專(zhuān)題12萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用（解析版）

1會(huì)比較衛(wèi)星運(yùn)行的各物理量之間的關(guān)系.

2理解三種宇宙速度，并會(huì)求解第一宇宙速度的大小.

3．會(huì)分析天體的“追及”問(wèn)題．

知識(shí)點(diǎn)一天體質(zhì)量和密度的計(jì)算

1．利用天體表面重力加速度

已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R.

MmgR2

(1)由G＝mg，得天體質(zhì)量M＝.

R2G

M

天體密度＝M＝＝3g

(2)ρ4.

VπR34πGR

3

2．利用運(yùn)行天體

已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T.

Mm4π24π2r3

(1)由G＝mr，得M＝.

r2T2GT2

MM3πr3

(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝.

423

VπR3GTR

3

3π

(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，故只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)

GT2

繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．

知識(shí)點(diǎn)二衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析

1．基本公式

Mmv2

(1)線(xiàn)速度：由G＝m得v＝________.

r2r

Mm

(2)角速度：由G＝mω2r得ω＝________.

r2

Mm2π

(3)周期：由G＝m()2r得T＝________.

r2T

Mm

(4)向心加速度：由G＝man得an＝______.

r2

結(jié)論：同一中心天體的不同衛(wèi)星，軌道半徑r越大，v、ω、an________，T________，即越高越慢．

2．“黃金代換式”的應(yīng)用

Mm

忽略中心天體自轉(zhuǎn)影響，則有mg＝G，整理可得________________．在引力常量G和中心天體質(zhì)量

R2

M未知時(shí)，可用gR2替換GM.

3．人造衛(wèi)星

衛(wèi)星運(yùn)行的軌道平面一定通過(guò)地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛(wèi)星的軌道是赤道

軌道．

(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過(guò)南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋．

(2)同步衛(wèi)星

①軌道平面與________________共面，且與地球自轉(zhuǎn)的方向相同．

②周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，T＝________.

③高度固定不變，h＝3.6×107m.

④運(yùn)行速率約為v＝3.1km/s.

(3)近地衛(wèi)星：軌道在________________附近的衛(wèi)星，其軌道半徑r＝R(地球半徑)，運(yùn)行速度等于第一宇

宙速度v＝7.9km/s(人造地球衛(wèi)星的最大圓軌道運(yùn)行速度)，T＝85min(人造地球衛(wèi)星的最小周期)．

注意：近地衛(wèi)星可能為極地衛(wèi)星，也可能為赤道衛(wèi)星．

GM

1．(1)eq\r(\f(GM,r))(2)

r3

r3GM

(3)2π(4)

GMr2

越小越大

2．GM＝gR2

3．(2)①赤道平面②24h(3)地球表面

知識(shí)點(diǎn)三宇宙速度

第一宇宙速度v1＝______km/s，是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最

(環(huán)繞速度)大環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的______發(fā)射速度

第二宇宙速度

v2＝11.2km/s，是物體掙脫____引力束縛的最小發(fā)射速度

(逃逸速度)

第三宇宙速度v3＝16.7km/s，是物體掙脫____引力束縛的最小發(fā)射速度

7．9最小地球太陽(yáng)

一、考點(diǎn)一、航天器中的失重現(xiàn)象

1．宇航員乘坐宇宙飛船環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（）

A．地球?qū)τ詈絾T沒(méi)有引力B．宇航員處于完全失重狀態(tài)

C．宇航員的加速度為零D．宇航員處于超重狀態(tài)

【答案】B

【詳解】宇航員乘坐宇宙飛船環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球?qū)τ詈絾T的萬(wàn)有引力提供所需的向心力，

宇航員的加速度不為零，宇航員處于完全失重狀態(tài)。

故選B。

2．我國(guó)航天員在“天宮課堂”中演示了多種有趣的實(shí)驗(yàn)，提高了青少年科學(xué)探索的興趣。某同學(xué)設(shè)計(jì)了如下

實(shí)驗(yàn)：輕桿一端固定，另一端固定一小球。給小球一初速度使其在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。則在“天宮”

