第09講乘法公式

模塊導(dǎo)航——?素養(yǎng)目標(biāo)?——

模塊一思維導(dǎo)圖串知識

1.理解兩數(shù)和乘以兩數(shù)差公式，掌握其結(jié)構(gòu)特征，并能

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）靈活用于計(jì)算：

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

2.理解兩數(shù)和（差）的平方，掌握其結(jié)構(gòu)特征，并能

模塊四小試牛刀過關(guān)測靈活用于計(jì)算：

模塊一思維導(dǎo)圖串知識-

2

公式(a+b)(a-b)=a-b'

有一項(xiàng)完全相同

左邊兩個二項(xiàng)式相乘

平方差公式—另一項(xiàng)互為相反數(shù)

等號

右邊一個二項(xiàng)式相同的與相反晚的平方差

常見變化子主題

（a+b）:=a2+2ab+b:

::

公式（a-b）=a-2ah+b-

完全平方公式左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方

特征右邊是二）三項(xiàng)式

首平方，尾平方，二倍乘積放中央.

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理

考點(diǎn)三乘法公式

乘法公式內(nèi)容補(bǔ)充說明

1）特點(diǎn)：等號左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相

同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；等號右邊是一個二項(xiàng)式，這個二項(xiàng)式是左邊兩

個二項(xiàng)式中相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差.

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的2）平方差公式的變化：

平方差公式積，等于這兩個數(shù)的平方差.①位置變化：（a+力）（一匕+〃）=（〃+/?）（々一人）=力-b1

即：（47+/?）（4Z-/?）=t72-b2

②符號變化：（iz-/?）（-6f-/?）=-（tz-Z?）（6r+/?）=/?2-?2

③指數(shù)變化：年一夕）（/+/）=々6一/

④系數(shù)變化：（34-4〃）（3。+4/?）=9。2-16必

增項(xiàng)變化：（々一力+c）（a+〃+c）=（々一〃）2+c2

⑥連用公式：（4一4（〃+8乂〃2

⑦數(shù)學(xué)變化：98XI02=（100-2）（100+2）=1002-22=9996

3）【注意事項(xiàng)】

①對因式中各項(xiàng)的系數(shù)、符號要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式.如：

（a+3b）（3a-b）,不能運(yùn)用平方差公式.

②公式中的字母a、b可以是一個數(shù)、一個單項(xiàng)式、一個多項(xiàng)式.所以，

當(dāng)這個字母表示一個負(fù)數(shù)、分式、多項(xiàng)式時，應(yīng)加括號避免出現(xiàn)只把字

母平方，而系數(shù)忘了平方的錯誤.

乘法公式內(nèi)容補(bǔ)充說明

1）特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這

兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之枳的2倍.

口訣：首平方，尾平方，二倍乘積放中央.

2）完全平方和公式的變化：

①通過移項(xiàng)變形

1.cr+b2={a+bY-2ab

兩個數(shù)的和（或差）的平方等

2.必=3［（〃+32一（/+力2）］

于這兩數(shù)的平方和加上（或減

完全平方和

去）這兩數(shù)乘積的兩倍.即用法：已知a+b、ab、/+從中的兩項(xiàng)求另一項(xiàng)的值（知二求一）.

公式

（〃+力『=a2+2ab+b2②a+b與a-b的轉(zhuǎn)化

1.（tz+Z?）"=（＜7-Z?）2+4ab

2.（〃-A）?=（〃+/?『-4出？

3.=+

用法：已知a+b、ab、a-b中的兩項(xiàng)求另一項(xiàng)的值1知二求一）.

4./+/++（〃一/2『

。＞模塊三核心考點(diǎn)舉一反三一

【考點(diǎn)一】判斷運(yùn)用乘法公式計(jì)算的正誤

1.（2024七年級下?全國?專題練習(xí)）在下列多項(xiàng)式的乘法中，不?可以用平?方?差?公式計(jì)算的是（)

A.(x+y)(x-y)B.(r+y)(x+y)

C.(-x-y)(-x+y)D.(X-J)(-X+J|

【答案】D

【分析】本題考查平方差公式.根據(jù)平方差公式是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘等于這兩個數(shù)的平方差,

由此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、B、C選項(xiàng)都是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，可以使用平方差公式，

D選項(xiàng)變形后為-。-丁尸，不能使用平方差公式；

故選：D.

2.(23-24七年級下.江蘇南京?期末)下列各式中，計(jì)算正確的是()

A.(-x+y)2=x2-2xy+y2B.(-3A-+2)(3x-2)=9x2-4

C.(A-lX.v-l)=Ay-x-y-lD.(-2x+y)(2x+y)=4x2-y2

【答案】A

【分析】此題上要考杳了整式的混合運(yùn)算.根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法，以及完全平方公式和平方差公式,

逐項(xiàng)判斷即可.

［詳解］解：(-、+?=f-2xy-￥y2,

二?選項(xiàng)A符合題意；

(-3x+2)(3x-2)=-9x2+12x-4,

.,?選項(xiàng)B不符合題意；

「?選項(xiàng)C不符合題意；

(-2.v+y)(2x+y)=-4x2+y2,

???選項(xiàng)D不符合題意.

