方程求根的迭代法省公共課全國(guó)賽課教案（2025—2026學(xué)年）一、教學(xué)分析1.教材分析本教案針對(duì)2025—2026學(xué)年的高中數(shù)學(xué)課程，依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》編寫。課程內(nèi)容涉及方程求根的迭代法，這是高中數(shù)學(xué)中解決方程問題的重要方法之一。在單元乃至整個(gè)課程體系中，本節(jié)課旨在幫助學(xué)生理解迭代法的原理，掌握其應(yīng)用，并能解決實(shí)際問題。核心概念包括迭代法的定義、收斂性以及迭代過程的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。技能方面，學(xué)生需要學(xué)會(huì)如何選擇合適的迭代公式和初始值，以及如何判斷迭代過程是否收斂。2.學(xué)情分析高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但面對(duì)復(fù)雜的迭代法時(shí)，可能存在以下困難：對(duì)迭代概念理解不深，難以把握迭代過程；對(duì)收斂性的判斷缺乏直觀感受；在實(shí)際操作中，可能難以選擇合適的迭代公式和初始值。此外，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和認(rèn)知特點(diǎn)也需考慮，以確保教學(xué)設(shè)計(jì)能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格進(jìn)行調(diào)整。3.教學(xué)目標(biāo)與策略教學(xué)目標(biāo)包括：使學(xué)生理解迭代法的原理；掌握迭代法的應(yīng)用步驟；能夠運(yùn)用迭代法解決實(shí)際問題。為達(dá)成這些目標(biāo)，教學(xué)策略將采用以下方法：首先，通過實(shí)例引入，幫助學(xué)生理解迭代法的實(shí)際應(yīng)用；其次，通過小組討論和合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神；最后，通過練習(xí)和測(cè)試，鞏固學(xué)生的知識(shí)和技能，提高他們的解題能力。教學(xué)過程中，注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，確保學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中。二、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：能夠說出方程求根迭代法的定義及其基本原理。列舉常見的迭代法，如牛頓迭代法、二分法等。解釋迭代法在求解方程中的應(yīng)用步驟。能力目標(biāo)：設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代過程，求解特定方程的根。評(píng)價(jià)迭代過程的收斂性，并解釋其判斷依據(jù)。通過小組合作，能夠運(yùn)用迭代法解決實(shí)際問題。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究興趣。認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)方法在解決實(shí)際問題中的重要性，樹立科學(xué)的態(tài)度。培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神，提高解決問題的能力。科學(xué)思維目標(biāo)：運(yùn)用歸納和演繹推理，分析迭代法的原理和步驟。通過對(duì)比不同迭代法，培養(yǎng)批判性思維。學(xué)會(huì)從復(fù)雜問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，提高建模能力?？茖W(xué)評(píng)價(jià)目標(biāo)：能夠評(píng)價(jià)迭代法的適用范圍和局限性。通過測(cè)試，能夠準(zhǔn)確判斷迭代結(jié)果的正確性。評(píng)估自己的學(xué)習(xí)效果，并提出改進(jìn)措施。三、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)在于理解和掌握方程求根迭代法的原理和應(yīng)用步驟，難點(diǎn)在于正確選擇迭代公式和初始值，以及判斷迭代過程的收斂性。學(xué)生往往難以把握迭代法的收斂性判斷標(biāo)準(zhǔn)，需要通過實(shí)例分析和實(shí)踐操作來突破這一難點(diǎn)。四、教學(xué)準(zhǔn)備教學(xué)準(zhǔn)備包括制作多媒體課件、準(zhǔn)備圖表和模型教具、實(shí)驗(yàn)器材以及相關(guān)音頻視頻資料。學(xué)生需預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，并收集相關(guān)資料。教學(xué)環(huán)境方面，將設(shè)置小組座位，設(shè)計(jì)黑板板書框架。