2/2第四章一次函數(shù)2認識一次函數(shù)（第2課時）一、學習任務分析本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學八年級（上冊）第四章“一次函數(shù)”第二節(jié)的第2課時。從課時內(nèi)容看，本課時通過進一步探究生活中的實際問題，抽象出一次函數(shù)模型，進而歸納一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念；同時，引導學生從關系式中感受一次函數(shù)的“均勻”變化，并理解k，b的實際意義。從章節(jié)整體來看，本課時是學生掌握一次函數(shù)概念，理解k，b的實際意義的關鍵環(huán)節(jié)，既承接了前面對函數(shù)表示方法及“均勻”變化特征的認知，又為后續(xù)深入學習一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應用奠定基礎，具有承上啟下的重要作用。二、學生起點分析學生的知識技能基礎：學生通過本章第一節(jié)的學習，已經(jīng)可以運用圖象法、列表法、關系式法來表示變量之間的變化關系，并進一步理解了函數(shù)的概念。在本節(jié)第1課時中，通過“水龍頭滴漏”“線香可燃燒的時間”等實驗，將實驗數(shù)據(jù)列表、描點，并寫出其函數(shù)關系，感受了函數(shù)的幾種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換，初步體會了一次函數(shù)的“均勻”變化。學生的活動經(jīng)驗基礎：學生學習了一元一次方程，經(jīng)歷了從實際問題中尋求數(shù)量關系并建立方程的過程，具備了一定的數(shù)學抽象能力。在函數(shù)的學習過程中，學生通過圖象法、列表法、關系式法表示函數(shù)關系，初步感受了變量之間的相互依賴關系。學生經(jīng)歷了從現(xiàn)實到抽象的過程，積累了一些解決實際問題的經(jīng)驗，具備了一定的數(shù)學建模能力。同時在前面的數(shù)學學習中，學生已多次參與合作學習，積累了一定的合作經(jīng)驗，也具備了相應的合作與交流的能力。三、教學目標1.經(jīng)歷歸納一次函數(shù)和正比例函數(shù)概念的過程，進一步感受一次函數(shù)變量之間的“均勻”變化，體會從特殊到一般的數(shù)學思想，感知一次函數(shù)的意義，發(fā)展抽象能力。2.應用一次函數(shù)解決簡單實際問題，理解k，b的實際意義，感受一次函數(shù)模型在生活中的廣泛應用，培養(yǎng)應用意識。教學重點：一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念，理解k，b的實際意義。教學難點：理解k，b的實際意義，及其對一次函數(shù)y＝kx+b的影響。四、教學過程設計【第一環(huán)節(jié)】創(chuàng)設情境1.活動內(nèi)容測量問題在彈性限度內(nèi)，某彈簧的長度y（單位：cm）與所掛物體的質(zhì)量x（單位：kg）的關系見下表：x/kg012345y/cm3.03.54.04.55.05.5（1）隨著所掛物體質(zhì)量x的增加，彈簧長度y的變化是“均勻”的嗎？（2）寫出y與x之間的關系式，并說明理由。嘗試·思考某輛汽車油箱中原有汽油40L，汽車每行駛50km耗油4L。（1）請完成下表。行駛路程x/km050100150200250300耗油量y/L（2）寫出耗油量y與汽車行駛路程x之間的關系式。（3）寫出油箱剩余油量z（單位：L）與汽車行駛路程x之間的關系式。2.活動目的以彈簧的長度與所掛物體的質(zhì)量之間的關系為情境，讓學生進一步感受線性關系及對應的關系式，為認識一次函數(shù)的概念積累具體經(jīng)驗。“嘗試·思考”中汽車耗油量的問題，通過設計填寫表格、列關系式等具體任務，讓學生在處理數(shù)據(jù)的過程中感知變量間的變化規(guī)律，同時借助耗油量與行駛路程、剩余油量與行駛路程的關系式，自然滲透正比例函數(shù)、一次函數(shù)的概念。3.注意事項彈簧問題中需鼓勵學生通過觀察表格中的數(shù)據(jù)寫出y與x的關系式，鼓勵學生清晰表述自己的思考過程；汽車耗油問題需鼓勵學生根據(jù)已知條件（汽車每行駛50km耗油4L）完成表格的填寫?！镜诙h(huán)節(jié)】呈現(xiàn)定義1.活動內(nèi)容觀察·思考（1）在上面情境中，我們得到y(tǒng)＝3+0.5x，y＝0.08x，z＝40－0.08x，它們有什么共同的特征？（2）請你寫出一個具有這種特點的關系式。歸納得出：如果兩個變量x，y之間的對應關系可以表示成y＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的一次函數(shù)。特別地，當b＝0時，稱y是x的正比例函數(shù)。對一次函數(shù)而言，自變量每增加1，函數(shù)值就增加k，函數(shù)值的變化是“均勻”的。例1寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y（單位：km）與行駛時間x（單位：h）之間的關系；（2）圓的面積y（單位：cm2）與它的半徑x（單位：cm）之間的關系；（3）某水池有水15m3，現(xiàn)在打開進水管進水，進水速度為5m3/h，經(jīng)過xh這個水池內(nèi)有水ym3。思考·交流（1）在例1中，兩個一次函數(shù)的一次項系數(shù)k和常數(shù)項b分別是多少？它們的實際意義是什么？（2）一般地，k，b對一次函數(shù)y＝kx+b有怎樣的影響？與同伴進行交流。2.