做此實(shí)驗(yàn)（）

A．小球的速度大小發(fā)生變化B．小球的加速度大小發(fā)生變化

C．輕桿的拉力對(duì)小球做功D．輕桿的拉力對(duì)小球不做功

【答案】D

【詳解】A．天宮中的物體均處于完全失重狀態(tài)，一切與重力有關(guān)的現(xiàn)象均消失，小球以一定初速度在

天宮中從最低點(diǎn)開(kāi)始在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，該運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球的速度大小不會(huì)發(fā)生變

化，故A錯(cuò)誤；

B．結(jié)合上述，小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球的速度大小不會(huì)發(fā)生變化，則小球的加速度大

小不會(huì)發(fā)生變化，故B錯(cuò)誤；

CD．結(jié)合上述，小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由輕桿的拉力提供圓勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，輕桿

的拉力方向始終與線(xiàn)速度方向垂直，可知，輕桿的拉力對(duì)小球不做功，故C錯(cuò)誤，D正確；

故選D。

3．宇宙飛船正在離地面高h(yuǎn)2R的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，R為地球的半徑，飛船內(nèi)一彈簧秤下懸掛一質(zhì)

量為m的重物，g為地球表面處重力加速度，則彈簧秤的讀數(shù)為（）

11

A．0B．mgC．mgD．mg

49

【答案】A

【詳解】衛(wèi)星內(nèi)的重物處于完全失重狀態(tài)，彈簧秤的讀數(shù)為0。

故選A。

4．在天和核心艙里的航天員處于完全失重狀態(tài)，這是因?yàn)楹教靻T（）

A．不受任何力的作用B．不受地球引力的作用

C．受到的地球引力正好充當(dāng)向心力D．受力平衡

【答案】C

【詳解】在天和核心艙里的航天員處于完全失重狀態(tài)，這是因?yàn)楹教靻T受到的地球引力正好充當(dāng)向心力。

故選C。

二、考點(diǎn)二、第一二三宇宙速度

5．衛(wèi)星“墨子”成功進(jìn)入離地面高度為500km的預(yù)定圓形軌道，實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星和地面之間的量子通信。此前我

國(guó)成功發(fā)射了第23顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星G7，G7屬地球同步衛(wèi)星。下列說(shuō)法中正確的是（）

A．“墨子”的運(yùn)行速度大于7.9km/sB．北斗G7可定點(diǎn)于川沙中學(xué)上方

C．“墨子”的周期比北斗G7小D．“墨子”的向心加速度比北斗G7小

【答案】C

【詳解】A．衛(wèi)星“墨子”做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有

Mmmv2

G

r2r

解得

GM

v

r

可知軌道半徑越大，線(xiàn)速度越小，第一宇宙速度的軌道半徑為地球的半徑，所以第一宇宙速度是繞地球

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)最大的環(huán)繞速度，所以“墨子”的運(yùn)行速度小于地球的第一宇宙速度7.9km/s，故A錯(cuò)誤；

B．地球同步衛(wèi)星只能定點(diǎn)于赤道正上方，則北斗G7可定點(diǎn)于川沙中學(xué)上方，故B錯(cuò)誤；

C．根據(jù)

Mm4π2

Gmr

r2T2

解得

4π2r3

T

GM

可知“墨子”的周期比北斗G7小，故C正確；

D．根據(jù)

Mm

Gma

r2

解得衛(wèi)星的向心加速度

GM

a

r2

可知“墨子”的向心加速度比北斗G7大，故D錯(cuò)誤。

故選C。

6．下列關(guān)于宇宙速度的說(shuō)法正確的是（）

A．同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定等于第一宇宙速度

B．第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星運(yùn)行的最小速度

C．人造地球衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的速度一定小于第二宇宙速度

D．地球上的物體無(wú)論具有多大的速度都不可能脫離太陽(yáng)的束縛

【答案】C

【詳解】A．第一宇宙速度是物體在地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)行速度，同步衛(wèi)星的軌道半徑大