確保每位學(xué)生攜帶畫筆和計(jì)算器等學(xué)習(xí)用具，以便于課堂互動(dòng)和實(shí)踐操作。這些準(zhǔn)備將保障教學(xué)流程的順暢和高效。五、教學(xué)過程導(dǎo)入教師活動(dòng)：1.開場(chǎng)白：同學(xué)們，今天我們來學(xué)習(xí)一個(gè)很有趣的數(shù)學(xué)問題——方程求根的迭代法。你們可能已經(jīng)接觸過一些方程求解的方法，那么今天我們將一起探索一種新的方法。2.提問：你們知道什么是迭代法嗎？它有什么特點(diǎn)？3.展示一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代法實(shí)例，如求解方程\(x^22=0\)的根。學(xué)生活動(dòng)：1.思考教師提出的問題。2.觀察并分析展示的迭代法實(shí)例。3.與同伴討論迭代法的特點(diǎn)。新授任務(wù)一：理解迭代法的概念教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：理解迭代法的定義和基本原理。能力目標(biāo)：能夠描述迭代法的基本步驟。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究興趣?；顒?dòng)方案：1.教師活動(dòng)：講解迭代法的定義和基本原理。通過實(shí)例演示迭代法的應(yīng)用。提問學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生思考迭代法的本質(zhì)。學(xué)生活動(dòng)：認(rèn)真聽講，做好筆記。觀察實(shí)例，理解迭代法的步驟。積極回答問題，參與討論。即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：學(xué)生能夠正確描述迭代法的定義和基本原理。學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)例，總結(jié)出迭代法的基本步驟。學(xué)生能夠提出有針對(duì)性的問題，并參與討論。任務(wù)二：設(shè)計(jì)迭代公式教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：掌握如何設(shè)計(jì)迭代公式。能力目標(biāo)：能夠根據(jù)方程設(shè)計(jì)合適的迭代公式。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力?；顒?dòng)方案：1.教師活動(dòng)：講解如何設(shè)計(jì)迭代公式。提供一些設(shè)計(jì)迭代公式的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析。分組討論，讓學(xué)生設(shè)計(jì)自己的迭代公式。學(xué)生活動(dòng)：積極參與討論，理解設(shè)計(jì)迭代公式的步驟。分析實(shí)例，總結(jié)設(shè)計(jì)迭代公式的技巧。設(shè)計(jì)自己的迭代公式，并與其他同學(xué)分享。即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：學(xué)生能夠根據(jù)方程設(shè)計(jì)出合適的迭代公式。學(xué)生能夠解釋自己設(shè)計(jì)迭代公式的思路。學(xué)生能夠從其他同學(xué)的設(shè)計(jì)中學(xué)習(xí)到新的思路。任務(wù)三：選擇初始值教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：理解初始值對(duì)迭代過程的影響。能力目標(biāo)：能夠選擇合適的初始值。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和判斷力?；顒?dòng)方案：1.教師活動(dòng)：講解初始值對(duì)迭代過程的影響。提供一些選擇初始值的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析。分組討論，讓學(xué)生選擇合適的初始值。學(xué)生活動(dòng)：積極參與討論，理解初始值對(duì)迭代過程的影響。分析實(shí)例，總結(jié)選擇初始值的技巧。選擇合適的初始值，并與其他同學(xué)分享。即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：學(xué)生能夠理解初始值對(duì)迭代過程的影響。學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)例，選擇合適的初始值。學(xué)生能夠從其他同學(xué)的選擇中學(xué)習(xí)到新的思路。任務(wù)四：判斷迭代過程的收斂性教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：掌握判斷迭代過程收斂性的方法。能力目標(biāo)：能夠判斷迭代過程的收斂性。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力?；顒?dòng)方案：1.教師活動(dòng)：講解判斷迭代過程收斂性的方法。