故選：A.

3.(23-24六年級下?山東煙臺?期中)下列各式中，不能運(yùn)用整式乘法公式進(jìn)行計(jì)算的是()

A.(〃?+2)(〃?+2)B.(?2+1)(1-?2)

C.(5a-3aZ?)(-5Z?+3ab)D.(x+y)(-x-y)

【答案】C

【分析】本題考查乘法公式，根據(jù)平方差公式和完全平方公式逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、(m+2)(〃z+2)=(〃z+2)2可以用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，不符合題意；

B、(〃+1)(1-*=1-/可以用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，不符合題意；

C、(5。-3。/川-5H3")不能用乘法公式進(jìn)行計(jì)算，符合題意；

D、（x+），）（r-y）=-（x+y）2可以用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，不符合題意：

故選：C.

4.（23-24七年級下.浙江溫州?期中）下列算式能用平方差公式計(jì)算的是（）

A.（2x-1）（2x+1）B.（2〃+/,）（4一。）

C.（"?一〃）（一"?+〃）D.（-a-O）（a+b）

【答案】A

【分析】本題考查了平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差，即

（〃+匕）（〃-9=/-".根據(jù)平方差公式和完全平方公式對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、（2x—l）（2x+l）=4f_l符合平方差公式的形式；

B、（2。+3（力-。）=-2^+3,加+2/Z,不符合平方差公式的形式；

22

C、（m-n）（＜-m+n）=-（m-n）'=-m+2mn-n,不符合平方差公式的形式；

D、（-a-b）（a+b）=-（a+b）2=-a2-2ab-b2,不符合平方差公式的形式.

故選:A.

【考點(diǎn)二】利用完全平方式確定系數(shù)

I.（23-24七年級下?浙江杭州?階段練習(xí)）如果代數(shù)式f+（3〃Ll）.r+36是一個完全平方式，那么小的值

為?

【答案】；13或一1:1

33

【分析】本題考杳了完全平方公式，掌握完全平方公式（〃十〃『二1十2"十方2,（〃-與2=〃2一2岫十〃是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?代數(shù)式/+（3,〃-1江+36是一個完全平方式，

/.3團(tuán)-1=12或3加-1=-12,

解得：m=；或m=一二，

33

故答案：手13或11

2.（23-24七年級下.江蘇常州.期末）若多項(xiàng)式/+12〃+火可以寫成一個整式的平方，則常數(shù)k的值是.

【答案】36

【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到女的值.

【詳解】解：???/+12。+攵恰好是一個整式的平方，

k=6~=36?

故答案為：36.

3.(23-24七年級下.江蘇常州?期中)小蘭在計(jì)算一個二項(xiàng)式的平方時，得到的正確結(jié)果是/+■沖+9)九

但中間項(xiàng)的某一部分不慎被墨汁污染了，貝h處所對應(yīng)的數(shù)是(寫出所有可能的值)

【答案】6或-6

【分析】本題考查了完全平方公式，根據(jù)完全平方公式即可得出答案，熟練掌握完全平方公式是解此題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：???(x±3y『=x2±6沖+9)，，

.*.■=±6?

，■處所對應(yīng)的數(shù)是6或-6,

故答案為：6或-6.

4.(2024?山東淄博?一?模)設(shè)A=+仁口，若/+,如+16是一個完全平方式，試求A的值.

\m)fti

【答案】、或？

【分析】本題主要考杳了乘法公式的綜合應(yīng)用，分式的混合運(yùn)算等知識，熟練運(yùn)用平方差公式和完全平方

公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)完全平方公式的形式=/±2而+/確定膽的值，由此即可求解即可.

【詳解】解：???￡+以+16是一個完全平方式，

:.X2+mx+\6=(x+4)^=X2+8x+16或x?+〃“+16=(x-4)~—8x+16,

??.〃?=8或in=-8,

..j9Am-3_m2-9ni-3_(/n+3)(w-3)3_(m-3)(〃？+4)

\tn)niinmtnmtn

當(dāng)〃?=8時，

(8-3)x(84)_15

zi-----------+---——，

82

當(dāng)"2=-8時,

(__)(_)_ll

/I----8---3--x---8-+--4----9

82

**?A的值為￡或日?.

【考點(diǎn)三】乘法公式的計(jì)算

1.(23-24七年級下?江蘇南京?期中)運(yùn)川乘法公式計(jì)算：

(1)X2-(X-3)2

⑵(2x+y)(2x—)，)—(x—2?

【答案】⑴6工一9

(2)3—+4劃一5)3

【分析】本題考查了平方差公式，完全平方公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式等知識點(diǎn)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；

(1)將工-3看成一個整體，運(yùn)用平方差公式運(yùn)算即可；(2)利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算，然后合并同類

項(xiàng)即可.

