2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——偏微分方程與偏微分方程組考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.試述二階線性偏微分方程的分類，并寫出在直角坐標(biāo)系下三種標(biāo)準(zhǔn)型的對(duì)應(yīng)條件。2.寫出熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并說(shuō)明其物理意義。二、1.用分離變量法求解如下定解問(wèn)題：{?2u?x2+?2u?y2=0,0<x<π,y>0u(x,0)=f(x),0≤x≤πu(0,y)=0,u(π,y)=0,y>0}其中f(x)=sinx+2sin2x。三、1.用分離變量法求解如下定解問(wèn)題：{?u?t=k?2u?x2,0<x<a,t>0u(0,t)=0,u(a,t)=0,t>0u(x,0)=sin(πx/a),0≤x≤a}其中k為常數(shù)。四、1.用達(dá)朗貝爾公式求解一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題：{?2u?t2=a2?2u?x2,-∞<x<∞,t>0u(x,0)=f(x),-∞<x<∞?u?t(x,0)=g(x),-∞<x<∞}其中a為常數(shù)，f(x)=φ(x),g(x)=ψ(x)。五、1.求解如下初值問(wèn)題（用特征線法）：{?u?t+a?u?x=0,-∞<x<∞,t>0u(x,0)=φ(x),-∞<x<∞}其中a為非零常數(shù)。六、1.求解如下定解問(wèn)題：{?2u?x2+?2u?y2=0,x2+y2<1u(x,y)=x2+y2,x2+y2=1}(提示：考慮用極坐標(biāo))七、1.證明：如果函數(shù)u(x,y)滿足拉普拉斯方程?2u/?x2+?2u/?y2=0，并且在有界區(qū)域D的邊界C上u(x,y)=0，那么在區(qū)域D內(nèi)u(x,y)恒等于零。（提示：可用反證法，結(jié)合調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)）八、1.考慮如下一階線性偏微分方程組初值問(wèn)題：{?x?t=y+z,?y?t=x+z,?z?t=x+yx(0,t)=1,y(0,t)=1,z(0,t)=1}試求其解。試卷答案一、1.二階線性偏微分方程的一般形式為Au2+Bu+Cu=F，其中A,B,C是關(guān)于x,y的函數(shù)。*橢圓型：B2-4AC<0。標(biāo)準(zhǔn)型為?2u/?x2+?2u/?y2=(F/A)/(x2+y2)^(n-2)。*拋物型：B2-4AC=0。標(biāo)準(zhǔn)型為?u/?y=(F/A)/(x+y)^(n-2)。*雙曲型：B2-4AC>0。標(biāo)準(zhǔn)型為?2u/?x2-?2u/?y2=(F/A)/(x-y)^(n-2)。(注：標(biāo)準(zhǔn)型中n取決于F,A,B,C的具體形式，此處為示意)2.熱傳導(dǎo)方程：?u/?t=k?2u/?x2。物理意義：描述溫度u在介質(zhì)中隨時(shí)間t的變化，沿x方向的傳導(dǎo)過(guò)程，k為熱傳導(dǎo)系數(shù)。波動(dòng)方程：?2u/?t2=a2?2u/?x2。物理意義：描述振動(dòng)或波（如弦振動(dòng)、聲波、電磁波）在介質(zhì)中傳播的過(guò)程，a為波速。二、1.u=X(x)Y(y)代入方程得X''Y+XY''=0，除以XY得X''/X+Y''/Y=0。令X''/X=-λ,Y''/Y=λ，則Y''-λY=0,X''+λX=0。邊界條件：X(0)Y(y)=0=>Y(y)不恒為零=>X(0)=0;X(π)Y(y)=0=>Y(y)不恒為零=>X(π)=0。對(duì)X''+λX=0，考慮X(0)=0,X(π)=0。*若λ=0,X''=0,X(x)=C?x+C?,X(0)=0=>C?=0,X(π)=0=>C?=0,X(x)≡0,不符合。*若λ>0,設(shè)λ=k2,X''+k2X=0,X(x)=C?cos(kx)+C?sin(kx),X(0)=0=>C?=0,X(x)=C?sin(kx)。X(π)=0=>C?sin(kπ)=0。因C?≠0,需sin(kπ)=0=>k=n,n=1,2,3,...*n=1:k=1,X?(x)=sinx。*n=2:k=2,X?(x)=sin2x。*...*n=m:k=m,X<0xE2><0x82><0x99>(x)=sinmx。