2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在航空航天領(lǐng)域中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.某飛行器在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，其運動方程可近似表示為$\theta=\omegat$，其中$\theta$為極角，$\omega$為角速度，$t$為時間。若飛行器的速率為$v$，求其切向加速度和法向加速度。2.一枚火箭從地面垂直發(fā)射，其質(zhì)量隨時間變化的關(guān)系為$m(t)=m_0-bt$，其中$m_0$為初始質(zhì)量，$b$為常數(shù)，$t$為時間。假設(shè)火箭受到的空氣阻力與速度的平方成正比，比例系數(shù)為$k$，重力加速度為$g$。試建立描述火箭運動的微分方程。3.在航天器姿態(tài)控制中，常用歐拉角描述其姿態(tài)。假設(shè)某航天器的歐拉角運動方程為$\dot{\theta}=\omega_x$,$\dot{\phi}=\omega_y\sin\theta$,$\dot{\psi}=\omega_y\cos\theta$，其中$\theta,\phi,\psi$分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角，$\omega_x,\omega_y,\omega_z$分別為繞相應(yīng)軸的角速度分量。若$\omega_x,\omega_y,\omega_z$為已知常數(shù)，求該航天器的姿態(tài)運動方程。二、1.設(shè)矩陣$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\mathbf{B}=\begin{pmatrix}0&-1\\2&5\end{pmatrix}$，計算$\mathbf{A}^2$,$\mathbf{A}\mathbf{B}$,$\mathbf{B}\mathbf{A}$。2.求解線性方程組$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x-y+z=0\\-x+y+2z=-1\end{cases}$。3.某航天器控制系統(tǒng)需要設(shè)計一個狀態(tài)反饋矩陣$\mathbf{K}$，使得閉環(huán)系統(tǒng)特征值為$-1,-2,-3$。已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為$\mathbf{x}(t)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bu}(t)$，其中$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{pmatrix}$，$\mathbf{B}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$。求$\mathbf{K}$。三、1.假設(shè)某火箭發(fā)射試驗中，每次試驗成功的概率為$p=0.8$，獨立重復(fù)進(jìn)行5次試驗。求恰好成功3次的概率。2.某航天器的飛行高度$H$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu=100$公里，$\sigma=10$公里。求飛行高度超過120公里的概率。3.收集到某航天器溫度傳感器10個樣本數(shù)據(jù)：$[70,72,75,78,80,82,85,87,90,92]$。試用樣本均值和樣本方差估計該航天器溫度的期望值和方差。四、1.使用辛普森公式計算積分$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$的近似值（取$n=4$）。2.已知函數(shù)$y=e^x$，在$x=0$處進(jìn)行二階泰勒展開，并估計在$x=0.1$處的誤差。3.用歐拉法求解初值問題$\dot{y}=-2y+4t$，$y(0)=1$，取步長$h=0.1$，計算$y(0.3)$的近似值。五、1.在航天器結(jié)構(gòu)設(shè)計中，需要求解如下泛函的極值：$J[y]=\int_0^1(y'^2+y^2)dx$，其中$y(0)=0$,$y(1)=1$。試用歐拉方程求解該泛函的極值函數(shù)$y(x)$。2.某航天器控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)為$J=\int_0^T(x^2+u^2)dt$，其中$x(0)=0$,$x(T)=1$，控制輸入$u$受約束$|u|\leq1$。試用拉格朗日乘數(shù)法求最優(yōu)控制$u(t)$。3.假設(shè)某航天器的軌跡方程為$r=\frac{p}{1+e\cos\theta}$，其中$p$為半正焦弦，$e$為偏心率。求該航天器的軌道離心率和角動量常數(shù)。試卷答案一、1.切向加速度為0，法向加速度為$\frac{v^2}{R}$，其中$R$為勻速圓周運動的半徑。解析思路：切向加速度是速度大小對時間的變化率，勻速圓周運動速度大小不變，故切向加速度為0。法向加速度是指向圓心的加速度，大小為$\frac{v^2}{R}$。2.微分方程為$m(t)\ddot{r}+k(\dot{r})^2+mg=0$。解析思路：根據(jù)牛頓第二定律，火箭受到的合外力等于質(zhì)量乘以加速度?；鸺艿降牧Πㄖ亓?、空氣阻力。重力為$mg$，空氣阻力為$-k(\dot{r})^2$（與速度方向相反）?；鸺馁|(zhì)量隨時間變化，故加速度也為時間函數(shù)。3.姿態(tài)運動方程為$\theta(t)=\omega_xt+\phi_0$,$\phi(t)=\phi_0+\omega_y\sin\theta_0t+\omega_z\cos\theta_0t$,$\psi(t)=\psi_0+\omega_y\cos\theta_0t-\omega_z\sin\theta_0t$，其中$\phi_0,\psi_0,\theta_0$為初始?xì)W拉角。解析思路：對歐拉角運動方程進(jìn)行積分，得到歐拉角隨時間的變化關(guān)系。由于$\omega_x,\omega_y,\omega_z$為常數(shù)，積分結(jié)果為線性函數(shù)。二、1.$\mathbf{A}^2=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$,$\mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix}4&3\\8&15\end{pmatrix}$,$\mathbf{B}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}-5&-6\\10&11\end{pmatrix}$。解析思路：按照矩陣乘法規(guī)則計算矩陣的平方和兩個矩陣的乘積。2.$x=1$,$y=0$,$z=-1$。解析思路：可以使用高斯消元法或克拉默法則求解線性方程組。3.$\mathbf{K}=\begin{pmatrix}8&4&6\end{pmatrix}$。解析思路：首先將系統(tǒng)矩陣$\mathbf{A}$對角化，然后根據(jù)對角化后的矩陣和控制目標(biāo)求出狀態(tài)反饋矩陣$\mathbf{K}$。三、1.0.2048。解析思路：這是典型的二項分布問題，使用二項概率公式計算。2.0.1056。解析思路：利用正態(tài)分布的累積分布函數(shù)計算概率。3.樣本均值$\bar{x}=82$,樣本方差$s^2=62.5$。解析思路：樣本均值是所有樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，樣本方差是樣本數(shù)據(jù)偏離樣本均值的平方的平均。四、1.0.7833。解析思路：將積分區(qū)間$[0,1]$劃分為4等份，使用辛普森公式計算每個子區(qū)間的積分，然后將結(jié)果相加。2.泰勒展開式為$e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2}$，誤差估計為0.00045。解析思路：根據(jù)泰勒公式，將$e^x$在$x=0$處展開到二階，得到近似表達(dá)式。誤差估計使用拉格朗日余項公式。3.$y(0.3)\approx0.741$。解析思路：使用歐拉法，根據(jù)步長$h=0.1$和初始條件，逐步計算$y$的近似值。五、1.$y(x)=\frac{1}{2}x^2$。解析思路：根據(jù)歐拉方程，建