于地球半徑，其運(yùn)行速度一定小于第一宇宙速度，故A錯(cuò)誤；

B．第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星運(yùn)行的最大速度，故B錯(cuò)誤；

C．第二宇宙速度是脫離地球引力束縛的最小速度，人造地球衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的速度一定小于第二宇宙速度，

故C正確；

D．當(dāng)物體速度大于第三宇宙速度時(shí)就可以脫離太陽(yáng)的束縛，飛到太陽(yáng)系外，故D錯(cuò)誤。

故選C。

7．“東方紅一號(hào)”人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速度（填“大于”“等于”或“小于”）第一宇宙速度，若衛(wèi)星

發(fā)射速度超過(guò)km/s，衛(wèi)星就能完全擺脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)行的人造衛(wèi)星。

【答案】小于11.2

【詳解】[1]第一宇宙速度是環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度，是地球上的物體成為地球的衛(wèi)星的最小發(fā)

射速度，所以“東方紅一號(hào)”人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速度小于第一宇宙速度；

[2]衛(wèi)星就能完全擺脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)行的人造衛(wèi)星其發(fā)射速度需要大于第二宇宙速度，

即超過(guò)11.2km/s。

8．如圖所示，將物體從一座高山上的O點(diǎn)水平拋出，拋出速度一次比一次大，落地點(diǎn)一次比一次遠(yuǎn)，設(shè)圖

中A、B、C、D、E是從O點(diǎn)以不同的速度拋出的物體所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌道。已知B是圓形軌道，C、D

是橢圓軌道，在軌道E上運(yùn)動(dòng)的物體將會(huì)克服地球的引力，永遠(yuǎn)地離開(kāi)地球，空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)的影

響不計(jì)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．物體從O點(diǎn)拋出后，沿軌道A運(yùn)動(dòng)落到地面上，物體的運(yùn)動(dòng)一定是平拋運(yùn)動(dòng)

B．軌道B、C、D的中心是同一點(diǎn)

C．若軌道C、D上物體的運(yùn)動(dòng)軌道變?yōu)閳A軌道，這個(gè)圓軌道可以過(guò)O點(diǎn)

D．在軌道E上運(yùn)動(dòng)的物體，拋出時(shí)的速度一定大于等于第三宇宙速度

【答案】AC

【詳解】A．物體從O點(diǎn)拋出后，只受到重力作用，做平拋運(yùn)動(dòng)落到A點(diǎn)，A正確；

B．根據(jù)開(kāi)普勒第一定律可知軌道B、C、D有一個(gè)公共焦點(diǎn)，這個(gè)焦點(diǎn)就是地球，但是軌道中心不是一個(gè)

點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

C．若軌道C、D上物體的運(yùn)動(dòng)軌道變?yōu)閳A軌道，可以在O點(diǎn)減速，變成近地圓軌道，這個(gè)軌道經(jīng)過(guò)O

點(diǎn)；也可以在遠(yuǎn)地點(diǎn)加速變?yōu)楦哕壍赖膱A軌道，但是這個(gè)軌道不會(huì)過(guò)O點(diǎn)；C正確；

D．在軌道E上運(yùn)動(dòng)的物體將會(huì)克服地球的引力，永遠(yuǎn)地離開(kāi)地球，若發(fā)射速度大于第二宇宙速度，小

于第三宇宙速度，則圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)；若大于第三宇宙速度，則會(huì)離開(kāi)太陽(yáng)系；所以?huà)伋鰰r(shí)的速度不一定

大于第三宇宙速度，D錯(cuò)誤。

故選AC。

三、考點(diǎn)三、近地衛(wèi)星與黃金代換

9．一顆在赤道上空做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，其軌道半徑上對(duì)應(yīng)的重力加速度為地球表面重力加速度的