*若λ<0,設(shè)λ=-k2,X''-k2X=0,X(x)=C?e<0xE2><0x82><0x99>x+C?e<0xE2><0x82><0x9B>x。X(0)=0=>C?+C?=0=>C?=-C?。X(π)=0=>C?(e<0xE2><0x82><0x99>π-e<0xE2><0x82><0x9B>π)=0。因e<0xE2><0x82><0x99>π≠e<0xE2><0x82><0x9B>π,需C?=0=>C?=0,X(x)≡0,不符合。只能取λ=n2,n=1,2,3,...，對(duì)應(yīng)X<0xE2><0x82><0x99>(x)=sinnx。對(duì)Y''-n2Y=0,Y(y)=C<0xE1><0xB5><0xA3>cosny+C<0xE1><0xB5><0xA4>sinny。由f(x)=sinx+2sin2x知，解應(yīng)為X<0xE2><0x82><0x99>(x)Y<0xE2><0x82><0x99>(y)的線性組合。u(x,y)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞(A<0xE2><0x82><0x99>C<0xE1><0xB5><0xA3><0xE2><0x82><0x99>+B<0xE2><0x82><0x99>C<0xE1><0xB5><0xA4><0xE2><0x82><0x99>)sinnxcosny。邊界條件u(0,y)=0=>Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞C<0xE1><0xB5><0xA3><0xE2><0x82><0x99>sinnxcosny=0=>C<0xE1><0xB5><0xA3><0xE2><0x82><0x99>=0(對(duì)所有n)。u(x,y)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞B<0xE2><0x82><0x99>C<0xE1><0xB5><0xA4><0xE2><0x82><0x99>sinnxcosny。u(x,0)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞B<0xE2><0x82><0x99>C<0xE1><0xB5><0xA4><0xE2><0x82><0x99>sinnx=f(x)=sinx+2sin2x。對(duì)應(yīng)關(guān)系：sinx對(duì)應(yīng)n=1,C?cos1y=1=>C?=1;sin2x對(duì)應(yīng)n=2,C?cos2y=2=>C?=2。因此，B?C?=1,B?C?=2=>B?=1,B?=2。最終解為：u(x,y)=sinxcosy+2sin2xcos2y。三、1.u(x,0)=sin(πx/a)表明解是關(guān)于x的正弦函數(shù)，考慮分離變量u(x,t)=X(x)T(t)。代入方程得X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)=>X(x)T'(t)/kT(t)=X''(x)/X(x)=-λ。得T''/kT=-λ,X''/X=-λ。解X''+λX=0。邊界條件：X(0)=0,X(a)=0。*若λ=0,X''=0,X(x)=C?x+C?。X(0)=0=>C?=0,X(a)=0=>C?a=0=>C?=0,X(x)≡0。*若λ>0,設(shè)λ=(π/a)2m2,m=1,2,3,...,X(x)=C?cos(πmx/a)+C?sin(πmx/a)。X(0)=0=>C?=0,X(x)=C?sin(πmx/a)。X(a)=0=>C?sin(πma/a)=0=>sin(πm)=0=>m=1,2,3,...。即λ<0xE1><0xB5><0xA3>=(π/a)2m2,對(duì)應(yīng)特征函數(shù)X<0xE1><0xB5><0xA3>(x)=sin(πmx/a)。*若λ<0,設(shè)λ=-(π/a)2m2,m=1,2,3,...,X(x)=C?e<0xE2><0x82><0x99>(πmx/a)+C?e<0xE2><0x82><0x9B>(πmx/a)。X(0)=0=>C?+C?=0=>C?=-C?。X(a)=0=>C?(e<0xE2><0x82><0x99>πm-e<0xE2><0x82><0x9B>πm)=0。因e<0xE2><0x82><0x99>πm≠e<0xE2><0x82><0x9B>πm,需C?=0=>C?=0,X(x)≡0。