2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫——凝聚體格林函數(shù)與凝聚體準(zhǔn)粒子的區(qū)別考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述格林函數(shù)的基本物理意義。請從至少三個方面說明。二、準(zhǔn)粒子概念是如何提出的？它在描述凝聚態(tài)系統(tǒng)時具有哪些優(yōu)勢？請闡述其局限性。三、試解釋費米液體理論中，如何通過單粒子格林函數(shù)的復(fù)共軛G?1(ω)的poles來確定準(zhǔn)粒子的能譜E(ω)。說明E(ω)與G(ω)的poles之間可能存在的差異。四、在討論金屬中的電子激發(fā)時，我們通常用準(zhǔn)粒子模型。但當(dāng)溫度接近絕對零度或材料具有強關(guān)聯(lián)特性時，準(zhǔn)粒子模型會失效。請解釋準(zhǔn)粒子模型失效的原因，并說明此時格林函數(shù)方法為何仍然是研究這類系統(tǒng)的有力工具。五、考慮一個簡化的模型，其中單粒子格林函數(shù)G(ω)由下式給出：G(ω)=(ω-E?-iη)?1/(1+(ω-E?)2/ω?2)其中E?是某個參考能量，η>0是一個小量，ω?是一個能量標(biāo)度。1.求該格林函數(shù)的poles位置。2.說明這些poles是否代表準(zhǔn)粒子激發(fā)？請簡要說明理由。六、比較靜態(tài)格林函數(shù)G?(ω=0)（即體系的費米能處的格林函數(shù)）與動態(tài)格林函數(shù)G(ω)在描述凝聚態(tài)系統(tǒng)性質(zhì)方面的區(qū)別和聯(lián)系。七、討論在強關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中，格林函數(shù)方法（特別是自能修正）如何揭示體系中出現(xiàn)量子相變的現(xiàn)象。請結(jié)合具體的物理圖像進行說明。試卷答案一、格林函數(shù)的基本物理意義包括：1.描述系統(tǒng)對某種外部擾動（如微擾、溫度變化）的響應(yīng)特性，其逆矩陣與系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)（如能譜、躍遷速率）相關(guān)。2.作為求解多體問題的工具，通過將復(fù)雜的相互作用問題轉(zhuǎn)化為對格林函數(shù)方程（如Dyson方程）的求解，結(jié)合自由電子格林函數(shù)或有效哈密頓量來得到包含相互作用信息的修正格林函數(shù)。3.提供一種計算體系各種物理量（如密度矩陣元、漲落量、輸運系數(shù)）的普適方法，尤其是在量子場論語言描述凝聚態(tài)系統(tǒng)時，算符格林函數(shù)是核心對象。二、準(zhǔn)粒子概念是在強關(guān)聯(lián)電子體系中，為了簡化多體問題，將帶有強相互作用的電子近似看作是獨立運動的、具有確定動量、能量、自旋等自由度的“準(zhǔn)”粒子提出的。其優(yōu)勢在于：1.將復(fù)雜的多體問題簡化為對準(zhǔn)粒子的研究，可以借鑒單粒子物理學(xué)的概念和工具來理解體系的激發(fā)和性質(zhì)。2.成功解釋了某些金屬的比熱容（德拜模型）、電導(dǎo)率（Drude模型）等輸運性質(zhì)，以及順磁相到鐵磁相的相變（自旋波理論）。準(zhǔn)粒子的局限性在于：1.它是一個有效近似，只有在相互作用較弱或特定條件下（如費米液體）才成立。2.在強關(guān)聯(lián)區(qū)域（如Переходнаятемпература附近或磁性強材料中），相互作用會嚴(yán)重扭曲準(zhǔn)粒子的運動，導(dǎo)致準(zhǔn)粒子能譜離散化消失、有效質(zhì)量發(fā)散、聲子譜重構(gòu)等現(xiàn)象，此時準(zhǔn)粒子圖像失效。