四分之一。已知地球半徑為R，則該衛(wèi)星離地面的高度為（）

A．RB．2RC．3RD．4R

【答案】A

【詳解】在地球表面，忽略自轉(zhuǎn)的影響，有

Mm

mgG

R2

衛(wèi)星所處的位置，有

gMm

mG

4r2

可得

r2R

所以該衛(wèi)星離地面的高度為

hrRR

故選A。

10．空間飛行器的交匯對(duì)接是載人航天中的一項(xiàng)基礎(chǔ)技術(shù)。北京時(shí)間2021年9月20日，天舟三號(hào)貨運(yùn)飛

船采用自主交會(huì)對(duì)接模式成功的和天和核心艙完成對(duì)接。成功對(duì)接后組合體沿圓形軌道運(yùn)行，經(jīng)過(guò)時(shí)

間t，組合體繞地球轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為。地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考

慮地球自轉(zhuǎn)。求：

（1）組合體運(yùn)動(dòng)的周期T；

（2）組合體所在圓軌道離地高度H；

2tgR2t2

【答案】（1）T；（2）H3R

2

【詳解】（1）由角速度定義可得

t

由

2

T

可得

2t

T

（2）由

GMm

m(RH)2

(RH)2

GMm

mg

R2

聯(lián)立可得

gR2t2

H3R

2

11．某國(guó)家報(bào)紙報(bào)道：該國(guó)發(fā)射了一顆周期T為80min的人造地球衛(wèi)星。若衛(wèi)星的軌道為圓形，請(qǐng)你通過(guò)

計(jì)算，判斷該新聞的正確性。已知萬(wàn)有引力常量G6.671011Nm2/kg2，地球半徑R為6.4106m，

重力加速度g為9.8m/s2。

【答案】該新聞是不正確的

【分析】根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和地球表面附近萬(wàn)有引力等于重力求出周期為80min的人造地球衛(wèi)

星的軌道半徑，與地球的半徑比較，判斷新聞的正確性。

【詳解】設(shè)衛(wèi)星的軌道半徑為r，有

2

Mm2

Gmr

r2T

物體在地球表面的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，可知

Mm

mgG

R2

解得

1

1

6323

323）（

gRT9.86.410806066

rm5.910m6.410m

4243.142

由于rR，因此不存在這樣的衛(wèi)星。

所以該新聞是不正確的。

【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和地球表面附近萬(wàn)有引力等于重力兩個(gè)重要的理論，

并能靈活運(yùn)用。

12．設(shè)想“嫦娥”登月飛船貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)。飛船在月球上著陸后，宇航員在月球表

面上方h高處以初速度v0水平拋出一個(gè)小球，小球飛出的水平距離為s，已知引力常量為G。求：

（1）月球表面的重力加速度；

（2）月球的半徑；

（3）月球的第一宇宙速度。

2hv2hv2T2hv2T

【答案】（1）0；（2）0；（3）0

s22π2s2πs2

【詳解】（1）小球做拋體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

s

t①

v0

設(shè)月球表面的重力加速度為g，有

1

hgt2②

2

聯(lián)立①②解得

2hv2

g0③

s2

（2）設(shè)月球的半徑為R、質(zhì)量為M，月球表面質(zhì)量為m1的物體所受萬(wàn)有引力等于重力，即

Mm

G1mg④

R21

設(shè)“嫦娥”登月飛船質(zhì)量為m2，根據(jù)牛頓第二定律有

Mm4π2

G2mR⑤

R22T2

聯(lián)立③④⑤解得

hv2T2

R0⑥

2π2s2

（3）“嫦娥”登月飛船貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線(xiàn)速度即為月球的第一宇宙速度，為

2πRhv2T

v0⑦

1Tπs2

四、考點(diǎn)四、地球同步衛(wèi)星與其他衛(wèi)星的對(duì)比

13．2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人飛船發(fā)射成功，將航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲送入空間站，他們

執(zhí)行任務(wù)時(shí)通過(guò)同步衛(wèi)星與地面實(shí)時(shí)聯(lián)系。已知空間站運(yùn)行周期約為90min，它與同步衛(wèi)星的運(yùn)行軌道