只能取λ<0xE1><0xB5><0xA3>=(π/a)2m2,m=1,2,3,...。對(duì)應(yīng)T''/kT=-(π/a)2m2=>T''+(k(π/a)2m2)T=0。T<0xE1><0xB5><0xA3>(t)=A<0xE2><0x82><0x99>cos(k(π/am)2t)+B<0xE2><0x82><0x99>sin(k(π/am)2t)。通解u(x,t)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞[A<0xE2><0x82><0x99>cos(k(π/am)2t)+B<0xE2><0x82><0x99>sin(k(π/am)2t)]sin(πmx/a)。利用初始條件u(x,0)=sin(πx/a)。u(x,0)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞A<0xE2><0x82><0x99>sin(πmx/a)=sin(πx/a)。由正交性，系數(shù)A<0xE2><0x82><0x99>=(2/a)∫<0xE2><0x82><0x80>^asin(πnx/a)sin(πmx/a)dx。當(dāng)m=n時(shí),A<0xE2><0x82><0x99>=(2/a)∫<0xE2><0x82><0x80>^a(sin(πnx/a))2dx=(2/a)[x/2-(1/4πn)sin(2πnx/a)]<0xE2><0x82><0x80>^a=(2/a)[a/2]=1。當(dāng)m≠n時(shí),A<0xE2><0x82><0x99>=0。所以A?=1,A<0xE2><0x82><0x99>=0(n≠1)。u(x,0)=A?sin(πx/a)=sin(πx/a)。初始條件已滿足。利用初始條件u_t(x,0)=0。u_t(x,0)=Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞A<0xE2><0x82><0x99>k(π/am)2B<0xE2><0x82><0x99>sin(πmx/a)=0。因sin(πmx/a)線性無(wú)關(guān)，需Σ<0xE2><0x82><0x99>=1<0xE2><0x82><0x99>∞B<0xE2><0x82><0x99>=0=>B<0xE2><0x82><0x99>=0(對(duì)所有n)。最終解為：u(x,t)=A?cos(k(π/a)2t)sin(πx/a)=cos(k(π/a)2t)sin(πx/a)。代入k=1得：u(x,t)=cos(π2t/a2)sin(πx/a)。四、1.方程為?2u/?t2=a2?2u/?x2。初值條件為u(x,0)=φ(x),?u/?t(x,0)=ψ(x)。對(duì)t進(jìn)行積分，令v(x,t)=?u/?t(x,t)-a?u/?x(x,t)。v(x,0)=ψ(x)-a?u/?x(x,0)。對(duì)v求解：?v/?t=a2?v/?x。v(x,t)=f(x-at)=ψ(x-at)-a?u/?x(x,t)。=>?u/?x(x,t)=ψ(x-at)-v(x,t)=ψ(x-at)-f(x-at)=ψ(x-at)-ψ(x-at)=0。=>?u/?x(x,t)≡0。=>u(x,t)=F(x+at)+G(x-at)。利用u(x,0)=φ(x)=>F(x)+G(x)=φ(x)。利用?u/?t(x,0)=ψ(x)=>aF'(x)-aG'(x)=ψ(x)=>F'(x)-G'(x)=ψ(x)/a。解方程組：{F(x)+G(x)=φ(x){F'(x)-G'(x)=ψ(x)/a兩式相加：2F'(x)=φ'(x)+ψ(x)/a=>F'(x)=(φ'(x)+ψ(x)/a)/2=>F(x)=∫[(φ'(x)+ψ(x)/a)/2]dx=(φ(x)+ψ(x)/a)/2+C?。兩式相減：2G'(x)=φ(x)-ψ(x)/a=>G'(x)=(φ(x)-ψ(x)/a)/2=>G(x)=∫[(φ(x)-ψ(x)/a)/2]dx=(φ(x)-ψ(x)/a)/2+C?。由F(x)+G(x)=φ(x)=>[(φ(x)+ψ(x)/a)/2+C?]+[(φ(x)-ψ(x)/a)/2+C?]=φ(x)。=>φ(x)+C?+C?=φ(x)=>C?+C?=0=>C?=-C?。設(shè)C?=C,則C?=-C。F(x)=(φ(x)+ψ(x)/a)/2+C,G(x)=(φ(x)-ψ(x)/a)/2-C。u(x,t)=F(x+at)+G(x-at)=[(φ(x+at)+ψ(x+at)/a)/2+C]+[(φ(x-at)-ψ(x-at)/a)/2-C]。u(x,t)=(φ(x+at)+ψ(x+at)/a+φ(x-at)-ψ(x-at)/a)/2。