)=0，求解：*R'(t)=γ*I(t)=0=>I(t)=0或R(t)=0。若R(t)=0，則S+I=初始總?cè)藬?shù)，此時(shí)dS/dt=-βS(0)=0不成立（除非β=0）。故平衡點(diǎn)要求I(t)=0。*I=0=>S'(t)=-βS(0)*0=0，R'(t)=γ*0=0。此時(shí)S=S(0)，R=0。*若S=0且I=0，則R'=0。此時(shí)系統(tǒng)所有人都已康復(fù)（或從未感染），為病態(tài)平衡點(diǎn)（特例）。*若S≠0且I=0，則R'=0。此時(shí)系統(tǒng)只有易感者，無感染者，R=0。這也是一個(gè)平衡點(diǎn)。*故平衡點(diǎn)為(S*,0,0)和(0,0,N)，其中S*=S(0)是初始易感者總數(shù)，N是初始總?cè)藬?shù)。*意義分析：*(S*,0,0)：所有人都易感，沒有感染者，系統(tǒng)處于疾病潛伏期或未引入感染源狀態(tài)。此平衡點(diǎn)通常是病態(tài)的，除非β=0（無傳染）。*(0,0,N)：所有人都已康復(fù)或從未感染，疾病已在群體中傳播完畢或從未發(fā)生。此平衡點(diǎn)（N=初始總?cè)藬?shù)）通常是病態(tài)的（除非β=0或γ無窮大）。更常見的關(guān)注是(0,0,0)點(diǎn)。*分析穩(wěn)定性（需求導(dǎo)數(shù)構(gòu)建雅可比矩陣并判斷特征值）：*JacobianMatrixJ=|-βI-βS0||βI-γ-βS||00-γ|*在平衡點(diǎn)(S*,0,0)處，令S=S*，I=0，R=0，則J=|-βS*00||0-γ-βS*||00-γ|*特征值λ?=-γ<0，λ?=-βS*<0（假設(shè)S*>0,β>0），λ?=-γ<0。*所有特征值均為負(fù)實(shí)數(shù)，故(S*,0,0)是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。*在平衡點(diǎn)(0,0,N)處（假設(shè)N=S*），令S=0，I=0，R=N，則J=|000||0-γ0||00-γ|*特征值λ?=0（對應(yīng)于S方向），λ?=-γ<0，λ?=-γ<0。*存在非負(fù)實(shí)部特征值0，故(0,0,N)是非漸近穩(wěn)定（半穩(wěn)定或病態(tài)）平衡點(diǎn)。三、1.生物學(xué)意義：*dV/dt：表示單位時(shí)間內(nèi)腫瘤體積的增加量。*V^(3/4)：代表一個(gè)與腫瘤體積V相關(guān)的“生長效率”或“相對增長速率”。通常，當(dāng)體積很小時(shí)，V^(3/4)較大，表示快速增長；當(dāng)體積較大時(shí)，V^(3/4)較小，表示增長減慢。*V：代表腫瘤的現(xiàn)有體積對自身增長產(chǎn)生的“抑制”或“衰減”效應(yīng)。體積越大，這種抑制效應(yīng)越強(qiáng)。2.求解微分方程：*dV/dt=a*(V^(3/4)-V)=a*V^(3/4)*(1-V^(1/4))*分離變量：∫dV/[a*V^(3/4)*(1-V^(1/4))]=∫dt*令u=V^(1/4)，則du=(1/4)V^(-3/4)dV，dV=4u3du。方程變?yōu)椋骸?u3/[a*u3*(1-u)]du=∫dt∫4/[a*(1-u)]du=∫dt*∫dt=(4/a)∫[1/(1-u)-1]du=(4/a)[-ln|1-u|+C]=(4/a)[-ln|1-V^(1/4)|+C]*t=-(4/a)ln|1-V^(1/4)|+C'*當(dāng)V(0)=V?>0時(shí)，V^(1/4)=V?^(1/4)，u=V?^(1/4)，代入上式：0=-(4/a)ln|1-V?^(1/4)|+C'C'=(4/a)ln(1-V?^(1/4))*將C'代回t的表達(dá)式：t=-(4/a)ln|1-V^(1/4)|+(4/a)ln(1-V?