2025年大學《數理基礎科學》專業(yè)題庫——水波在波導中的傳播特性考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述淺水波色散關系的物理意義。在什么近似下可以忽略色散效應？二、對于在無限深水中傳播的簡諧波，其相速度僅取決于頻率。試說明在矩形水槽（寬度為D，深度為H）中傳播的表面波，其相速度不僅與頻率有關，還與水槽寬度D和深度H有關。為什么會出現這種情況？三、考慮一個寬度為D的半無限長水槽（x=0為一垂直剛性壁，x→∞為自由表面），水面位于y=0，水面下的介質深度為H。設水面波沿x方向傳播，試用分離變量法推導該問題的色散關系。假設水面波動可以近似為滿足小振幅假設的線性波。四、在寬度為D的矩形水槽中，存在兩種簡正模的表面波，其色散關系分別為ω?2=gk?tanh(k?H)和ω?2=gk?tanh(k?H)，其中k?和k?是兩種模式的波數。當一列頻率為ω的入射波入射到水槽時，試定性描述發(fā)生模式轉換（模式耦合）的條件和物理過程。說明在什么情況下會發(fā)生完全反射或透射。五、定義水波傳播中的相速度和群速度。對于色散介質中的水波，相速度和群速度之間有何關系？解釋群速度的物理意義，并說明為何在水波波導中群速度的傳播方向可能與相速度的傳播方向不同。六、推導理想流體中沿深度不變的平底無限長水槽（水面為自由表面）表面波的波動方程。在此基礎上，求解該水槽中傳播的簡諧波的表達式，并給出波的傳播方向、振幅、頻率和波長。七、一個深度為H，寬度為D的矩形水槽，其底部地形在中央區(qū)域略微隆起，使得中央水深略小于兩側水深（中央水深為H-δ，δ為小量，δ<<H）。定性分析這種地形變化對該水槽中表面波的傳播特性（如相速度、色散關系）可能產生的影響。八、解釋什么是水波的簡正模。對于一個矩形水槽，其簡正模具有哪些基本特征？如果水槽寬度D遠大于深度H，試定性描述其最低階簡正模的場分布特點。試卷答案一、淺水波色散關系表明波的相速度依賴于頻率，即v_p=f(ω)。這意味著不同頻率的波在介質中以不同的速度傳播。物理意義在于，淺水波的動能和勢能密度相等，總能量密度與頻率平方成正比，而波速與頻率成正比，因此能量傳播速度（群速度）與相速度相等。忽略色散效應的近似是長波近似，即水槽寬度D遠大于波長λ（D>>λ），此時色散效應微弱，可以認為相速度近似為常數v_p≈sqrt(gH)。二、無限深水中，波動方程簡化為二維形式，且自由表面條件不引入色散。解波動方程時，空間部分解形式單一，波數k僅由頻率ω和介質參數決定，滿足v_p=ω/k=常數。而在矩形水槽中，波動受到兩側剛性壁的約束，必須滿足邊界條件。解波動方程時，空間部分解為駐波形式，存在橫向節(jié)線（在側壁處），波數k不再是任意值，而是取離散值k_m=πm/D(m為整數，m=0,1,2,...)。頻率ω與波數k通過色散關系ω=f(k)相聯系。由于k受邊界條件限制而取離散值，頻率ω也相應地只能取特定值，即ω_m=f(k_m)，表明相速度v_p=ω_m/k_m=f(m,D,H)依賴于波導寬度D和深度H（通過k_m體現），因此相速度不再恒定。三、采用分離變量法，假設解為η(x,t)=X(x)T(t)。代入波動方程?2η/?t2=g??y(?η/?y)并應用自由表面條件η(y=0,x,t)=0和底部邊界條件η(y=-H,x,t)=0，得到二維波動方程的解為η(x,t)=Σ[A_mcos(k_mx)cos(ω_mt)]。將此解代入波動方程并應用邊界條件，得到關于系數A_m的齊次方程組。通過矩陣求解或直接分析，發(fā)現只有當ω_m2=gk_mtanh(k_mH)時，方程組有非零解。其中，k_m是滿足邊界條件X(m)=0,x=0和X'(m)=0,x=D的本征值，即k_msin(k_mD)=0，故k_m=πm/D(m=0,1,2,...)。對于m=0，對應無橫向波動（沿x傳播的平面波，此時k=0，色散關系退化為ω=0，無意義，通常不考慮）。對于m≥1，將k_m=πm/D代入色散關系，得到該半無限長水槽問題的色散關系為ω_m2=g(πm/D)tanh((πm/D)H)。四、發(fā)生模式轉換（模式耦合）的條件是入射波的頻率ω處于兩個簡正模頻率ω?和ω?之間，即ω?<ω<ω?。當滿足此條件時，根據耦合模式理論，入射波會分解為沿兩個簡正模方向傳播的波。物理過程是：在波導中傳播的混合模式波，其能量會根據耦合系數在不同模式之間振蕩和轉移。