【詳解】(1)解：f_&_3)2

=(x+x-3)(x-x+3)

=(2.r-3)x3

=6A-9

(2)解：(2x+y)(2x-y)-(x-2y)'

=4x2-y~-(x2-4沖+4y~)

=4x2-y2-x2+^xy-4y2

=3x2+4xy-5y2

2.(24-25七年級上?全國?假期作業(yè))利用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算：

(1)102x98；

⑵992:

(3)50X9S-100x9.5x7.5+50x7.52.

【答案】(1)9996

(2)9801

(3)200

【分析】本題考查了乘法公式的有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)102x98=(100+2)(100-2),計(jì)算求解即可；

(2)根據(jù)992=(100-1)2,計(jì)算求解即可

(3)處理數(shù)字以后再運(yùn)用乘法的分配律和完全平方公式進(jìn)行簡算.

【詳解】(1)解：102X98=(I00+2)(100-2)=1002-22=10001)-4=9996；

(2)992=(100-1)2=1002-200+1=10000-200+1=9801；

(3)50X9.52-100X9.5X7.5+50X7.52

=50X(9.52-2X9.5X7.5+7.52)

=50x(9.5-7.5)2

=50x4

=200.

3.(23-24七年級下?江蘇揚(yáng)州?期中)運(yùn)用乘法公式計(jì)算：

(l)(2+3x)(2-3x)

\1

(2)|—-/?—(a+b)(a-b)

、2J4

【答案】(1)4-9/

(2)^b2-ab

【分析】本題主要考查平方差公式及完全平方公式，熟練掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵;

(1)根據(jù)平方差公式可進(jìn)行求解；

(2)根據(jù)半方差公式及完全平方公式、合并同類項(xiàng)法則可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)解：原式=2?-(3x)2

=4-9x2;

(2)解：原式=圖一+/一2一張2一〃)

=-+b2-ab--a2+-b2

444

5,,,

=-b~-ab.

4

4.(23-24七年級下.廣東深圳.階段練習(xí))計(jì)算：

(l)|>+2-3.y)(x-2+3y)

(2)20212-2020x2022(運(yùn)用整式乘法公式).

【答案】⑴/一9/+12尸4

(2)1

【分析】本題考杳利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算：

(1)將原式變形為|>+(2-3y)][x-(2-3y)],再利用平方差公式計(jì)算；

(2)將原式變形為202/—(2021+1)x(2021-1),再利用平方差公式計(jì)算；

【詳解】(1)解：(x+2-3)，)(x-2+3y)

=[x+(2-3y)][x-(2-3y)]

=A2-(2-3y)?

=A2-(4-12y+9/)

=<-9/+12y-4

(2)解：20212-2020x2022

=202』-(2021+1)x(2021-1)

=20212-202l2+l

=1

【考點(diǎn)四】利用乘法公式求值

I.(21-22八年級上?吉林四平?期末)利用乘法公式解決下列問題：

(1)若x-y=8,邛=40,則/二二

(2)已知，若x滿足(25-x)(x-10)=-15,4<(25-x)2+(x-10)2{fi.

【答案】(I)144；(2)255

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式的變形即可求解；

⑵設(shè)25-x=a,x-\^=b,由完全平方公式的變形/+/=(〃+〃『-即可求解.

【詳解】解：(1)由(a-/?)?=(/一2。力+/進(jìn)彳j?變形得，?'+b2=(a-b)2+2ab,

:.x2+y2=(x-y)2+2^=64+80=144；

故答案為：144：

(2)設(shè)25—x=4,x-\0=b.

由(〃+32="+2^+〃進(jìn)行變形得，

a~4-Z>2=(^7+Z?)'-lab,

A(25-X)2+(X-10)2

=[(25-x)+(x-10)]2-2(25-x)(x-IO)

=225-2x(-15)

=225+30

=255.

【點(diǎn)睛】此題主要考查乘法公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形運(yùn)用.

2.(23-24九年級上.安徽銅陵?期中)已知/+〃一|=0,則代數(shù)式(。+2)(?！?)+。(。+2)值為.

【答案】-2

【分析】由已知得〃2+〃=1，然后對所求式子展開后進(jìn)行變形，再整體代入計(jì)算即可.

【詳解】解：???/+〃-1=0,

??+a=1，

??.(a+2)(a-2)+ag+2)=a2-4+/+2a=2(/+a)-4=2xl-4=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.(23-24八年級上?重慶江津?期中)已知實(shí)數(shù)。、〃滿足，,+〃-3|+("-2)2=0,則/+瓜值為.

【答案】5

【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，兒個非負(fù)數(shù)的和為0時，這兒個非負(fù)數(shù)都為0.根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方

程，再根據(jù)完全平方公式整理即可得到答案.

【詳解】解：???.+力7+("-2)'=0,

，。+力-3=0,必一2=0,

a+b=3?ab=2，

.?.?2+Z?2=(67+Z?)2-2f/Z?=(3)2-2>：2=9-4=5,

故答案為：5.

4.(23-24七年級下.江蘇鹽城.階段練習(xí))已知m人為實(shí)數(shù).

