《線性代數(shù)》2017年4月自考試卷及答案

姓名：__________考號：__________題號一二三四五總分評分一、單選題(共10題)1.設矩陣A是一個3x3的上三角矩陣，且|A|=5，那么矩陣A的行列式|A|等于多少？()A.5B.25C.1D.02.如果矩陣A是可逆的，那么以下哪個選項是正確的？()A.A的行列式為0B.A的逆矩陣存在C.A的轉置矩陣不可逆D.A的秩小于13.給定兩個矩陣A和B，如果A和B滿足AB=BA，則稱A和B為？()A.對角矩陣B.相似矩陣C.合同矩陣D.可交換矩陣4.線性方程組Ax=b有唯一解的充分必要條件是？()A.矩陣A的秩等于b的秩B.矩陣A的行列式不為0C.矩陣A的秩小于b的秩D.矩陣A的秩等于未知數(shù)的個數(shù)5.如果矩陣A是一個3x3的對稱矩陣，那么A的逆矩陣也是對稱的，這個說法正確嗎？()A.正確B.錯誤C.不確定D.無法判斷6.在實數(shù)域上，一個二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一個對稱矩陣，Q(x)是正定的，那么A的特征值一定是？()A.全部為正數(shù)B.全部為負數(shù)C.至少有一個為正數(shù)D.至少有一個為負數(shù)7.給定一個非零向量v和一個方陣A，如果v是A的特征向量，那么A的伴隨矩陣A*也是v的特征向量，這個說法正確嗎？()A.正確B.錯誤C.不確定D.無法判斷8.矩陣A的秩為1，那么A的行向量線性相關嗎？()A.是的B.不是C.不確定D.無法判斷9.給定一個3x3的矩陣A，如果A的行列式|A|=0，那么A一定是奇異的嗎？()A.是的B.不是C.不確定D.無法判斷10.矩陣A和B都是n階方陣，如果A和B都是可逆的，那么A+B也是可逆的嗎？()A.是的B.不是C.不確定D.無法判斷二、多選題(共5題)11.以下哪些是矩陣的秩的性質？()A.矩陣的秩是其行向量組的極大線性無關組中向量的個數(shù)B.矩陣的秩是其列向量組的極大線性無關組中向量的個數(shù)C.矩陣的秩等于其行數(shù)D.矩陣的秩等于其列數(shù)12.以下哪些是線性方程組有解的條件？()A.系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩B.系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)C.增廣矩陣的秩等于未知數(shù)的個數(shù)D.系數(shù)矩陣的秩等于方程的個數(shù)13.以下哪些是矩陣可逆的條件？()A.矩陣的行列式不為0B.矩陣的秩等于其階數(shù)C.矩陣的逆矩陣存在D.矩陣的行列式為014.以下哪些是二次型的性質？()A.二次型Q(x)=x^TAx是實對稱的B.二次型Q(x)=x^TAx可以分解為平方和的形式C.二次型Q(x)=x^TAx的值只與x的非零分量有關D.二次型Q(x)=x^TAx的值與x的順序無關15.以下哪些是特征值和特征向量的性質？()A.特征值是特征向量的倍數(shù)B.特征向量對應的特征值不為0C.特征向量對應的特征值可以為0D.特征向量不一定是單位向量三、填空題(共5題)16.設矩陣A是一個3x3的上三角矩陣，且|A|=5，那么矩陣A的行列式|A|等于____。17.如果矩陣A是可逆的，那么矩陣A的逆矩陣A^{-1}滿足____。18.線性方程組Ax=b有唯一解的充分必要條件是____。19.給定一個3x3的對稱矩陣A，如果A的特征值為λ1,λ2,λ3，那么A的行列式|A|等于____。20.如果向量v是矩陣A的特征向量，對應的特征值為λ，那么Av等于____。四、判斷題(共5題)21.兩個同階矩陣的行列式相等，則這兩個矩陣一定相似。()A.正確B.錯誤22.如果一個線性方程組有解，那么它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等。()A.正確B.錯誤23.一個非零向量是某個矩陣的特征向量，那么這個矩陣一定是可逆的。()A.正確B.錯誤24.線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩小于未知數(shù)的個數(shù)時，方程組必有解。()A.正確B.錯誤25.任意一個實對稱矩陣都可以對角化。()A.正確B.錯誤五、簡單題(共5題)26.解釋什么是矩陣的秩，并說明矩陣的秩與矩陣的行向量組和列向量組之間的關系。27.說明線性方程組Ax=b何時有唯一解，何時有無窮多解，何時無解。28.解釋矩陣的逆矩陣的概念，并給出一個矩陣可逆的充分必要條件。29.說明二次型Q(x)=x^TAx的性質，并舉例說明。30.解釋特征值和特征向量的概念，并說明如何求一個矩陣的特征值和特征向量。