活動目的“觀察·思考”引導學生對前面列出的關系式進行觀察與思考，概括并認識列出的關系式的共同特征，為引出一次函數(shù)的概念做好準備。總結(jié)得到一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念后，結(jié)合前面課時對“均勻”變化的理解，進一步理解k的含義。例1是一次函數(shù)、正比函數(shù)的概念辨析問題，旨在幫助學生鞏固對一次函數(shù)概念的認識?！八伎肌そ涣鳌币龑W生體會一次函數(shù)表達式中參數(shù)k和b的實際意義。3.注意事項“觀察·思考”環(huán)節(jié)在教學中結(jié)合上一環(huán)節(jié)得到的關系式，進一步體會關系式的共同特征，以此活動加深對關系式共同特征的認識和理解。在得到一次函數(shù)的概念后，可以結(jié)合前面彈簧長度、汽車耗油量等例子，進一步理解k的意義?！镜谌h(huán)節(jié)】簡單應用1.活動內(nèi)容例2在一次測試中，某汽車緊急剎車后，每過1s其速度減少35km/h。（1）假設該汽車以120km/h的速度行駛，試寫出該汽車剎車后的速度y（單位：km/h）與剎車后所經(jīng)過的時間t（單位：s）之間的關系式y(tǒng)＝kt+b，并說明關系式中k和b的實際意義；（2）求出（1）中汽車從剎車到停止所需的時間（結(jié)果精確到0.01s）。2.活動目的結(jié)合汽車剎車的具體情境推導一次函數(shù)表達式，進一步理解表達式中k和b的實際意義，運用表達式解決問題，為下一小節(jié)深入研究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)做好鋪墊。3.注意事項鼓勵學生獨立完成例題，鞏固一次函數(shù)的概念及關系式，并能應用一次函數(shù)解決簡單的問題，加深對一次函數(shù)相關特征的認識，培養(yǎng)學生的模型觀念。例題難度適宜，能夠凸顯k和b的實際意義，有助于學生樹立應用意識，主動探索一次函數(shù)關系式中的k和b的實際意義，使一次函數(shù)的學習不再局限于對數(shù)學符號的單純學習，而是成為具有豐富現(xiàn)實承載的學習過程?！镜谒沫h(huán)節(jié)】總結(jié)提升1.活動內(nèi)容結(jié)合本節(jié)課所學內(nèi)容，請總結(jié)一次函數(shù)的定義及特征。2.活動目的鼓勵學生總結(jié)一次函數(shù)的定義，以及如何確定k和b的現(xiàn)實意義，幫助學生梳理本節(jié)課學習的主要內(nèi)容。3.注意事項由于本節(jié)課的主體部分來自學生的實踐操作和自主情境創(chuàng)設，學生能很好地完成對一次函數(shù)的概念的辨析，以及感知關系式中k和b現(xiàn)實意義。整個課堂以學生學習為主體，也為學生形成正確的概念打好了基礎?！镜谖瀛h(huán)節(jié)】布置作業(yè)1.活動內(nèi)容基礎作業(yè)（1）寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？①一個在斜坡上由靜止開始向下滾動的小球，其速度每秒增加3m/s，小球的速度y（單位：m/s）與時間x（單位：s）之間的關系；②周長為10cm的長方形，其面積y（單位：cm2）與該長方形的一邊長x（單位：cm）之間的關系。（2）如圖，甲、乙兩地相距500km，一列“復興號”動車組列車從乙地出發(fā)，以350km/h的速度向丙地行駛。設x（單位：h）表示列車行駛的時間，y（單位：km）表示列車與甲地之間的距離。①寫出y與x之間的關系式，并判斷y是否為x的一次函數(shù)；②當x＝0.5時，求y的值。選做作業(yè)（選擇其中一個完成即可）（1）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一種圍棋子。隨著投入圍棋子數(shù)量的增加（投入的圍棋子均能被水淹沒且水未溢出），量筒中水面會升高。①不做實驗，你認為這樣的升高是“均勻”的嗎？說說你的理由。②實際做一做實驗，驗證你的想法。（2）在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入小石子，隨著投入石子數(shù)量的增加（投入的小石子均能被水淹沒且水未溢出），量筒中水面會升高。為了保證水面均勻升高，你認為對石子應該有什么要求？（3）寫出兩個一次函數(shù)的表達式，其中有一個是正比例函數(shù)，并嘗試給寫出的兩個一次函數(shù)補充相應的實際背景。2.活動目的分層作業(yè)的布置可以滿足不同層次學生的需要。五、教學反思1.在解決實際問題過程中感知數(shù)學概念的來源數(shù)學來源于生活且應用于生活。生活中存在大量的適用一次函數(shù)的情境，通過數(shù)學抽象與建模，可建立一次函數(shù)解決問題。在教學設計中創(chuàng)建情境，讓學生在解決實際問題的過程中感知數(shù)學概念的來源，比直接讓學生學習一個數(shù)學概念的效果好得多。學生不僅知其然，更知其所以然，學習自然更加主動，效果也會更加顯著。本節(jié)課的教學設計緊緊圍繞著情境展開，學生既經(jīng)歷了教師創(chuàng)設的情境，又經(jīng)歷了自己創(chuàng)設情境的過程，因此印象更加深刻，學習積極性也更高。2.反復利用課堂生成的成果，使課堂更加真實自然本節(jié)課的教學設計，以反復利用課堂生成的成果為主體。第一個環(huán)節(jié)，學生通過實踐操作得到表格，接著得到了一次函數(shù)的關系式；第二個環(huán)節(jié)，由學生創(chuàng)設情境，呈現(xiàn)多種一次函數(shù)關系式。這些都是課堂上的學生生成性成果，在后繼環(huán)節(jié)中被反復運用，使整個課