(1)若。+〃=13,ab=36,求(。-4；

(2)若/+。法=8,濟(jì)+ab=l，分別求小力的值.

【答案】(1)25

e8人1十81

⑵。=W，〃=彳或〃=_彳，b=--

J33J

【分析】本題考查整式的化簡求值、利用完全平方公式的變形求值，運(yùn)用整體代入的思想是解題的關(guān)鍵.

(1)利用完全平方公式進(jìn)行變形，再整體代入求值即可；

(2)把已知的兩式相加可求得。+8=±3,再代入求值即可；

【詳解】(1)解：??"+b=13,ab=36,

(ci-b)~=a2-2ab+b2

=a2+2ab+b'-4ab

=(a+〃1一4"

=132-4X36

=169-144

=25；

2

(2)解：/+必=8，b+ab=\f

兩式相加可得,儲+加+從=9,即(a+4=9,

d+Z?=±3?

**a2+ab=Sb2+ab=i>即a(d+〃)=8,b^a+b^=1,

當(dāng)ai〃=3時，3a=8,3b=1,

.8,1

.?a=一,b=—,

33

當(dāng)〃+。=-3時，-3a=8,-3b=1,

?

.?a=——8,b.=——I,

33

綜上所述，a=g,b=g或a=-g,人=一(；

5.(23-24七年級卜?江蘇揚(yáng)州?期中)完全平方公式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

例如：若。+力=3,(心=1求/的值.

解：因?yàn)椤?/?=3,〃/?=1所以(。+力『=9,2ab=2所以標(biāo)+1,：+2ab=9，所以/+/=7.

根據(jù)上面的解題思路與方法解決卜.列問題：

(1)若。一/?二-5,ab=3,則/+//=.

⑵若(a+b)2=17,(a-b>=13求/+從的值.

(3)已知M+3x-1=0,求f+r的值.

x

【答案】(1)31

⑵15

⑶11

【分析】本題考查了完全平方公式變形求值，正確完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)完全平方公式變形即可求解.；

(2)由題意得至如。+。)2+(〃-32=30,根據(jù)完全平方公式得出"+2々〃+/+/一2a力+從=30,化簡即可

求解.

(3)兩邊同時除以x得，x-l=-3,兩邊平方得卜—J=(-3)2,化簡即可求解.

【詳解】(1)a-b=-5,ab=3,

/.(a-b)2=25,2ab=6,

2

:.cr-2ab+b=25f即/-6+從=25，

?'?/+加=31,

故答案為：31.

(2).「(4+力)2=17,(。-4二13,

:.(a+b)2+(a-b)2=30,

a2^2ab+b2+a2-lab+/=30,

2a2+2b2=30.

/.a2+b2=15：

(3)vf+3x_]=o

??x+c3—1=0八

x9

即x——=—3,

x

[T=(-3)2,

X2+4--2=9

x

1

..X2d---=11

T

【考點(diǎn)五】利用面積法驗(yàn)證乘法公式

1.(23-24七年級下?河北邢臺?期中)如圖，將大正方形通過剪、害人拼后組成新的圖形，利用等面積法可

證明某些乘法公式，在給出的4幅圖中,

圖1

圖3

A.1個B.2個

【答案】C

【分析】本題考查了平方差公式，完全平方公式的幾何背景，用不同的代數(shù)式表示兩個面積相等的部分是

解題的關(guān)鍵.根據(jù)各個圖形的拼圖的面積計(jì)算方法用代數(shù)式表示后，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：圖1可以驗(yàn)證的等式為：a2-b2=(a+b)(a-b),

..?圖1可以驗(yàn)證平方差公式；

圖2可以驗(yàn)證的等式為：a2-b2=(a-b)2+2b(a-b)=(a+b)(a-b),

.,?圖2可以驗(yàn)證平方差公式；

22

圖3可以驗(yàn)證的等式為：a-b=(a+b)(a-b)t

，圖3可以驗(yàn)證平方差公式；

圖4可以驗(yàn)證的等式為：(〃+力『+4ab,

..?圖4不能驗(yàn)證平方差公式；

故選:C.

2.(2024七年級下?全國?專題練習(xí))如圖I所示，邊長為。的大正方形中有一個邊長為。的小正方形，如

圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形.

圖1圖2

(1)請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：—，—；

(2)請問以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個乘法公式？—；

(3)試?yán)眠@個公式計(jì)算：

①(2m+n-p)(2m-n+p)

②I。。,

2522-2482

@(2+l)(22+1)(24+1)(28+1)(2'6+1)(232+1)+1.

【答案】(D/-從，(a+b)(a-b)

(2)a'-b2=(a+b)(a-b)

(3)(1-n2+2n/?-/r；②2'

【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)幾何圖形得出平方差公式，并利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算,

因此，木題熟練掌握平方差公式是關(guān)鍵.

