線性代數(shù)教案x1目錄課程介紹與目標(biāo)行列式與矩陣向量與線性方程組特征值與特征向量二次型與正定矩陣線性空間與線性變換2課程介紹與目標(biāo)013線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究向量空間、線性變換及其性質(zhì)。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理、工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。掌握線性代數(shù)的基本概念和方法，對(duì)于理解和應(yīng)用高級(jí)數(shù)學(xué)工具具有重要意義。線性代數(shù)課程背景4掌握向量空間、子空間、基與維數(shù)等基本概念。掌握線性方程組、特征值與特征向量等理論及其應(yīng)用。理解線性變換、矩陣及其性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行矩陣運(yùn)算。具備運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)目標(biāo)與要求5《線性代數(shù)》（第五版），同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社。教材《線性代數(shù)及其應(yīng)用》，DavidC.Lay著，機(jī)械工業(yè)出版社；《線性代數(shù)引論》，華羅庚著，科學(xué)出版社。參考書目教材及參考書目6行列式與矩陣027010405060302行列式的定義：由n階方陣的元素所構(gòu)成的代數(shù)和，其值等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和。行列式的性質(zhì)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等?；Q行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。行列式定義及性質(zhì)801020304矩陣是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。矩陣的概念只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。矩陣的加法數(shù)和矩陣相乘，是用該數(shù)乘以矩陣的每一個(gè)元素。矩陣的數(shù)乘兩個(gè)矩陣相乘，要求第一個(gè)矩陣的列數(shù)與第二個(gè)矩陣的行數(shù)相等，且結(jié)果是一個(gè)新的矩陣，其行數(shù)等于第一個(gè)矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的列數(shù)。矩陣的乘法矩陣概念及運(yùn)算9矩陣的逆對(duì)于n階矩陣A，如果有一個(gè)n階矩陣B，使得AB=BA=I（I為單位矩陣），則稱A是可逆的，并稱B是A的逆矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行和列互相交換所產(chǎn)生的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，這一過程稱為矩陣的轉(zhuǎn)置。矩陣的逆與轉(zhuǎn)置10向量與線性方程組0311向量是具有大小和方向的量，用有向線段表示。向量的定義滿足平行四邊形法則或三角形法則。向量的加法實(shí)數(shù)與向量的乘法，滿足數(shù)乘的運(yùn)算律。向量的數(shù)乘若干個(gè)向量的線性組合可以表示為一個(gè)新的向量。向量的線性組合向量概念及運(yùn)算1201高斯消元法通過消元將方程組化為上三角形式，然后回代求解。02克拉默法則利用行列式求解線性方程組，適用于變量和方程個(gè)數(shù)相同的情況。03矩陣方法將線性方程組表示為矩陣形式，通過矩陣運(yùn)算求解。線性方程組求解方法13求解平面或空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題。幾何應(yīng)用用于分析市場(chǎng)供需關(guān)系、預(yù)測(cè)商品價(jià)格等問題。經(jīng)濟(jì)應(yīng)用解決力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問題，如力的平衡、電路分析等。物理應(yīng)用在土木工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域中，用于解決結(jié)構(gòu)分析、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題。工程應(yīng)用線性方程組的應(yīng)用舉例14特征值與特征向量0415010203設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量x，使得Ax=mx成立，則稱m是A的一個(gè)特征值。特征值對(duì)應(yīng)于特征值m的非零n維列向量x稱為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值m的特征向量。特征向量設(shè)A為n階矩陣，λ是一個(gè)字母，則行列式|A-λE|稱為A的特征多項(xiàng)式。特征多項(xiàng)式特征值與特征向量定義16首先根據(jù)矩陣A寫出特征多項(xiàng)式|A-λE|，然后求出特征多項(xiàng)式的根，即為矩陣A的特征值。根據(jù)求出的特征值，將特征值代入齊次線性方程組(A-λE)X=0中，解出非零解即為對(duì)應(yīng)于該特征值的特征向量。特征值與特征向量的求解方法求解特征向量求解特征多項(xiàng)式17

