2/2解題技巧專題：與二次根式運算有關的綜合問題(7類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一利用二次根式的非負性求值】 1【考點二二次根式的混合運算問題】 4【考點三含二次根式的整體代入求值】 9【考點四二次根式的分母有理化】 11【考點五復合二次根式的化簡】 18【考點六二次根式運算中的新定義型問題】 26【考點七二次根式運算中的規(guī)律探究問題】 32【考點一利用二次根式的非負性求值】例題：若的兩邊a，b滿足，則它的第三邊c為．【變式訓練】1．已知，則的值是．2．若，則．3．已知，則的平方根為．4．已知a，b為實數(shù)，且a，b滿足，則．5．已知：實數(shù)滿足關系式求的值．6．若a，b是一直角三角形的兩邊長，且滿足等式．(1)求a，b的值；(2)求第三邊的長．【考點二二次根式的混合運算問題】例題：計算：(1)；(2)．【變式訓練】1．計算題：(1)；(2)．2．化簡：(1)；(2)．3．計算：(1)；(2)．4．計算：(1)；(2)．5．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．6．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【考點三含二次根式的整體代入求值】例題：已知，，則代數(shù)式的值是．【變式訓練】1．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．2．若，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．23．已知，，則代數(shù)式的值是．4．已知實數(shù)滿足，求的值．5．已知：，求的值．【考點四二次根式的分母有理化】例題：小辰在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：∵，∴，∴，，∴，∴．請你根據(jù)小辰的分析過程，解決如下問題：(1)①化簡．②當時，求的值．(2)化簡．【變式訓練】1．教材明確指出①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．二次根式運算中，要把計算結果化為最簡二次根式(1)化簡：______；(2)我們思考“如何化簡”的問題．為了使分母之中不含根號，我們想到平方差公式“”，其特點是先平方后作差，既可以把運算為整數(shù)，又不產(chǎn)生新的無理數(shù)：．這樣的計算過程數(shù)學上稱之為“分母有理化”．請你化簡：；(3)計算：．2．閱讀下面的材料并解答后面所給出的問題：①，②．兩個含二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如：與，與，數(shù)學上將上述把分母變成有理數(shù)（式）的過程稱為分母有理化，因此，化簡一個分母含有二次根式的式子時采用分母、分子同時乘以分母的有理化因式的方法就行了．(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________．(2)求的值；(3)求的值．3．閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題：(1)歸納：請直接寫出下列各式的結果：①，②；(2)應用：化簡；(3)拓展：．（用含的式子表示，為正整數(shù)）4．閱讀與思考：材料閱讀：二次根式的運算中，經(jīng)常會出現(xiàn)諸如的計算，需要運用分式的基本性質(zhì)，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”，例如：；．類似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”，例如：；．根據(jù)上述知識，請你完成下列問題：(1)化簡：；(2)計算：的值．5．閱讀下面計算過程：；；；請解決下列問題：(1)化簡：；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，請直接寫出______；(3)利用上面的解法，請計算：．【考點五復合二次根式的化簡】例題：材料：如何將雙重二次根式（，，）化簡呢？如能找到兩個數(shù)，（，），使得，即，且使，即，那么，，雙重二次根式得以化簡．例如化簡：，因為且，，由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：(1)填空：=；

=．(2)化簡：；(3)計算：．【變式訓練】1．閱讀與思考下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．雙層二次根式的化簡二次根式的化簡是一個難點，稍不留心就會出錯，我在上網(wǎng)還發(fā)現(xiàn)了一類帶雙層根號的式子，就是根號內(nèi)又帶根號的式子、它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)消掉外面的一層根號．例如：要化簡，可以先思考（根據(jù)1）．．通過計算，我還發(fā)現(xiàn)設（其中m，n，a，b都為正整數(shù)），則有．∴，__________．這樣，我就找到了一種把部分化簡的方法．任務：(1)文中的“根據(jù)1”是__________，__________．(2)根據(jù)上面的思路，化簡：．(3)已知，其中a，x，y均為正整數(shù)，求a的值．2．閱讀材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)m、n，是且，則把變成開方，從而使得化簡．如：解答問題：(1)填空：______．(2)化簡：（請寫出計算過程）(3)3．先閱讀下列解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)，使，，這樣，，那么便有，例如：化簡解：首先把化為，這里，；由于，，即，．根據(jù)上述例題的方法化簡：(1)；(2)；(3)．4．閱讀材料．把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)m、n，是且，則把變成開方，從而使得化簡．如：解答問題：(1)填空：______，______．(2)5．材料：如何將雙重二次根式（，，）化簡呢?如能找到兩個數(shù)m，n（，），使得，即，且使，即，那么，，雙重二次根式得以化簡．例如：化簡，∵，且，，∵，．由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么這個雙重二次根式一定化簡．請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：(1)填空：______，______；(2)化簡：；(3)計算：．【考點六二次根式運算中的新定義型問題】例題：定義：我們將與稱為一對“對偶式”．因為，可以有效的去掉根號，所以有一些問題可以通過構造“對偶式”來解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因為，所以．(1)已知：，求的值；(2)結合已知條件和第①問的結果，解方程：；(3)計算：．【變式訓練】1．定義：若兩個二次根式，滿足，且是有理數(shù)．則稱與是關于的美好二次根式．(1)若與是關于6的美好二次根式，求的值；(2)若與是關于的美好二次根式，求和的值．2．對于任意的正數(shù)，定義運算為：.(1)計算的結果；(2)計算的結果.3．我們新定義一種三角形：兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．例如，某三角形的三邊長分別是2，4和，因為，所以這個三角形是奇異三角形．(1)若的三邊長分別是2，和，判斷此三角形是否是奇異三角形，說明理由．(2)若Rt是奇異三角形，直角邊的長為a，b（），斜邊長為c，寫出a和b的等量關系式．4．【定義新知】我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形．例如：某三角形三邊長分別是5，6和8，因為，所以這個三角形是常態(tài)三角形．(1)【概念理解】若三邊長分別是，和4，則此三角形________常態(tài)三角形；（填“是”或“不是”）(2)【初步應用】若是常態(tài)三角形，其三邊長分別為、、，且，則的值為________；(3)【拓展思考】如圖，在中，，，，在上，且，若是常態(tài)三角形，求線段的長．5．我們規(guī)定用表示有序數(shù)對．給出如下定義：記，，其中，，將與稱為有序數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”．例如；的一對“對稱數(shù)對”為和．(1)有序數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”是_______；(2)若有序數(shù)對的一對“對稱數(shù)對”相同，則y的值為_______；(3)若有序數(shù)對的一個“對稱數(shù)對”是，則x的值為_______；(4)若有序數(shù)對的一個“對稱數(shù)對”是，求的值．【考點七二次根式運算中的規(guī)律探究問題】例題：先觀察下列等式，再回答問題：①②③(1)根據(jù)上面三個等式提供的信息，請你猜想的結果：(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用n的式子表示的等式：(3)計算：【變式訓練】1．觀察下列各個等式：第①個等式：；第②個等式：；第③個等式：；第④個等式：；……按以上等式規(guī)律，解決下面的問題：(1)寫出第⑤個等式：__________．(2)完成第n個等式：______________，并證明這個等式的正確性．2．觀察下列各式及驗證過程：，驗證；，驗證，驗證．(1)按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想的變形結果并進行驗證．(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．3．觀察下列各式并解答問題：；；……(1)計算：；(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論（用含