(1)分別根據(jù)面積公式進(jìn)行計(jì)算；

(2)根據(jù)圖1的面積=圖2的面積列式；

(3)①把后兩項(xiàng)看成一個整體，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；

②把分母利用平方差公式分解因式，再計(jì)算并約分得5；

③添?項(xiàng)2-1后，與第?個括號里的數(shù)組成平方差公式，依次這樣計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】(1)解：原陰影面積=/-〃，拼剪后的陰影面積="+。)3-3

(2)解:驗(yàn)證的公式為:a2-b2=(a+b)(a-b).

(3)解：?(2m+n-p)(2m-n+p),

=[2m+(n-p)][2m-(n-p)],

=(2m)2-(n-p)2,

=4m'-n2+2np-p'；

c10021002100210000u

2522-2482-(252+248)(252-248)-500x4-500x4";

2486

(3)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2'+1)(232+1)+1,

=(2-1)(2+1)(22+1X24+l)(28+1X2'6+1)(2*+1)+1,

=(22-l)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(2”+1)+1,

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1,

=(28-1)(24+1)(216+1)(232+1)+1,

=(2,6-1)(2,6+I)(2U+1)+1,

=(嚴(yán)-1)(2”+1)+1,

=*-1+1，

=2M-

3.(23-24八年級上?吉林遼源,期末)如圖，圖①為邊長為。的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖

②是由圖①中陰影部分拼成的一個長方形.

圖①圖②

(1)設(shè)圖①中陰影部分面積為，，圖②中陰影部分面積為邑，請用含久人的式子表示：5,=

52=；(只需表示，不必化簡)

(2)以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個乘法公式？請寫出這個乘法公式；

(3)運(yùn)用(2)中得到的公式:計(jì)算：20202-2021x2019.

【答案】(1)/—從，e+b).")

(2)(4+〃)(4-〃)=4?~b2

(3)1

【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，平方差公式與幾何圖形，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)結(jié)合圖示，運(yùn)用字母表示數(shù)量關(guān)系即可求解；

(2)根據(jù)圖示中陰影部分面積，數(shù)量關(guān)系為，=邑，由此即可求解；

(3)根據(jù)平方差公式的運(yùn)算方法即可求解.

【詳解】(I)解：根據(jù)題意可得，，=/一"，S2=(a+?)(a—3，

故答案為:a2-b2,(a+b)(a-b).

(2)解：???，=S2，

/.(a+b)(a-b)=a2-b2,即平方差公式,

故答案為：(a+b)(。一一從.

(3)解：20202-2021x2019

=20202-(2020+1)x(2020-l)

=20202-(20202-1)

=20202-20202+1

=1.

4.(23-24七年級下?河北保定?期中)［知識再現(xiàn)］

如圖，將邊長分別為和〃的長方形分割成四部分.

<——m—-A

bbmbn

aaman

(1)通過長方形的面積的不同表示方法，從而驗(yàn)證了乘法公式：

(2)下圖給出的甲、乙、丙、丁4個正方形分割方案，分別驗(yàn)證了以下乘法公式，

?(?+/?)(?-/?)=a1-b'②(a+〃)2=a1+2ab+b2,

@(a-b)2=a~-2ab+h2?(a+b)2=(a-b)2+4ab

甲、乙、丙、丁4個圖形對應(yīng)的乘法公式序號按順序排列為；

［知識遷移］

如圖，點(diǎn)C是線段A/3上一點(diǎn)(不與A、B重合)，以AC、8C為邊向兩方作正方形，設(shè)AB=9,兩正方

形的面積和，+邑=45,求圖中陰影部分的面積.

I拓展應(yīng)用］

(1)若(4-x)x=5,則(4一為2+f=；

(2)若(2025-x)(2023-x)=2024,貝ij(2025-K)2+(2023-xf=.

【答案】［知識再現(xiàn)］(1)(a+b)(m+h)=am+an+bm+bn；(2)③①④②

［知識遷移］陰影部分面積為9

［拓展應(yīng)用］(1)6：(2)4052

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用.熟練掌握完全平方公式，并且會靈活變形解決相關(guān)問題是

解題的關(guān)鍵.

［知識再現(xiàn)］(1)根據(jù)長方形的面積用兩種不同的表示方法即可得出等式，

(2)根據(jù)圖形用兩種不同的表示方法表示面積即可；

［知識遷移］根據(jù)完全平方公式變形即可求解；、

［拓展應(yīng)用］(1)/+加=(々+〃)2_%〃即可求解；(2)即可求解.

【詳解】［知識再現(xiàn)］⑴解:長方形面積=3+力(加+/0=的+的+而+版

故答案為:3+b)(m+n)=am+an+bm+bn,

(2)根據(jù)圖形面積可得：

甲：(。-勿2=/-2°必+/，對應(yīng)③；

乙：(a+h)(a-b)=a2-b2,對應(yīng)①：

丙：(a+b)2=(a-b)2+4ab,對應(yīng)④;

T：(ci+b)1=a~+2ab+b2,對應(yīng)②；

故答案為：③①④②

［知識遷移］

設(shè)AC長為a,BC長為從由題意，得

a+b=9,a2+b2=45.

:.lab=(a+))2—(/+/)=92—45=36.

???陰影部分面積為：(必=!'36=9.

24

答：陰影部分面積為9.