提供一些判斷收斂性的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析。分組討論，讓學(xué)生判斷迭代過程的收斂性。學(xué)生活動(dòng)：積極參與討論，理解判斷收斂性的方法。分析實(shí)例，總結(jié)判斷收斂性的技巧。判斷迭代過程的收斂性，并與其他同學(xué)分享。即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：學(xué)生能夠掌握判斷迭代過程收斂性的方法。學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)例，判斷迭代過程的收斂性。學(xué)生能夠從其他同學(xué)的分析中學(xué)習(xí)到新的思路。任務(wù)五：應(yīng)用迭代法解決實(shí)際問題教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：理解迭代法在實(shí)際問題中的應(yīng)用。能力目標(biāo)：能夠運(yùn)用迭代法解決實(shí)際問題。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新精神?；顒?dòng)方案：1.教師活動(dòng)：提供一些實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用迭代法解決。分組討論，讓學(xué)生分享自己的解決方案?？偨Y(jié)學(xué)生的解決方案，并給出評(píng)價(jià)。學(xué)生活動(dòng)：積極參與討論，理解迭代法在實(shí)際問題中的應(yīng)用。分析實(shí)際問題，設(shè)計(jì)迭代過程。分享自己的解決方案，并接受評(píng)價(jià)。即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：學(xué)生能夠運(yùn)用迭代法解決實(shí)際問題。學(xué)生能夠解釋自己解決問題的思路。學(xué)生能夠從其他同學(xué)的解決方案中學(xué)習(xí)到新的思路。鞏固教師活動(dòng)：1.通過提問和練習(xí)，檢查學(xué)生對(duì)迭代法的理解和應(yīng)用能力。2.針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤和疑惑，進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。學(xué)生活動(dòng)：1.積極參與提問和練習(xí)。2.認(rèn)真聽講，做好筆記。3.及時(shí)解決自己的疑惑。小結(jié)教師活動(dòng)：1.總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容。2.強(qiáng)調(diào)迭代法在實(shí)際問題中的應(yīng)用。3.布置課后作業(yè)。學(xué)生活動(dòng)：1.回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。2.思考迭代法在實(shí)際問題中的應(yīng)用。3.完成課后作業(yè)。當(dāng)堂檢測(cè)教師活動(dòng)：1.設(shè)計(jì)檢測(cè)題，檢查學(xué)生對(duì)迭代法的掌握程度。2.收集檢測(cè)題，進(jìn)行批改和分析。學(xué)生活動(dòng)：1.認(rèn)真完成檢測(cè)題。2.仔細(xì)檢查自己的答案。3.及時(shí)反饋?zhàn)约旱膶W(xué)習(xí)情況。六、作業(yè)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性作業(yè)：內(nèi)容：完成課后練習(xí)題，包括方程求根迭代法的定義、基本原理、迭代公式的設(shè)計(jì)、初始值的選取以及收斂性的判斷。完成形式：書面練習(xí)，要求學(xué)生獨(dú)立完成，并在作業(yè)上注明解題步驟和思路。提交時(shí)限：下節(jié)課前。能力培養(yǎng)目標(biāo)：鞏固學(xué)生對(duì)迭代法基本知識(shí)的掌握，提高學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯思維能力。拓展性作業(yè)：內(nèi)容：選擇一個(gè)實(shí)際問題，運(yùn)用迭代法進(jìn)行求解，并撰寫一份簡(jiǎn)短的研究報(bào)告。完成形式：研究報(bào)告，包括問題背景、迭代過程、結(jié)果分析、結(jié)論等。提交時(shí)限：一周內(nèi)。能力培養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生將理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的能力，提高學(xué)生的研究能力和寫作能力。探究性/創(chuàng)造性作業(yè)：內(nèi)容：設(shè)計(jì)一個(gè)新的迭代算法，用于求解特定類型的方程，并分析其收斂性和效率。完成形式：算法設(shè)計(jì)文檔，包括算法描述、實(shí)現(xiàn)步驟、實(shí)驗(yàn)結(jié)果等。