u(x,t)=[φ(x+at)+φ(x-at)]/2+[ψ(x+at)-ψ(x-at)]/(2a)。五、1.方程為?u/?t+a?u/?x=0。初值條件為u(x,0)=φ(x)。方法一：引入新函數(shù)v(x,t)=e^(at)u(x,t)。?v/?t=ae^(at)u+e^(at)?u/?t=av+e^(at)(-a?u/?x)=av-a2?u/?x。?v/?x=e^(at)?u/?x。方程變?yōu)?v/?t-a2?v/?x=0。初值條件v(x,0)=e^(0)u(x,0)=φ(x)。這是標(biāo)準(zhǔn)的一維波動(dòng)方程，解為v(x,t)=f(x+at)=φ(x+at)。=>u(x,t)=e^(-at)v(x,t)=e^(-at)φ(x+at)。方法二：特征線法。將方程寫為?u/?t+a(?u/?x)=0。求解特征方程dx/dt=a。特征線族為x=at+x?(x?為常數(shù))。沿特征線，u保持不變，即u=u?=φ(x?)。代入x?=x-at，得u(x,t)=φ(x-at)。六、1.方程為?2u/?x2+?2u/?y2=0,x2+y2<1。邊界條件為u(x,y)=x2+y2,x2+y2=1。拉普拉斯方程在極坐標(biāo)下為?2u/?r2+(1/r)?u/?r+(1/r2)?2u/?θ2=0。在圓心對(duì)稱問(wèn)題中，解u僅是r的函數(shù)，與θ無(wú)關(guān)，即u=u(r)。方程簡(jiǎn)化為u''(r)+(1/r)u'(r)=0。令v(r)=ru(r)，則?v/?r=ru'(r)+u(r)，?2v/?r2=ru''(r)+2u'(r)。方程變?yōu)閞u''(r)+2u'(r)+u'(r)+u(r)/r=0=>ru''(r)+3u'(r)+u(r)/r=0。=>r2u''(r)+3ru'(r)+u(r)=0。=>D(D2+3D+1/r)u(r)=0,D=d/dr。=>r2D(D2+3D+1/r)u(r)=0=>r2D(D2+3D)u(r)+r2(1/r)Du(r)=0。=>r2D3u(r)+3r2D2u(r)+rDu(r)=0=>rD[r2D2u(r)+3rDu(r)+u(r)]=0。=>rD[v'(r)+u(r)]=0=>D[v'(r)+u(r)]=0=>v'(r)+u(r)=0=>u(r)=-v'(r)。代入原簡(jiǎn)化方程：u''(r)+(1/r)u'(r)=0=>-v''(r)-v'(r)+(1/r)(-v'(r))=0。=>-v''(r)-(2/r)v'(r)=0=>v''(r)+(2/r)v'(r)=0。=>dv'(r)/dr+(2/r)v'(r)=0=>(1/v'(r))dv'(r)=-(2/r)dr=>ln|v'(r)|=-2ln|r|+C=>v'(r)=C?/r2。=>v(r)=∫C?/r2dr=-C?/r+C?。=>u(r)=-v'(r)=-(-C?/r)=C?/r。邊界條件：r=1時(shí),u(1)=x2+y2=1=>u(1)=C?/1=C?=1。解為u(r)=1/r。由于r2+02=1,0≤r<1，解為u(x,y)=1/(x2+y2)。注意：此解在原點(diǎn)(0,0)處有奇異性，不滿足原定解問(wèn)題在區(qū)域x2+y2<1內(nèi)定義的要求。通常這類問(wèn)題的解假設(shè)為有界的，因此解應(yīng)為0。但若按解析解過(guò)程，此處得到u(r)=1/r。此題可能存在表述問(wèn)題或需要限定解的有界性。七、1.證明：設(shè)u(x,y)滿足拉普拉斯方程?2u/?x2+?2u/?y2=0，在區(qū)域D:x2+y2<1內(nèi)，且在邊界C:x2+y2=1上u(x,y)=0。假設(shè)存在點(diǎn)(x?,y?)∈D，使得u(x?,y?)≠0。不失一般性，設(shè)u(x?,y?)=M>0(若M<0可類似證明)。由連續(xù)性，存在δ>0，使得在閉區(qū)域D'={(x,y)|(x-x?)2+(y-y?)2≤δ2}?D內(nèi)，u(x,y)≥M/2。在D'上，u的最大值在邊界?D'或內(nèi)部達(dá)到。設(shè)最大值點(diǎn)為(x?,y?)。若在內(nèi)部達(dá)到，則?2u/?x2|_(x?,y?)≤0,?2u/?y2|_(x?,y?)≤0=>u(x?,y?)≤0，矛盾。故最大值在邊界?D'上達(dá)到。由于u在D'上連續(xù)，且?D'是緊集，u在?D'上取到最大值。設(shè)最大值點(diǎn)為(x?,y?)∈?D'。若(x?,y?)在C上，則u(x?,y?)=0。