［拓展應(yīng)用］

(1)V(4-.r)x=5

:.(4—x)~+x~=(4—x+x)~—2(4—x)x=4?-2x5=6，

⑵設(shè)a=2025-x,b=2023-x,

??,(2025-“)(2023-x)=2024,

:.ab=2024,a-b=(2025-x)-(2023-x)=2

(2025-x)2+(2023-x)2=a2+b2=(a-b)2+lab,

J(2025-A-)2+(2023-x)2=22+2x2024=4052.

5.(23-24八年級上.遼寧大連?階段練習(xí))操作與探究

(1)如圖1,在邊長為。的正方形正中間剪去一個邊長為〃的小正方形(〃>〃)，把剩下的部分按照圖中的

線段分割成四個等腰梯形，將四個等腰梯形拼成一個大平行四邊形.剪拼前后的兩個圖形可以驗(yàn)證的乘法

公式是__________(填序號).

圖1

①3+b)2=a2+2ab+b2②(a-b)2=a2-lab+b2

③a2—h2=(〃+〃)(〃—h)④〃:+h2=(z7+h)2-

思考與創(chuàng)新

(2)利用上面得到的乘法公式解決問題：

①已知。+匕=7,ab=10,求己一從的值;

②（任選其一）模仿圖1,任選圖2或圖3用割拼的方法在左邊內(nèi)畫圖驗(yàn)證（1）中得到的乘法公

式成立（畫的圖形中標(biāo)注。、b）

圖I圖2圖3

【答案】（1）③；（2）①21或-21；②見解析

【分析】此題主要考查的是平方差公式的幾何表示.注意運(yùn)用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意分別表示出左邊4個等腰梯形的面積和右邊大平行四邊形面積即可求解；

（2）①首先利用完全平方公式得到/+/+從=49,然后求出a?+b2=29,然后利用

（。-。）2=，-2,而+匕2=29-2x10=9,求出。-0=±3,然后利用平力差公式求解即可；

②根據(jù)平方差公式畫出圖形求解即可.

【詳解】（1）圖1中左邊4個等腰梯形的面枳為/一/，右邊大平行四邊形面積為（。+6）（。-3

:.（T-b2=（?+/?）（?—/?）,

???剪拼前后的兩個圖形可以驗(yàn)證的乘法公式是③；

（2）①???。+人=7,ab=\0,

：.（a+Z?）2=49

；?a2+2ab+b2=49

:./+20+/=49

，a2+b2=29

???=/-加+/=29-2x10=9

/.a—b=±3

當(dāng)“一b=3時，ci2-b2=（6/+Z?）（?-Z?）=7X3=21；

.當(dāng)Q—b——3時，a~~b~=(a+/)(a-〃)=7x(-3)=-21；

:.的值為21或一21；

②如圖所示，選圖2,

弓_________|jL

<>

b

左邊陰影的面積為/-6，右邊陰影的面積為(〃+〃)(〃-〃)

a2-b2=(a+b)(a-b)-

如圖所示，選圖3,

左邊陰影的面積為02一從，右邊陰影的面積為g(2b+〃)(a-b)=(a+A)(4-6)

/.a2-b2=(a+b)(a-b).

【考點(diǎn)六】乘法公式的應(yīng)用

1.(23-24七年級下?山東青島?階段練習(xí))如圖，某校一塊邊長為2〃米的正方形空地是七年級四個班的清

潔區(qū)，其中分給七年級(1)班的清潔區(qū)是一塊邊長為助)米的正方形.

1七⑴七⑵班

七⑶七⑷班

(1)求出七年級(2)班的清潔區(qū)的面積.

⑵七年級(4)班的清潔區(qū)的面積比七年級(1)班的清潔區(qū)的面積多多少？

［答案］⑴(/_43m2

(2)&活m2

【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握乘法公式進(jìn)行計(jì)算.

(1)求出七年級(2)班的清潔區(qū)的邊長，利用面積公式計(jì)算即可；

(2)求出兩個班級的面積，求差即可.

【詳解】(1)V2a-(a-2b)=a^2bt

???七年級(2)班的清潔區(qū)的面積均為：

(iZ4-2b)(a-2Z>)=(^2-4/?^nr.

(2)?:(a+2b)2-(a-2b)~=a2+4ab+4b2-(-4a/?+4Z?2)=Sab(m2),

.??七年級(4)班的清潔區(qū)的面積比七年級(1)班的清潔區(qū)的面積多&必n?.

2.(22-23七年級下?陜西西安?期中)我們知道，將完全平方公式=/±2(而+從適當(dāng)?shù)淖冃危梢?/p>

解決很多數(shù)學(xué)問題.請你觀察、思考，并解決以下問題：

⑴若"什〃=9,mn=\O,求病+1的值;

(2)如圖，一農(nóng)家樂準(zhǔn)備在原有長方形用地(即長方形488)上進(jìn)行裝修和擴(kuò)建，先用長為120m的裝飾

性籬笆圍起該長方形院子，再以A。、CQ為邊分別向外擴(kuò)建正方形AQG”、正方形OC"的空地，并在兩

塊正方形空地上建造功能性花園，該功能性花園面積和為2000帚，求原有長方形用地A8c。的面積.

