2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)值計算在科學(xué)研究中的作用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡要說明數(shù)值計算方法相較于理論分析在解決科學(xué)研究問題時的主要優(yōu)勢。二、已知一個數(shù)值近似為$x\approx3.14159$，若其真實值與近似值之差的絕對值不超過$0.00001$，請給出$x$的有效數(shù)字位數(shù)，并估計其真實值所在的區(qū)間。三、使用二分法求方程$x^3-x-1=0$在區(qū)間$[1,2]$內(nèi)的根，要求誤差不超過$10^{-3}$，請寫出計算過程，并給出最終近似根。四、已知數(shù)據(jù)點$(x_0,y_0)$,$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$分別為$(1,2)$,$(2,3)$,$(3,5)$。試分別求出過這三點的拉格朗日插值多項式$L_2(x)$，并計算$L_2(1.5)$的值。五、比較梯形求積公式和辛普森求積公式的主要區(qū)別，并說明在什么情況下辛普森求積公式可能更優(yōu)越。六、用歐拉方法求解初值問題$\frac{dy}{dx}=x^2-y$,$y(0)=1$，取步長$h=0.1$，計算$y(0.3)$的近似值。七、解釋什么是數(shù)值計算的穩(wěn)定性，并舉例說明一個不穩(wěn)定的數(shù)值方法。八、編寫一段MATLAB或Python代碼（無需運行，只需代碼本身），實現(xiàn)如下功能：輸入一個非空整數(shù)數(shù)組`A`，輸出該數(shù)組中的最大值和最小值。九、考慮一個簡單的物理模型：一個質(zhì)量為$m$的物體在重力作用下自由下落，忽略空氣阻力。設(shè)初始時刻$t=0$，位置$s=0$，速度$v=0$。使用歐拉方法，以時間步長$h$，推導(dǎo)出計算第$n$時間步位置$s_n$和速度$v_n$的遞推公式。十、論述數(shù)值計算在模擬復(fù)雜天氣系統(tǒng)（如天氣預(yù)報）中扮演的角色，并簡述實現(xiàn)該模擬需要解決的關(guān)鍵數(shù)值計算問題。試卷答案一、數(shù)值計算方法能夠解決理論分析難以處理或無法解決的問題，例如：沒有解析解的復(fù)雜方程、描述系統(tǒng)動態(tài)變化的微分方程、涉及大量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析等。它將連續(xù)的數(shù)學(xué)問題離散化，通過計算機(jī)進(jìn)行迭代計算，得到近似解，且可處理高維度問題。此外，數(shù)值計算還能方便地進(jìn)行模型驗證和參數(shù)敏感性分析。二、有效數(shù)字位數(shù)為4位。根據(jù)定義，有效數(shù)字是近似數(shù)中所有準(zhǔn)確數(shù)字加上末位的一個不確定數(shù)字。此處近似數(shù)$3.14159$的最后一位$5$是不確定的，其前面$3.1415$均為準(zhǔn)確數(shù)字，故有4位有效數(shù)字。真實值$x$滿足$3.14159-0.00001\lex\le3.14159+0.00001$，即$3.14148\lex\le3.14170$。三、初始區(qū)間$[a,b]=[1,2]$，$f(a)=1^3-1-1=-1$，$f(b)=2^3-2-1=5$。因$f(a)\cdotf(b)<0$，根在區(qū)間$(1,2)$內(nèi)。計算中點$c=(a+b)/2=1.5$，$f(c)=1.5^3-1.5-1=0.875$。因$f(a)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1,1.5]$內(nèi)。$c_1=1.5$，$b_1=1.5$，$a_1=1$，$f(a_1)=-1$，$f(b_1)=0.875$。$c=(a_1+b_1)/2=1.25$，$f(c)=1.25^3-1.25-1=-0.2969$。因$f(a_1)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.25,1.5]$內(nèi)。$c_2=1.25$，$b_2=1.5$，$a_2=1.25$，$f(a_2)=-0.2969$，$f(b_2)=0.875$。$c=(a_2+b_2)/2=1.375$，$f(c)=1.375^3-1.375-1=0.4219$。因$f(a_2)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.25,1.375]$內(nèi)。$c_3=1.25$，$b_3=1.375$，$a_3=1.25$，$f(a_3)=-0.2969$，$f(b_3)=0.4219$。$c=(a_3+b_3)/2=1.3125$，$f(c)=1.3125^3-1.3125-1=0.0691$。因$f(a_3)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.3125,1.375]$內(nèi)。$c_4=1.3125$，$b_4=1.375$，$a_4=1.3125$，$f(a_4)=0.0691$，$f(b_4)=0.4219$。$c=(a_4+b_4)/2=1.3438$，$f(c)=1.3438^3-1.3438-1=0.2435$。因$f(a_4)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.3125,1.3438]$內(nèi)。$c_5=1.3125$，$b_5=1.3438$，$a_5=1.3125$，$f(a_5)=0.0691$，$f(b_5)=0.2435$。$c=(a_5+b_5)/2=1.3281$，$f(c)=1.3281^3-1.3281-1=0.1079$。因$f(a_5)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.3281,1.3438]$內(nèi)。$c_6=1.3281$，$b_6=1.3438$，$a_6=1.3281$，$f(a_6)=0.1079$，$f(b_6)=0.2435$。$c=(a_6+b_6)/2=1.3359$，$f(c)=1.3359^3-1.3359-1=0.1757$。因$f(a_6)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.3281,1.3359]$內(nèi)。$c_7=1.3281$，$b_7=1.3359$，$a_7=1.3281$，$f(a_7)=0.1079$，$f(b_7)=0.1757$。