由M/2≤u(x,y)≤0在D'內(nèi)，矛盾。若(x?,y?)在D'的內(nèi)部邊界上，設(shè)x?2+y?2=r?<δ?？紤]D'內(nèi)以(x?,y?)為中心，半徑ε<r?的圓域D''。在D''內(nèi)，u的最大值在邊界?D''或內(nèi)部達(dá)到。設(shè)最大值點(diǎn)為(x?,y?)。若在內(nèi)部達(dá)到，則?2u/?x2|_(x?,y?)≤0,?2u/?y2|_(x?,y?)≤0=>u(x?,y?)≤0，矛盾。故最大值在邊界?D''上達(dá)到。由于u在D''上連續(xù)，且?D''是緊集，u在?D''上取到最大值。設(shè)最大值點(diǎn)為(x?,y?)∈?D''。重復(fù)此過(guò)程，構(gòu)造一系列閉圓域D??D??...，其中D<0xE2><0x82><0x99>={(x,y)|(x-x<0xE2><0x82><0x99>?)2+(y-y<0xE2><0x82><0x99>?)2≤r<0xE2><0x82><0x99>?}，使得u在D<0xE2><0x82><0x99>的邊界?D<0xE2><0x82><0x99>上取到最大值，且半徑r<0xE2><0x82><0x99>?→0。設(shè)極限點(diǎn)為(x?,y?)。由于u在D內(nèi)連續(xù)，且r<0xE2><0x82><0x99>?→0，必有u(x?,y?)=limu(x<0xE2><0x82><0x99>?,y<0xE2><0x82><0x99>?)=M/2>0。這與(x?,y?)∈D且u(x,y)=0在C上矛盾。因此，假設(shè)不成立，u(x,y)≡0在D內(nèi)成立。八、1.方程組為：{?x/?t=y+z{?y/?t=x+z{?z/?t=x+y初值條件：x(0,t)=1,y(0,t)=1,z(0,t)=1。方法一：消元法。對(duì)第一式求導(dǎo)：?2x/?t2=?y/?t+?z/?t。代入第二、三式：?2x/?t2=(x+z)+(x+y)=2x+y+z。整理得：?2x/?t2-2?x/?t-?y/?t-?z/?t=0。同理：?2y/?t2-2?y/?t-?x/?t-?z/?t=0。?2z/?t2-2?z/?t-?x/?t-?y/?t=0。記X=x,Y=y,Z=z。求導(dǎo)方程組為：{X''-2X'-Y'-Z'=0{Y''-X'-Y'-Z'=0{Z''-X'-Y'-Z'=0將三式相加：X''+Y''+Z''-2(X'+Y'+Z')=0=>(X+Y+Z)''-2(X+Y+Z)'=0。設(shè)W=X+Y+Z。則W''-2W'=0。W'=C?e^(2t),W=C?e^(2t)+C?。W(0)=x(0)+y(0)+z(0)=1+1+1=3=>W=3e^(2t)+C?。W'(0)=x'(0)+y'(0)+z'(0)=0+0+0=0=>W'(0)=6C?e^(0)+0=6C?=0=>C?=0。=>W=3e^(2t)。=>X+Y+Z=3e^(2t)。將W=X+Y+Z代入原方程組：{X''-2X'=3e^(2t)-Y'-Z'{Y''-X'=3e^(2t)-X'-Z'{Z''-X'=3e^(2t)-X'-Y'=>X''-3X'=3e^(2t)-Z'=>Y''-3Y'=3e^(2t)-X'=>Z''-3Z'=3e^(2t)-Y'將X''-3X'=3e^(2t)-Z'代入Y''-3Y'=3e^(2t)-X'：[(-2X'-Y'-Z')-3(-2X'-Y'-Z')+Z']''-3[-2X'-Y'-Z']'=3e^(2t)-X'=>(5X''-11X'+5X)''-3(-4X'+2Y'+Z'')=3e^(2t)-X'=>(5X''-11X'+5X)''+12X''-6Y'-3Z''=3e^(2t)-X'=>17X''-11X'-6Y'+5X-3Z''=3e^(2t)-X'=>17X''-11X'-6Y'-3Z''-2X'=3e^(2t)=>17X''-13X'-6Y'-3Z''=3e^(2t)。(注：此消元過(guò)程可能較復(fù)雜，可考慮特征根法)方法二：特征根法。原方程組可寫為矩陣形式：(D2I-2D-I)[X]=[0]。其中D=d/dt。特征方程：(λ2-2λ-1)=0=>λ=1±√2。對(duì)應(yīng)特征向量：對(duì)應(yīng)λ?=1+√2：令[X]=e^((1+√2)t)[v?]。代入：(D2-(1+√2)D-(1-√2)I[v?]=0。解得特征向量v?=[1,1+√2,1]?。對(duì)應(yīng)解為X?=e^((1+√2)t)[1,1+√2,1]?=e^((1+√2)t)(x?+(1+√2)y?+z