【答案】(1)61

(2)8(X)m2

【分析】(1)利用完全平方公式代入計(jì)算即可；

(2)設(shè)CO=xm，AO=ym,由周氏可得x+>'=60、由兩塊正方形的面積和為2000平方米，x2+j2=2000,求

冷即可.

【詳解】(1)*.*("?+〃尸=+〃2+2nin,m+n=9,/wi=10,

/.ni2-^n2=(rn+n)2-2mn=92-2x10=61.

(2)設(shè)C￡)=>rm，AD=,

???長方形A8CD的周長是120米，

???2(x+)，)=120,

即x+y=60、

又,:兩塊正方形的面積和為2()00平方米，

Ax2+y2=2(XX),

（中）2?+力=型2000=80（）,

22

答：長方形A3CD的面積為800平方米.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，適當(dāng)?shù)牡?/p>

式變形是解決問題的的關(guān)鍵.

3.（23-24七年級下?安徽合肥?期末）如圖，學(xué)校有一塊邊長為（2。+切米的正方形空地，計(jì)劃在陰影部分

的地方進(jìn)行綠化，搭建一個小花壇，中間修建一個長為米、寬為〃米的魚池供觀賞.

⑴求綠化的面積是多少平方米？

（2）若a=4,〃=3時，求綠化面積、

【答案】（1）4〃+3"平方米

（2）100平方米

【分析】本題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用；

（1）陰影部分面積=正方形的面積-矩形的面積，即可求解:

（2）將。=4,。=3代入面積，即可求解；

能表示出面積，并正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（I）解：由題意得

（2a+b）2-b（a+b）

=4a2+4ab+b'-ab-b~

=4a2+3ab（平方米）；

（2）解：當(dāng)a=4,0=3時，

4a'+3ab

=4x42+3x4x3

=100（平方米）.

4.（23-24八年級上?吉林長春?期中）（1）數(shù)學(xué)課堂上老師留了一道數(shù)學(xué)題，如圖①，用式子表示空白部

分的面積.甲，乙兩名同學(xué)表示的式子是：甲：10x6-10x-6x；乙：（IO-x）（6-x）.正確的學(xué)生是.

（2）如圖②，有一塊長為（8。+3〃）米，寬為（7a-3b）米的長方形空地，計(jì)劃修筑東西、南北走向的兩條道

路.其余進(jìn)行綠化，已知兩條道路的寬分別為2a米和3a米，求綠化的面積.（用含m。的式子來表示）

在氏為IOm,寬為6m的長方形

”地匕修筑兩條鹿:加m的人

trifl.四條路4相垂JB.且與

綠地的邊金口成平行.求嫁地

的面枳（用力JT的式了東去示）

聞①

【答案】（1）乙；（2）綠化的面積為（25/_9必）平方米.

【分析】（1）結(jié)合圖形表示出綠地的面積，即可判斷;

（2）把兩條道路平移,可得綠地的長為（8。+3〃-34）米，寬為（7。-3b-加）米，即可計(jì)算.

【詳解】解：（1）空白部分的面積為：10x6-10x-6x+x2,故甲錯誤;

（IO-x）（6-x）

=10x6-10x-6.r+x2，

..?乙正確；

故答案為：乙；

（2）由題意可得：

（Sa+3b-3a）（7a-3b-2a）

=（5?+3Z?）（5?-3/?）

=（25/-9從）平方米,

答：綠化的面積為（25/-9從）平方米.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式在面積中的應(yīng)用，平方差公式，理解修路后依然可以拼成矩形，掌

握表示同一圖形的面積的兩種表示方法：整體表示法和部分表示法是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)七】平方差公式的幾何背景

1.（23-24七年級下?內(nèi)蒙占包頭?階段練習(xí)）如圖所示，兩個長方形用不同形式拼成圖1和圖2兩個圖形.

⑴若圖1中的陰影部分面積為/-6；則圖2中的陰影部分面積為（用含字母小人的式子且不同于圖

1的方式表示）

⑵由（1）你可以得到乘法公式

（3）根據(jù)你所得到的乘法公式解決下面的問題:

計(jì)算：

①103x97；

@（a^2b-c\a-2b-c）.

③（2+DQ2+1）04+1）（28+1）（2M+1）+1.

【答案】（1）（。+3（4一〃）

（l）\a+b）｛<a-b）=cr-b~

⑶①9991：@a2-2ac+c2-4b2；③浮

【分析】本題考查平方差公式和完全平方公式.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.

（1）由圖2可知該長方形的長為（。+〃），寬為（〃-/，），從而由長方形面積公式即可得出答案;

（2）由圖1和圖2的陰影部分面積相等，即得出（。+6）（。-6）二。2一/：

（3）①由平方差公式計(jì)算即可；

②由平方差公式和完全平方公式計(jì)算即可；

③式子先乘以（2-1）,再由平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）圖2中的陰影部分面積為（。+〃）（。一〃）.