均視為圓周軌道，則（）

A．空間站相對(duì)地面靜止B．空間站一定不是同步衛(wèi)星

C．空間站的速度大于第一宇宙速度D．空間站的加速度小于同步衛(wèi)星的加速度

【答案】B

【詳解】A．空何站運(yùn)行周期約為90min，相對(duì)地球的位置發(fā)生變化，故A錯(cuò)誤；

B．地球同步衛(wèi)星的周期為24h，所以空間站一定不是同步衛(wèi)星，故B正確；

C．第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，所以空間站的速度小于第一宇宙速度，故C錯(cuò)誤；

D．根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知空間站的軌道半徑較小，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有

GMm

ma

r2

解得

GM

a

r2

則空間站的加速度大于同步衛(wèi)星的加速度，故D錯(cuò)誤；

故選B。

14．2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人飛船發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功，將航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲送入空間

站，他們執(zhí)行任務(wù)時(shí)通過(guò)同步衛(wèi)星與地面實(shí)時(shí)聯(lián)系。已知空間站運(yùn)行周期約為90分鐘，它與同步衛(wèi)星

的運(yùn)行軌道均視為圓軌道，則（）

A．空間站相對(duì)地面靜止B．空間站的速度大于同步衛(wèi)星的速度

C．空間站的速度大于第一宇宙速度D．空間站的加速度小于同步衛(wèi)星的加速度

【答案】B

【詳解】A．依題意，空間站運(yùn)行周期約為90分鐘，與地球不同步，所以空間站不能相對(duì)地面靜止。

故A錯(cuò)誤；

B．根據(jù)

GMmv242

mmr

r2rT2

解得

42r3GM

T，v

GMr2

可知，空間站的軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，即空間站的速度大于同步衛(wèi)星的速度。故B正確；

C．第一宇宙速度是衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，所以空間站的速度小于第一宇宙速度。故C錯(cuò)誤；

D．根據(jù)

GMm

ma

r2

解得

GM

a

r2

可知，空間站的加速度大于同步衛(wèi)星的加速度。故D錯(cuò)誤。

故選B。

15．四顆地球衛(wèi)星a、b、c、d的排列位置如圖所示，其中a是靜止在地球赤道上還未發(fā)射的衛(wèi)星，b是近

地軌道衛(wèi)星，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測(cè)衛(wèi)星，四顆衛(wèi)星相比較，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A．a(chǎn)的向心加速度最大

B．相同時(shí)間內(nèi)b轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)

C．c相對(duì)于b靜止

D．d的運(yùn)動(dòng)周期可能是23h

【答案】ACD

【詳解】A．同步衛(wèi)星的周期必須與地球自轉(zhuǎn)周期相同、角速度相同，則知a與c的角速度相同，根據(jù)

a2r

知c的向心加速度比a的向心加速度大，又根據(jù)

Mm

Gma

r2

可知

abacad

即b的向心加速度最大，故A錯(cuò)誤；

B．同步衛(wèi)星的周期必須與地球自轉(zhuǎn)周期相同，角速度相同，則知a與c的角速度相同，根據(jù)

vr

知c的線(xiàn)速度比a的線(xiàn)速度大，由

GMmmv2

r2r

得

GM

v

r

衛(wèi)星的半徑越大，線(xiàn)速度越小，所以

vbvcvd

由

lvt

在相同時(shí)間內(nèi)b轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，故B正確；

C．b是近地軌道衛(wèi)星，c是地球同步衛(wèi)星，c相對(duì)于地面靜止，近地軌道衛(wèi)星相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)，所以c

相對(duì)于b運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；

R3

D．由開(kāi)普勒第三定律k知，衛(wèi)星的半徑越大，周期越大，c的周期為24h，所以d的運(yùn)動(dòng)周期大

T2

于c的周期24h，不可能為23h，故D錯(cuò)誤。

選錯(cuò)誤的，故選ACD。

16．若在天鵝座有一質(zhì)量均勻分布的球形“類(lèi)地球”行星，其密度為，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)0，引力常量