$c=(a_7+b_7)/2=1.3319$，$f(c)=1.3319^3-1.3319-1=0.0918$。因$f(a_7)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.3319,1.3359]$內(nèi)。$c_8=1.3319$，$b_8=1.3359$，$a_8=1.3319$，$f(a_8)=0.0918$，$f(b_8)=0.1757$。$c=(a_8+b_8)/2=1.3339$，$f(c)=1.3339^3-1.3339-1=0.1397$。因$f(a_8)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.3339,1.3359]$內(nèi)。$c_9=1.3339$，$b_9=1.3359$，$a_9=1.3339$，$f(a_9)=0.1397$，$f(b_9)=0.1757$。$c=(a_9+b_9)/2=1.3349$，$f(c)=1.3349^3-1.3349-1=0.1168$。因$f(a_9)\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.3349,1.3359]$內(nèi)。$c_{10}=1.3349$，$b_{10}=1.3359$，$a_{10}=1.3349$，$f(a_{10})=0.1168$，$f(b_{10})=0.1757$。$c=(a_{10}+b_{10})/2=1.3354$，$f(c)=1.3354^3-1.3354-1=0.1168$。因$f(a_{10})\cdotf(c)<0$，根在區(qū)間$[1.3354,1.3359]$內(nèi)。區(qū)間長度$b_{10}-a_{10}=1.3359-1.3349=0.0010<10^{-3}$。停止迭代。近似根為$x\approx1.3354$。四、拉格朗日插值多項式$L_2(x)$為：$L_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}y_0+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}y_1+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}y_2$代入$(x_0,y_0)=(1,2)$,$(x_1,y_1)=(2,3)$,$(x_2,y_2)=(3,5)$：$L_2(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}\cdot2+\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}\cdot3+\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}\cdot5$$=\frac{(x-2)(x-3)}{-2}\cdot2+\frac{(x-1)(x-3)}{-1}\cdot3+\frac{(x-1)(x-2)}{2}\cdot5$$=-(x-2)(x-3)-3(x-1)(x-3)+\frac{5}{2}(x-1)(x-2)$$=-[x^2-5x+6]-3[x^2-4x+3]+\frac{5}{2}(x^2-3x+2)$$=-x^2+5x-6-3x^2+12x-9+\frac{5}{2}x^2-\frac{15}{2}x+5$$=(-1-3+\frac{5}{2})x^2+(5+12-\frac{15}{2})x+(-6-9+5)$$=(-\frac{1}{2})x^2+(\frac{27}{2})x-10$$=-\frac{1}{2}x^2+\frac{27}{2}x-10$計算$L_2(1.5)$：$L_2(1.5)=-\frac{1}{2}(1.5)^2+\frac{27}{2}(1.5)-10$$=-\frac{1}{2}(2.25)+\frac{27}{2}(1.5)-10$$=-1.125+20.25-10$$=9.125$五、梯形求積公式是數(shù)值積分的近似方法，將積分區(qū)間逐次分割成小梯形，用梯形的面積近似小曲邊梯形的面積，然后求和。辛普森求積公式則是在每個小區(qū)間上用二次多項式（拋物線）來近似被積函數(shù)，然后求和。主要區(qū)別在于插值函數(shù)的次數(shù)不同，梯形用一次多項式，辛普森用二次多項式。辛普森求積公式因為使用了更高次的多項式來逼近被積函數(shù)，對于光滑函數(shù)，它能更好地逼近函數(shù)的形狀，因此通常比梯形求積公式具有更高的精度。此外，辛普森求積公式具有奇數(shù)階精度（即當(dāng)被積函數(shù)為次數(shù)不超過3的多項式時，誤差為零），而梯形求積公式只有一階精度（即當(dāng)被積函數(shù)為次數(shù)不超過1的多項式時，誤差為零）。當(dāng)被積函數(shù)變化較為劇烈或包含較多高次項時，或者當(dāng)對計算精度要求較高時，辛普森求積公式通常更優(yōu)越。六、歐拉方法基于微分方程的局部線性化思想。初值問題為$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$,$y(x_0)=y_0$。步長為$h$。計算$y(x_n)\approxy_{n+1}$：$y_{n+1}=y_n+h\cdotf(x_n,y_n)$$x_0=0$,$y_0=1$,$f(x,y)=x^2-y$,$h=0.1$。計算$y(0.1)$：$x_1=x_0+h=0+0.1=0.1$$f(x_0,y_0)=f(0,1)=0^2-1=-1$$y_1=y_0+h\cdotf(x_0,y_0)=1+0.1\cdot(-1)=1-0.1=0.9$計算$y(0.2)$：$x_2=x_1+h=0.1+0.1=0.2$$f(x_1,y_1)=f(0.1,0.9)=(0.1)^2-0.9=0.01-0.9=-0.89$$y_2=y_1+h\cdotf(x_1,y_1)=0.9+0.1\cdot(-0.89)=0.9-0.089=0.811$計算$y(0.3)$：$x_3=x_2+h=0.2+0.1=0.3$$f(x_2,y_2)=f(0.2,0.811)=(0.2)^2-0.811=0.04-0.811=-0.771$$y_3=y_2+h\cdotf(x_2,y_2)=0.811+0.1\cdot(-0.771)=0.811-0.0771=0.7339$近似值為$y(0.3)\approxy_3=0.7339$。七、數(shù)值計算的穩(wěn)定性是指初始數(shù)據(jù)的微小擾動（如舍入誤差）在數(shù)值計算過程中是否會被放大，導(dǎo)致最終結(jié)果與真實值產(chǎn)生很大偏差的性質(zhì)。如果