故答案為：（。+與（。一與：

（2）由（1）可以得到乘法公式：（。+4（。一沖二/一從

故答案為：（。+6）（。-6）=/一從；

（3）解：①103x97

=（100+3）（100-3）

=1-302-32

=113000-9

=9991；

②（4+幼_C）（4_2/，_C）

=［（a-c）+2b~^（a-c）-2b\.

二（….（處『

=a2-2ac+c2-4b~：

③（2+1乂22+1）（24+1）（2*+1）（2M+1）+1

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2M+1）+1

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）..-（2M+1）+1

=（24-l）（24+l）（28+l）（2M+1）-1

=2J+1

212H

2.（23-24七年級下?寧夏中衛(wèi)?期中）如圖，邊長為。的大正方形內(nèi)有一個邊長為力的小正方形.

⑴用含字母。、〃的代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積為：將圖1的陰影部分沿斜線剪開后，拼

成了一個如圖2所示的長方形，用含字母。、匕的代數(shù)式表示此長方形的面積為

⑵比較（1）中的結(jié)果，請你寫出一個非常熟悉的乘法公式.

（3）【問題解決】利用（2）中的公式解決問題：

①已知4〃/一/=12,2/〃+〃=4,則的值為:

觀察下列計(jì)算結(jié)果：

2'=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256

②用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律并結(jié)合（2）的公式，直接寫出下面這個算式的結(jié)果，井寫出這個結(jié)果的個位數(shù)

字.（2+D（22+l）（2、l）R8+l）??邛+1）=；其個位數(shù)字是：.

【答案】（1）/-從；（a+b）（a-b）

⑵\a+b）（a-b）=a2-b~

（3）①3；②2儂-1，5

【分析】此題考查了平方差公式的應(yīng)用，涉及了有理數(shù)的乘方運(yùn)算.

（1）陰影部分面積等于大正方形面積減去小正方形面積，故陰影部分面積等于M一〃，圖2中長方形長為

（?！保?、寬為（。-力）.根據(jù)長方形面積公式，得長方形面積為

⑵因陰影部分圖形拼接前后，面積不變，故（。+方）（〃-。）=/一〃.

（3）①根據(jù)平方差公式，進(jìn)行計(jì)算即可求解；②連續(xù)使用平方差公式，進(jìn)而即可求解.

【詳解】（1）5：月影部分=4正方形小正百形=/一從

拼接后的長方形長為（。+6）、寬為力）.

S長力.形=(d+b)(a-b)

故答案為：/-/；（a+"）（a-））；

（2）???陰影部分圖形拼接前后，面積不變,

:.(a+b)(a-b)=a2-b'.

(3)解：①:4〃/一〃2=12,2/?i+/z=4,

:.(2m+n)(2w-w)=4m2-w2=12

2m-n=3,

故答案為：3.

②原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)...(264+1)

=(22-l)(22+l)(24+l)(28+l)---(2644-l)

=(24-l)(24+l)--(264+l)

=???

=(2M-1)(264+1)

乂：2”（〃為正整數(shù)）的個位數(shù)字依次是2、4、8、6、2、4、8、6…以2、4、8、6為一個循環(huán)，128+4=32,

???2磔的個位數(shù)字是6,則2磔-1的個位數(shù)字是5.

故答案為：2*1，5.

3.（2024七年級下.浙江?專題練習(xí)）如圖1所示，從邊長為。的正方形紙片中剪去一個邊長為人的小正方

形，再沿著線段A3剪開，把剪成的兩張紙拼成如圖2的等腰梯形（其面積=3（上底+下底）又高）.

（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為5,圖2中陰影部分面積為邑，請直接用含。、匕的式子表示，和S2；

（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式.

【答案】⑴S=〃2—〃，s2=（a^b）（a-b）

⑵（a+b）（a-b）=a2-b2

【分析】此題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)正方形的面積公式和梯形的面積公式得出它們之間的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題.

（1）利用正方形的面積公式和梯形的面積公式即可求解；

（2）根據(jù)（1）所得的兩個式子相等即可得到.

【詳解】（1）解：,?,大正方形的邊長為小正方形的邊長為

5]=a2-b~.

S2=—(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b)

（2）根據(jù)題意得：

（a十b）（a

【考點(diǎn)八】完全平方公式的幾何背景

1.（23-24七年級下?福建漳州?期中）圖1是一個長為2m,寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊

相同的小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形.

nmmtnn

圖l圖2圖3

（1）請用兩種不同的方法求圖2中陽影部分的面積.

方法I：.

方法2：.

請寫出代數(shù)式之間的等量關(guān)系是.

（2）許多代數(shù)等式可以用圖形的面積來表示.直接寫出圖3的面積所表示的代數(shù)等式：

⑶根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：己知。-力=3,,力是負(fù)整數(shù)，求（〃+〃）2的值.

【答案】；（/〃+〃）2-4小〃；（m-/?）'=（in+/?）'-Amn,詳見解析

（2）\2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2