特征值與特征向量的應(yīng)用舉例判斷矩陣是否可對(duì)角化如果n階矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化。求解矩陣的冪如果矩陣A可以對(duì)角化，即存在可逆矩陣P和對(duì)角矩陣D，使得A=PDP^(-1)，則A的n次方等于PD^nP^(-1)，其中D^n是對(duì)角矩陣D的每個(gè)元素取n次方得到的對(duì)角矩陣。求解微分方程在求解某些常系數(shù)線性微分方程時(shí)，可以通過求解矩陣的特征值和特征向量來得到微分方程的通解。18二次型與正定矩陣0519二次型定義二次型是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，其一般形式為$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是常數(shù)，$x_i$是變量。標(biāo)準(zhǔn)型通過坐標(biāo)變換，二次型可以化為標(biāo)準(zhǔn)型$f=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+ldots+lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$是二次型的特征值?；癁闃?biāo)準(zhǔn)型的步驟首先寫出二次型的矩陣形式，然后求出矩陣的特征值和特征向量，最后通過特征向量構(gòu)成的矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換。二次型概念及標(biāo)準(zhǔn)型20正定矩陣定義：對(duì)于$n$階實(shí)對(duì)稱矩陣$A$，若對(duì)于任意非零向量$X$，都有$X^TAX>0$成立，則稱$A$為正定矩陣。正定矩陣的定義及性質(zhì)2101正定矩陣的性質(zhì)02正定矩陣的行列式大于零；03正定矩陣的所有主子式都大于零；正定矩陣的定義及性質(zhì)22正定矩陣的特征值都大于零；若$A$是正定矩陣，則存在可逆矩陣$C$，使得$A=C^TC$；正定矩陣在合同變換下保持正定性不變。正定矩陣的定義及性質(zhì)23幾何意義：二次型在幾何上表示一個(gè)二次曲面，其形狀由二次型的系數(shù)決定。例如，當(dāng)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中所有特征值都大于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的二次曲面是一個(gè)橢球面；當(dāng)存在特征值小于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的二次曲面可能是雙曲面或拋物面等。二次型的幾何意義及應(yīng)用舉例2401020304應(yīng)用舉例在優(yōu)化問題中，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)?？梢员硎緸槎涡偷男问?。通過求解二次型的最小值或最大值，可以得到優(yōu)化問題的解。在多元統(tǒng)計(jì)分析中，二次型經(jīng)常用于描述數(shù)據(jù)的協(xié)方差結(jié)構(gòu)。例如，在主成分分析中，通過求解數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，可以將原始數(shù)據(jù)投影到一個(gè)新的坐標(biāo)系中，使得數(shù)據(jù)的方差達(dá)到最大。在控制理論中，二次型經(jīng)常用于描述系統(tǒng)的性能指標(biāo)。例如，在線性二次調(diào)節(jié)器（LQR）設(shè)計(jì)中，通過求解一個(gè)包含狀態(tài)和控制變量的二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，可以得到使得系統(tǒng)性能達(dá)到最優(yōu)的控制策略。二次型的幾何意義及應(yīng)用舉例25線性空間與線性變換0626設(shè)V是一個(gè)非空集合，P是一個(gè)數(shù)域，若對(duì)V中任意兩個(gè)元素α與β，總有唯一元素γ∈V與之對(duì)應(yīng)，稱為α與β的和，記作γ=α+β；對(duì)任意數(shù)k∈P與V中任意元素α，總有唯一元素δ∈V與之對(duì)應(yīng)，稱為k與α的積，記作δ=kα。并且和與積兩種運(yùn)算滿足八條運(yùn)算規(guī)則，則稱V為數(shù)域P上的線性空間。線性空間定義封閉性、結(jié)合律、交換律、單位元、逆元、數(shù)乘分配律、數(shù)乘結(jié)合律、數(shù)乘單位元。線性空間性質(zhì)線性空間定義及性質(zhì)27線性變換定義設(shè)V和W是數(shù)域P上的兩個(gè)線性空間，T是從V到W的一個(gè)映射，如果對(duì)V中任意兩個(gè)向量α、β和P中任意數(shù)k，都有T(α+β)=T(α)+T(β)和T(kα)=kT(α)成立，則稱T是V到W的一個(gè)線性變換。線性變換性質(zhì)保持加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)不變。線性變換定義及性質(zhì)28線性變換的矩陣表示及應(yīng)用舉例設(shè)T是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，在V中取定一個(gè)基α1,α2,...,αn，如果這個(gè)基在T下的像（用這個(gè)基線性表示）為T(α1)=a11α1+a21α2+...+an1αn,T(α2)=a12α1+a22α2+...+an2αn,...,T(αn)=a1nα1+a2nα2+...+annαn,則稱矩陣A=(aij)為T在基α1