在模式轉換區(qū)域（頻率處于簡正模之間），能量傳遞現象顯著。發(fā)生完全反射或透射的情況比較特殊，通常發(fā)生在頻率ω等于某個簡正模頻率ω_n時（n≠1,2），此時系統可能發(fā)生共振，導致強烈的反射或透射，或者能量完全束縛在特定模式中。對于本題的兩個模式，完全反射/透射可能發(fā)生在ω=ω?或ω=ω?時，或者當波從x→∞的自由區(qū)域入射到x=0的剛性壁時，會發(fā)生全反射，反射波會與可能的模式耦合現象疊加。五、相速度v_p是波相位傳播的速度，即ω/k，其中ω是角頻率，k是波數。群速度v_g是波包（或能量）傳播的速度，其表達式為v_g=dω/dk。對于色散介質，由于ω是k的函數（ω=f(k)），相速度隨頻率變化。根據能量守恒，群速度是能量密度最大處（波包）的傳播速度。由于色散，不同頻率成分的相速度不同，它們疊加形成的波包會發(fā)生畸變，能量會沿著波包的傳播方向（群速度方向）傳輸。因此，群速度和相速度的關系反映了介質色散的特性。群速度的物理意義是能量或信息的傳播速度。在水波波導中，由于邊界條件的約束，波數k不僅與頻率ω有關，還與波導的幾何形狀和尺寸有關。即使相速度v_p=ω/k的方向是確定的，但由于k本身可能具有特定的空間分布（例如，在特定區(qū)域k隨位置變化），導致dω/dk（即群速度v_g）的方向可能與相速度方向不同。例如，在矩形水槽中，不同模式的群速度方向可能不同，并且即使在同一模式內，沿波導不同位置的群速度方向也可能變化。六、對于深度不變的平底無限長水槽，水面為自由表面（y=0,?η/?y|_(y=0)=0），底部為自由面（y=-H,?η/?y|_(y=-H)=0）。假設小振幅表面波沿x方向傳播，波動方程為?2η/?t2=g??y(?η/?y)。采用復數表示法，設解為η(x,t)=Re[Ae^(i(kx-ωt))]。代入波動方程，得到-ω2Ae^(i(kx-ωt))=gkAe^(i(kx-ωt))。對于非零解，要求-ω2=gk，即ω2=gk。由于底部為平底（y=-H），η(y=-H)=0恒成立，波動方程簡化為?2η/?t2=g?η/?y。采用分離變量法，解得η(x,t)=Σ[B_mcos(k_mx)cos(ω_mt)]。將y=0邊界條件代入，得到B_mcos(ω_mt)=Σ[A_mcos(k_mx)cos(ω_mt)]。由于x是獨立變量，要求對于所有x，上式成立，必須有A_m=B_m*δ_(m,0)，即只有m=0的項非零。因此，解為η(x,t)=A_0cos(ω_0t)。由于ω_02=gk_0，且k_0是滿足y=0處?η/?y=0的本征值，對于無限長水槽，k_0=0。因此ω_0=0，表明無波傳播。這顯然與物理不符，說明假設“沿x方向傳播”與“自由表面”和“平底”條件矛盾。更準確的描述是：在平底無限長水槽中，滿足自由表面和底部條件的波動是二維的，波數k具有橫向分量k_x和垂向分量k_y，滿足色散關系ω2=gk_y。波沿x方向傳播意味著k_x≠0。由于底部為平底，k_y也必須滿足底部邊界條件。對于自由表面，有?η/?y|_(y=0)=0。綜合這些條件，解得色散關系為ω2=g(k_x2+k_y2)^(1/2)。其中k_x為任意實數（決定傳播方向和波長），k_y為滿足底部條件k_ysin(k_yH)=0的本征值。對于最低階解（k_y最小非零值），解為η(x,t)=Acos(k_xx)cos(ωt)，傳播方向由k_x決定，頻率ω由k_y最小值決定。此解可以視為二維表面波沿x方向傳播。七、矩形水槽中央水深略微隆起，使得該區(qū)域的波動方程中的重力加速度項g變化為g'(y)=g*[1-(δ/H)]，其中y從水槽底部（-H）到自由表面（0）變化。由于g變化，波速和色散關系將受到影響。定性分析如下：1.中央區(qū)域波速變化：在中央隆起區(qū)域，由于水深減?。℉-δ<H），理論上的淺水波速sqrt(g(H-δ))會小于兩側的波速sqrt(gH)。這可能導致中央區(qū)域的波傳播變慢。2.色散關系變化：色散關系ω=f(k)通常依賴于g和H（或h(y)）。當g在中央區(qū)域變化時，該區(qū)域的色散關系會相應改變，導致同一頻率ω的波在該區(qū)域的波數k變化。3.模式結構變化：波導中簡正模的頻率和場分布由色散關系和邊界條件共同決定。中央區(qū)域g的變化會改變色散關系，進而影響簡正模的頻率ω_m和場分布X_m(x)。低階模式的