^(1/4))t=(4/a)[ln(1-V?^(1/4))-ln|1-V^(1/4)|]t=(4/a)ln[(1-V?^(1/4))/|1-V^(1/4)|]*解出V(t)：e^(t(4/a))=[(1-V?^(1/4))/|1-V^(1/4)|]|1-V^(1/4)|=(1-V?^(1/4))/e^(t(4/a))由于V(t)隨t增大而增大，且V(0)=V?，故V^(1/4)>0，1-V^(1/4)>0（當(dāng)V?<1時(shí)）。若V?≥1，則V(t)將單調(diào)遞增至無窮，此時(shí)1-V^(1/4)≤0，但模型通常假設(shè)V?<K（飽和容量），故1-V^(1/4)>0恒成立。因此：1-V^(1/4)=(1-V?^(1/4))/e^(t(4/a))V^(1/4)=1-(1-V?^(1/4))/e^(t(4/a))V^(1/4)=(e^(t(4/a))-1+V?^(1/4))/e^(t(4/a))V(t)=[(e^(t(4/a))-1+V?^(1/4))^4]/e^(4t(a))3.趨勢分析：*當(dāng)t→∞時(shí)，e^(t(4/a))→∞。*因此，V(t)≈[(e^(t(4/a)))^4]/e^(4t(a))=e^(4t(a)*4/a)/e^(4t(a))=e^0=1*[e^(t(4/a))-1+V?^(1/4))^4/e^(t(4/a))]→1*[1-1+V?^(1/4))^4/1]=V?。*修正：更準(zhǔn)確的分析是看V^(1/4)的極限：V^(1/4)=1-(1-V?^(1/4))/e^(t(4/a))當(dāng)t→∞，e^(t(4/a))→∞，(1-V?^(1/4))/e^(t(4/a))→0。所以V^(1/4)→1。因此，V(t)→1^4/1=1。*這個(gè)極限在生物學(xué)上代表腫瘤體積趨向于一個(gè)飽和狀態(tài)或成熟狀態(tài)，即體積不再顯著增長，達(dá)到一個(gè)相對穩(wěn)定的大小。這個(gè)極限值與模型中的參數(shù)無關(guān)，通常認(rèn)為與腫瘤的潛在最大體積（飽和容量）有關(guān)，但在此簡單模型中極限值為1。如果引入飽和容量K，模型通常為dV/dt=aV(1-V/K)，其極限為K。四、1.模型意義：*N(t)：表示第t年末該地區(qū)野生動(dòng)物種群的數(shù)量。*N(t-1)：表示第t年初該地區(qū)野生動(dòng)物種群的數(shù)量。*(1+r-d*N(t-1))：代表種群數(shù)量的相對增長率。1+r是沒有死亡和密度制約時(shí)的增長率。d*N(t-1)是由于密度制約（種群擁擠）導(dǎo)致的死亡或增長抑制項(xiàng)。2.建立r的方程：*根據(jù)題意，t=12時(shí)，N(12)=150，N(0)=100。*將N(t)=N(t-1)*(1+r-d*N(t-1))代入N(12)和N(0)：N(12)=N(11)*(1+r-d*N(11))N(11)=N(10)*(1+r-d*N(10))...N(1)=N(0)*(1+r-d*N(0))*將N(0)=100代入N(1)：150=100*(1+r-d*100)1.5=1+r-100dr=0.5+100d*這個(gè)方程表達(dá)了r與d的關(guān)系。由于題目只說N(12)=150，并未給出N(1),N(2)...N(11)的具體值，我們無法直接解出r和d的唯一值。通常需要更多的觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)或?qū)的假設(shè)。這里給出的只是r與d的函數(shù)關(guān)系。3.預(yù)測N(5)：*已知N(0)=100，N(12)=150，r=0.5+100d。*需要求解N(t)的通式。遞推關(guān)系為：N(t)=N(t-1)*(1+r-d*N(t-1))*由于r和d是常數(shù)，令x(t)=N(t)/(N(0)*(1+r-d*N(0)))^(t/12)，嘗試尋找規(guī)律。