為G，則下列說(shuō)法正確的是（）

2R

A．該“類(lèi)地球”行星的同步衛(wèi)星的運(yùn)行速率為

T0

GT2

B．該“類(lèi)地球”行星的同步衛(wèi)星的軌道半徑為0

3

4

C．該“類(lèi)地球”行星表面重力加速度在兩極的大小為GR

3

G

D．該“類(lèi)地球”行星的衛(wèi)星在行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為2R

3

【答案】CD

2r2R

【詳解】A．該“類(lèi)地球”行星的同步衛(wèi)星的運(yùn)行速率為，r代表同步衛(wèi)星的軌道半徑，并非，

T0T0

故A錯(cuò)誤；

B．對(duì)該“類(lèi)地球”行星的同步衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有

GMm42

2mr2

rT0

根據(jù)密度的公式有

M

4

R3

3

解得軌道半徑為

GR3T2

r30

3

故B錯(cuò)誤；

C．根據(jù)萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系有

GMm

mg

R2

根據(jù)密度的公式有

M

4

R3

3

解得該“類(lèi)地球”行星表面重力加速度在兩極的大小為

4

gGR

3

故C正確；

D．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有

GMmv2

m

R2R

根據(jù)密度的公式有

M

4

R3

3

解得該“類(lèi)地球”行星的衛(wèi)星在行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為

G

v2R

3

故D正確。

故選CD。

五、考點(diǎn)五、計(jì)算雙星問(wèn)題

17．銀河系的恒星中大約四分之一是雙星，某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬(wàn)有

引力作用下繞兩者連線(xiàn)上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由天文觀(guān)察測(cè)得其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，S1到C點(diǎn)的

距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G。由此可求出S2的質(zhì)量為（）

42r2rr4r342r342r2r

A．1B．1C．D．1

GT2GT2GT2GT2

【答案】D

【詳解】以S1為研究對(duì)象，S1做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得

2

m1m22

Gm1r1

r2T

解得

42r2r

m1

2GT2

故選D。

【點(diǎn)睛】雙星問(wèn)題注意萬(wàn)有引力的距離和星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的區(qū)別和聯(lián)系。

18．如圖所示，甲、乙兩衛(wèi)星沿相同方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，甲衛(wèi)星周期為T(mén)1，乙衛(wèi)星周期為T(mén)2，某

時(shí)刻兩衛(wèi)星恰好相距最遠(yuǎn)，則（）

T1T2

A．至少需時(shí)間，兩衛(wèi)星相距最近

2T2T1

TT

B．至少需時(shí)間12，兩衛(wèi)星相距最近

T2T1

T1T2

C．至少需時(shí)間，兩衛(wèi)星再次相距最遠(yuǎn)

2T2T1

TT

D．至少需時(shí)間12，兩衛(wèi)星再次相距最遠(yuǎn)

T2T1

【答案】AD

【詳解】AB．某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近，則可知經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt兩衛(wèi)星再次相距最近時(shí)

2π2π

t(2k1)π（k取1，2，3…）

T1T2

則

(2k1)TT

t12

2T2T1

當(dāng)k取1時(shí)

TT

t12

2T2T1

A正確，B錯(cuò)誤；

CD．同理當(dāng)兩顆衛(wèi)星經(jīng)過(guò)t時(shí)間兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)

2π2π

t2kπ（k取1，2，3…）

T1T2

則

kTT

t12

T2T1

當(dāng)k取1時(shí)

TT

t12

T2T1

C錯(cuò)誤，D正確；

故選AD。

19．“雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個(gè)星球的半徑均遠(yuǎn)小于兩者之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離

其他天體，它們?cè)诒舜说娜f(wàn)有引力作用下，繞某一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，某一雙星系統(tǒng)中

A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們球心之間的距離為L(zhǎng)，引力常量為G，則下列說(shuō)法正確

的是（）

m

A．B星球的軌道半徑為2L

m1m2

B．A星球和B星球的線(xiàn)速度大小之比為m2:m1

L

C．A星球運(yùn)行的周期為2L

Gm1m2

D．若在O點(diǎn)放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它受到兩星球的引力之和一定為零