提交時(shí)限：兩周內(nèi)。能力培養(yǎng)目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的算法設(shè)計(jì)能力和編程能力，提高學(xué)生的科學(xué)探究精神。七、本節(jié)知識(shí)清單及拓展1.迭代法的定義：迭代法是一種通過重復(fù)計(jì)算逐步逼近方程根的方法，適用于特定類型的方程求解。2.迭代法的原理：迭代法基于方程的局部線性化，通過迭代過程逐步逼近方程的根。3.迭代公式的設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)迭代公式時(shí)，需要考慮方程的結(jié)構(gòu)和初始值的選取，以確保迭代過程的收斂性。4.初始值的選?。撼跏贾档倪x取對(duì)迭代過程的收斂性有重要影響，通常需要根據(jù)方程的性質(zhì)和實(shí)際情況進(jìn)行選擇。5.收斂性的判斷：判斷迭代過程是否收斂，是保證迭代法有效性的關(guān)鍵，可以通過多種方法進(jìn)行判斷。6.牛頓迭代法：牛頓迭代法是一種常見的迭代法，適用于可微分的方程求解。7.二分法：二分法是一種簡(jiǎn)單直觀的迭代法，適用于單調(diào)函數(shù)的根求解。8.迭代過程的穩(wěn)定性：迭代過程的穩(wěn)定性是保證迭代法可靠性的重要因素，需要通過數(shù)值分析進(jìn)行評(píng)估。9.迭代法的實(shí)際應(yīng)用：迭代法在科學(xué)計(jì)算、工程應(yīng)用和實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。10.迭代法的局限性：迭代法存在一些局限性，如對(duì)初始值的敏感性和可能陷入局部極值等問題。11.迭代法的改進(jìn)方法：為了提高迭代法的效率和穩(wěn)定性，可以采用多種改進(jìn)方法，如線性化方法、全局優(yōu)化方法等。12.迭代法與數(shù)值分析的關(guān)系：迭代法是數(shù)值分析的一個(gè)重要分支，與數(shù)值誤差、收斂速度等問題密切相關(guān)。13.迭代法與其他方程求解方法的比較：了解迭代法與其他方程求解方法（如解析法、數(shù)值法）的比較，有助于選擇合適的方法。14.迭代法在優(yōu)化問題中的應(yīng)用：迭代法在優(yōu)化問題中也有著重要的應(yīng)用，如求解無約束優(yōu)化問題、約束優(yōu)化問題等。15.迭代法在非線性方程組中的應(yīng)用：迭代法在求解非線性方程組時(shí)，可以結(jié)合多種方法提高求解效率。16.迭代法的誤差分析：對(duì)迭代法的誤差進(jìn)行定量分析，有助于理解迭代過程的收斂性和穩(wěn)定性。17.迭代法的軟件實(shí)現(xiàn)：了解迭代法的軟件實(shí)現(xiàn)，可以加深對(duì)迭代法的理解和應(yīng)用。18.迭代法在教學(xué)中的應(yīng)用：將迭代法引入教學(xué)中，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。19.迭代法的未來發(fā)展：隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，迭代法在理論和應(yīng)用方面仍有很大的發(fā)展空間。20.迭代法的跨學(xué)科應(yīng)用：迭代法在其他學(xué)科（如物理學(xué)、生物學(xué)等）中的應(yīng)用，展現(xiàn)了其廣泛的應(yīng)用前景。八、教學(xué)反思在本節(jié)課的教學(xué)中，我主要關(guān)注了學(xué)生對(duì)方程求根迭代法的理解和應(yīng)用能力。首先，我注意到教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成，大部分學(xué)生能夠描述迭代法的定義和基本原理，并能設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的迭代公式。然而，在判斷迭代過程的收斂性方面，學(xué)生普遍存在困難，這說明我在教學(xué)過程中需要更加注重收斂性判斷的講解和練習(xí)。教學(xué)環(huán)節(jié)中，小組討論環(huán)節(jié)效果較好，學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，能夠提出更多有創(chuàng)意的迭代公式和解決方案。但我也發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在獨(dú)立完成作業(yè)時(shí)，對(duì)迭代公式的選擇和初始值的設(shè)定不夠自信。這提示我在未來的教學(xué)中，應(yīng)該提供更多的實(shí)踐機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在操作中積累經(jīng)驗(yàn)。最后，關(guān)于學(xué)生的反應(yīng)，有一個(gè)出乎意料的情況是，有幾位學(xué)生在課后主動(dòng)提出了關(guān)于迭代法在其他學(xué)科中的應(yīng)用問題。這給了我啟示，未來的