*更直接的方法是考慮對數(shù)變化。設(shè)T=ln(N(t)/N(t-1))，則：T=ln(1+r-d*N(t-1))對于小x，ln(1-x)≈-x。若r>d*N(t-1)，則T≈r-d*N(t-1)。但N(t-1)未知，直接求解困難。*思路：由于N(0)=100，N(12)=150，可以猜測N(t)可能近似滿足某種指數(shù)或邏輯斯蒂形式?；蛘撸靡阎c(diǎn)構(gòu)造差分方程的近似解。*一種簡化的思路是假設(shè)種群增長相對平穩(wěn)，即r-d*N(t-1)在t=0和t=12時(shí)有平均值。則：平均增長率≈(150/100-1)/12=0.5/12=1/24即r-d*N_avg≈1/24，其中N_avg是N(0)到N(12)期間的平均種群數(shù)量。N_avg≈(100+150)/2=125。r-d*125≈1/24結(jié)合r=0.5+100d，代入：0.5+100d-125d≈1/24-25d≈1/24-0.5=-11/24d≈11/(24*25)=11/600r≈0.5+100*(11/600)=0.5+11/6=0.5+1.833...≈2.333...*用此r和d值預(yù)測N(5)：N(5)=N(4)*(1+r-d*N(4))N(4)=N(3)*(1+r-d*N(3))...N(1)=N(0)*(1+r-d*N(0))*由于N(0)=100，N(1)=100*(1+r-d*100)，N(2)=N(1)*(1+r-d*N(1))，...過程復(fù)雜。更實(shí)用的方法是利用迭代或數(shù)值方法計(jì)算N(5)，或者假設(shè)N(t)近似為N(0)*e^(kt)，k=(ln(N(12)/N(0)))/12=ln(150/100)/12=ln(1.5)/12≈0.0357。則N(5)≈100*e^(5k)=100*e^(0.0357*5)≈100*e^(0.1785)≈100*1.194≈119.4。這與r,d的精確解得到的N(5)應(yīng)該接近。*簡化思路總結(jié)：預(yù)測N(5)的基本思路是：1.利用N(0)和N(12)的信息估算r和d（如上）。2.將估算的r和d代入遞推關(guān)系式。3.通過迭代計(jì)算N(1),N(2),...,N(5)。4.或者，假設(shè)N(t)近似指數(shù)增長N(0)*e^(kt)，其中k=(ln(N(12)/N(0)))/12，計(jì)算N(5)。五、1.生物學(xué)意義：*y：代表Y(t)的一個(gè)“衰減”或“穩(wěn)態(tài)”分量，可能代表Y(t)在沒有外部輸入或內(nèi)部反饋時(shí)的自然衰減速率或平衡水平。*X：代表基因A的激活強(qiáng)度，衡量基因A對基因B表達(dá)的正向促進(jìn)作用的大小。*f(t)：代表一個(gè)描述基因A表達(dá)動(dòng)態(tài)的外部輸入或內(nèi)部調(diào)控信號(hào)（如其他基因調(diào)控、環(huán)境信號(hào)等），其形式?jīng)Q定了Y(t)的動(dòng)態(tài)特性。2.穩(wěn)態(tài)值Y_ss與X的關(guān)系：*穩(wěn)態(tài)是指系統(tǒng)隨時(shí)間趨于平衡，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為零，即dY/dt=0。*令dY/dt=0，得到0=-y+X*f(t)。*解出Y的穩(wěn)態(tài)值Y_ss：y=X*f(t)Y_ss=-y/X*f(t)(假設(shè)X≠0)*這個(gè)關(guān)系表明，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，Y的穩(wěn)態(tài)值與外部輸入f(t)成正比，比例系數(shù)為-y/X。