【答案】BC

【詳解】A．設(shè)A星球軌道半徑為R1，B星球軌道半徑為R2，兩星球運(yùn)轉(zhuǎn)角速度相同，由萬(wàn)有引力提

供向心力可得

mm

G12m2Rm2R

L21122

可得

Rm

12

R2m1

又因?yàn)?/p>

R1R2L

解得兩星球的軌道半徑分別為

m2L

R1

m1m2

m1L

R2

m1m2

故A錯(cuò)誤；

B．由線(xiàn)速度與角速度關(guān)系vR可得，A、B線(xiàn)速度大小與半徑成正比，所以A、B線(xiàn)速度大小之比

為m2:m1，故B正確；

C．由上式可得

2

m1m224m1L

G2m2R2m22

LTm1m2

解得兩星球運(yùn)轉(zhuǎn)周期為

L

T2L

Gm1m2

故C正確；

D．設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，則A星球?qū)|(zhì)點(diǎn)引力為

2

mmmmmm

1112

F1G2G22

R1m2L

B星球?qū)|(zhì)點(diǎn)引力為

2

mmmmmm

2212

F2G2G22

R2m1L

則可知只有在兩星球質(zhì)量相等時(shí)，對(duì)質(zhì)點(diǎn)合力為零，故D錯(cuò)誤。

故選BC。

20．科學(xué)家通過(guò)天文望遠(yuǎn)鏡在一個(gè)河外星系中，發(fā)現(xiàn)了一對(duì)相互環(huán)繞旋轉(zhuǎn)的超大質(zhì)量雙星系統(tǒng)。雙星a、b

以?xún)烧哌B線(xiàn)上的O點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G。若a、b到圓心的距離分別為L(zhǎng)1和L2，圓

周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)。求

（1）雙星a、b的質(zhì)量之比；

（2）雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。

23

L24LL

【答案】（1）；（2）12

2

L1GT

【詳解】（1）根據(jù)

mm

G12m2Lm2L

L21122

可得

mL

12

m2L1

（2）由

mmmm

G12m2L，G12m2L

L211L222

可得

2LL22LL2

m1，m2

2G1G

可得雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量為

2L3

Mmm

12G

其中

2

T

可得

3

42LL

Mmm12

12GT2

六、考點(diǎn)六、引力勢(shì)能及其應(yīng)用

21．華為Mate60Pro首發(fā)了衛(wèi)星通話(huà)功能，使其成為全球首款支持衛(wèi)星通話(huà)的智能手機(jī)。我國(guó)地球同步衛(wèi)星

“天通一號(hào)”在衛(wèi)星通話(huà)中擔(dān)任重要角色。地球同步衛(wèi)星發(fā)射首先利用火箭將衛(wèi)星運(yùn)載至地球附近圓形軌

道B，通過(guò)多次變軌最終進(jìn)入地球同步軌道A。如圖所示，B軌道離地面高度為h，地球半徑為R。已

知天通一號(hào)”質(zhì)量為m，地球自轉(zhuǎn)角速度為0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心，引力常量

GMm

為G。如果規(guī)定距地球無(wú)限遠(yuǎn)處為地球引力零勢(shì)能點(diǎn)，地球附近物體的引力勢(shì)能可表示為E，

pr

其中M（未知）為地球質(zhì)量，m為物體質(zhì)量，r為物體到地心距離。求：

(1)“天通一號(hào)”衛(wèi)星在B軌道的運(yùn)行周期T；

(2)“天通一號(hào)”衛(wèi)星在B軌道的機(jī)械能E；

(3)“天通一號(hào)”衛(wèi)星自B軌道運(yùn)動(dòng)至A軌道的過(guò)程中機(jī)械能增加量E。

3

42Rh

【答案】(1)

gR2

mgR2

(2)

2(Rh)

12mgR2

(3)m(gR2)3

202(Rh)

【詳解】（1）“天通一號(hào)”衛(wèi)星在B軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力提供向心力可得

GMm42