《線性代數(shù)》2017年4月自考試卷及答案一、單選題(共10題)1.【答案】A【解析】上三角矩陣的行列式等于其對角線元素的乘積，因此|A|=5。2.【答案】B【解析】可逆矩陣的定義是其逆矩陣存在，因此選項B是正確的。3.【答案】D【解析】如果兩個矩陣滿足AB=BA，則稱這兩個矩陣是可交換的。4.【答案】B【解析】線性方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的行列式不為0。5.【答案】A【解析】對稱矩陣的逆矩陣也是對稱的，這是對稱矩陣的性質之一。6.【答案】A【解析】正定二次型的系數(shù)矩陣的特征值全部為正數(shù)。7.【答案】B【解析】伴隨矩陣A*的特征值與A的特征值不同，因此A的特征向量不一定是A*的特征向量。8.【答案】A【解析】如果一個矩陣的秩為1，那么它的行向量是線性相關的。9.【答案】A【解析】如果一個矩陣的行列式為0，那么這個矩陣一定是奇異的。10.【答案】B【解析】兩個可逆矩陣的和不一定可逆，例如A和B互為負矩陣時，它們的和是不可逆的。二、多選題(共5題)11.【答案】AB【解析】矩陣的秩是行向量組和列向量組的極大線性無關組中向量的個數(shù)，與行數(shù)或列數(shù)無關。12.【答案】AC【解析】線性方程組有解的條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，且增廣矩陣的秩等于未知數(shù)的個數(shù)。13.【答案】AC【解析】矩陣可逆的條件是矩陣的行列式不為0，且矩陣的逆矩陣存在。14.【答案】ABD【解析】二次型Q(x)=x^TAx是實對稱的，可以分解為平方和的形式，且其值只與x的非零分量有關，與x的順序無關。15.【答案】ABD【解析】特征值是特征向量的倍數(shù)，特征向量對應的特征值不為0，特征向量不一定是單位向量。三、填空題(共5題)16.【答案】5【解析】上三角矩陣的行列式等于其對角線元素的乘積，因此|A|=5。17.【答案】AA^{-1}=A^{-1}A=I【解析】可逆矩陣的定義是其逆矩陣存在，并且滿足AA^{-1}=A^{-1}A=I，其中I是單位矩陣。18.【答案】系數(shù)矩陣A的行列式不為0【解析】線性方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的行列式不為0。19.【答案】λ1λ2λ3【解析】對稱矩陣的行列式等于其特征值的乘積，因此|A|=λ1λ2λ3。20.【答案】λv【解析】根據(jù)特征值和特征向量的定義，如果v是A的特征向量，對應的特征值為λ，那么Av=λv。四、判斷題(共5題)21.【答案】錯誤【解析】行列式相等的兩個矩陣不一定相似，因為相似矩陣不僅要求行列式相等，還要求它們有相同的特征值。22.【答案】正確【解析】根據(jù)線性代數(shù)的理論，如果一個線性方程組有解，那么它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩必須相等。23.【答案】錯誤【解析】一個非零向量是某個矩陣的特征向量并不意味著這個矩陣是可逆的，因為可能存在特征值0的情況。24.【答案】錯誤【解析】當系數(shù)矩陣A的秩小于未知數(shù)的個數(shù)時，方程組可能是無解的，也可能是解有無窮多組。25.【答案】正確【解析】實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，并且存在正交矩陣使得矩陣對角化。五、簡答題(共5題)26.【答案】矩陣的秩是指矩陣中線性無關的行向量或列向量的最大數(shù)目。矩陣的秩與矩陣的行向量組和列向量組之間的關系是，矩陣的秩等于其行向量組的極大線性無關組中向量的個數(shù)，也等于其列向量組的極大線性無關組中向量的個數(shù)?！窘馕觥烤仃嚨闹仁蔷仃嚨囊粋€重要性質，它反映了矩陣的線性無關性。行向量組和列向量組的極大線性無關組是指在這些向量組中，任意添加或刪除向量都會使線性無關性被破壞的向量集合。27.【答案】線性方程組Ax=b有唯一解的條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣的秩，且等于未知數(shù)的個數(shù)。當系數(shù)矩陣A的秩小于增廣矩陣的秩時，方程組無解。當系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣的秩，但不等于未知數(shù)的個數(shù)時，方程組有無窮多解?！窘馕觥烤€性方程組的解的存在性和唯一性取決于系數(shù)矩陣A的秩與未知數(shù)的個數(shù)之間的關系。這是線性代數(shù)中一個基本且重要的理論。28.【答案】矩陣的逆矩陣是指存在一個矩陣B，使得AB=BA=I，其中I是單位矩陣。矩陣A可逆的充分必要條件是A是方陣且其行列式不為0?！窘馕觥磕婢仃囀蔷仃嚨囊粋€重要概念，它允許我們通過乘以逆矩陣來解線性方程組。一個矩陣可逆的條件是其行列式不為0，這是保證逆矩陣存在的前提。29.【答案】二次型Q(x)=x^TAx的性質包括：它是實對稱的；它可以分解為平方和的形式；它的值只與x的非零分量有關；它的值與x的順序無關。舉例：設Q(x)=x1^2+2x1x2+x2^2，則Q(x)可以分解為(Q(x)=(x1+x2)^2)?！窘馕觥慷涡褪蔷€性代數(shù)中的一個重要概念，它描述了變量的二次多項式形式。二次型的性質包括對稱性、可分解性等，這些性質使得二次型在物理學、工程學等領域有廣泛的應用。30.【答案