如果f(t)是常數(shù)f?，則Y_ss=-y*f?/X。3.求解思路（f(t)=sin(ωt)）：*方程變?yōu)椋篸Y/dt+y*Y=X*sin(ωt)*這是一階線性非齊次微分方程。求解步驟如下：*求對應(yīng)的一階線性齊次方程dY/dt+y*Y=0的通解。分離變量：∫(1/Y)dY=-∫ydt=>ln|Y|=-y*t+C=>Y_h=Ce^(-yt)。*使用常數(shù)變易法或積分因子法求非齊次方程的特解。*積分因子μ(t)=e^(∫ydt)=e^(yt)。*方程兩邊乘以μ(t)：e^(yt)dY/dt+ye^(yt)Y=Xe^(yt)sin(ωt)。*左邊變?yōu)?d/dt)[e^(yt)Y]，右邊為Xe^(yt)sin(ωt)。*積分：e^(yt)Y=∫Xe^(yt)sin(ωt)dt+C。*計(jì)算右邊的積分，通常需要用到三角函數(shù)積分公式或分部積分法。例如，設(shè)I=∫e^(at)sin(bt)dt，則I=[e^(at)/(a2+b2)]*(asin(bt)-bcos(bt))+C。*在本例中，a=y,b=ω。特解Y_p=[e^(yt)/(y2+ω2)]*(ysin(ωt)-ωcos(ωt))。(需注意常數(shù)項(xiàng)C在最終解中會(huì)吸收)。*通解Y(t)=Y_h+Y_p=Ce^(-yt)+[Xe^(yt)/(y2+ω2)]*(ysin(ωt)-ωcos(ωt))。*分析Y(t)的長期行為（t→∞）：由于Ce^(-yt)項(xiàng)隨時(shí)間指數(shù)衰減至0，故Y(t)的長期行為主要由特解Y_p的漸近行為決定。Y_p是一個(gè)隨時(shí)間振蕩的函數(shù)，其振幅為|X|/(y2+ω2)，振蕩角頻率為ω。*可以進(jìn)一步分析Y(t)的平均值或長期平均功率譜，以了解其振蕩特性的統(tǒng)計(jì)意義。六、1.生理學(xué)假設(shè)：*該模型假設(shè)藥物在血液中的濃度變化主要受到消除過程的控制。*假設(shè)消除過程是線性的，即消除速率與當(dāng)時(shí)的藥物濃度成正比，比例系數(shù)為k。這意味著藥物的消除途徑（如代謝、排泄）在考察的時(shí)間尺度內(nèi)不飽和。*假設(shè)沒有考慮吸收過程，或者吸收過程很快完成，血液中藥物濃度能迅速達(dá)到一個(gè)初始水平，且之后只考慮消除。2.求解C(t)：*微分方程：dC/dt=-k*C(t)*分離變量：∫dC/C=-∫kdt*ln|C|=-kt+C'*指數(shù)化：C=e^(-kt+C')=e^(C')*e^(-kt)*令C'=ln(C?)，則e^(C')=C?。*所以，C(t)=C?*e^(-kt)3.半衰期T?與k的關(guān)系：*半衰期T?定義為藥物濃度下降到初始值一半所需的時(shí)間，即C(T?)=C?/2。*代入通解C(t)=C?*e^(-kt)：C?/2=C?*e^(-k*T?)*兩邊除以C?：1/2=e^(-k*T?)*取自然對數(shù)：ln(1/2)=-k*T?*由于ln(1/2)=-ln(2)，所以：-ln(2)=-k*T?*最終關(guān)系式為：T?=ln(2)/k4.復(fù)雜模型分析思路：*方程dC/dt=-k*C(t)+I?*e^(-at)中，新增項(xiàng)I?*e^(-at)代表一個(gè)隨時(shí)間衰減的外部輸入。*I?：代表持續(xù)輸入的藥物劑量或濃度。*a：代表輸入速率隨時(shí)間衰減的速率常數(shù)。a越大，衰減越快。*這個(gè)項(xiàng)的生物學(xué)意義可能是：1.持續(xù)的給藥過程，例如通過輸液或緩釋裝置，輸入速率隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律下降。2.藥物在體內(nèi)的某種代謝或轉(zhuǎn)化過程，其速率（或產(chǎn)生的某