三、在費米液體理論中，通過單粒子格林函數(shù)的復(fù)共軛G?1(ω)的poles來確定準(zhǔn)粒子的能譜E(ω)的思路如下：1.G(ω)=G?(ω)-Σ_iΣ_kΣ_n(i/ω-i/ω'-i/G?(k')ω)?1V(n,k,k';ω,ω')，其中G?(ω)是自由電子格林函數(shù)，V是相互作用項，Σ代表求和。2.當(dāng)ω接近某個準(zhǔn)粒子能量E時，G?1(ω)在ω=E處有一個pole。3.G?1(ω)=[(ω-E)2+Σ_kΣ_nRe(Σ_iV(n,k,k';ω,ω'))]?1。4.準(zhǔn)粒子的能譜E(ω)可以通過求解G?1(ω)的pole位置得到，即令分母為零求解E。E(ω)與G(ω)的poles之間可能存在的差異在于：G(ω)的poles對應(yīng)的是體系的激發(fā)譜（包括準(zhǔn)粒子、聲子、磁振子等），而E(ω)特指由準(zhǔn)粒子運動主導(dǎo)的那部分激發(fā)譜。由于相互作用，準(zhǔn)粒子的能量E可能會偏離原始的單粒子能量E?，并且準(zhǔn)粒子的壽命（由pole的寬度表征）也反映了相互作用的影響。因此，E(ω)是G(ω)中與準(zhǔn)粒子相關(guān)的部分，但并非G(ω)poles的直接等同。四、準(zhǔn)粒子模型失效的原因在于其基本假設(shè)——弱相互作用和粒子可分辨性——在強關(guān)聯(lián)體系中不再成立。1.在強關(guān)聯(lián)體系中，電子間的相互作用非常強，足以改變電子的費米面結(jié)構(gòu)，甚至導(dǎo)致費米凝聚或磁性有序，此時電子的行為不再是簡單的獨立準(zhǔn)粒子運動。2.強關(guān)聯(lián)效應(yīng)導(dǎo)致準(zhǔn)粒子能譜變得模糊或離散化，準(zhǔn)粒子的概念（確定不變的能量和動量）不再適用。3.格林函數(shù)方法仍然是研究這類系統(tǒng)的有力工具，因為：*格林函數(shù)是描述體系動力學(xué)的普適數(shù)學(xué)框架，能夠包含任意強度的相互作用。*通過分析格林函數(shù)（特別是其poles和自能），可以揭示強關(guān)聯(lián)體系中的復(fù)雜現(xiàn)象，如多體分岔、激發(fā)的重構(gòu)、相變機制等。*格林函數(shù)方法可以用來計算強關(guān)聯(lián)體系的各種物理性質(zhì)，即使準(zhǔn)粒子模型失效，體系仍然有明確的動力學(xué)響應(yīng)，可以通過格林函數(shù)來描述。五、1.求格林函數(shù)G(ω)=(ω-E?-iη)?1/(1+(ω-E?)2/ω?2)的poles位置：*令分母為零：1+(ω-E?)2/ω?2=0。*解得：(ω-E?)2=-ω?2。*因此，ω-E?=±iω?。*得到poles位置為：ω?=E?+iω?，ω?=E?-iω?。2.這些poles是否代表準(zhǔn)粒子激發(fā)？理由如下：*poles的存在表明該格林函數(shù)在復(fù)頻率平面上有激發(fā)。*poles的實部為零(Re(ω)=E?)，這意味著它們位于實能軸的上方或下方。*根據(jù)Kubo公式，實頻部分的poles對應(yīng)于體系的耗散（如電導(dǎo)中的1/ω行為）或產(chǎn)生（如熱導(dǎo)中的2kBT/ω行為）。*由于poles位于實軸上（實部非零），并且格林函數(shù)本身形式簡單，這更像是某種耗散過程或與能量E?相關(guān)的邊界行為，而不是通常意義上的準(zhǔn)粒子激發(fā)（準(zhǔn)粒子激發(fā)的poles通常嚴(yán)格位于實軸上，且其物理意義需要結(jié)合具體的物理模型來解釋，如聲子或磁振子）。*因此，這些poles更可能代表某種與能量E?相關(guān)的耗散性貢獻，而不是準(zhǔn)粒子的激發(fā)。要判斷是否為準(zhǔn)粒子激發(fā)，需要更詳細地分析其物理來源和譜峰的強度、寬度等性質(zhì)。六、靜態(tài)格林函數(shù)G?(ω=0)與動態(tài)格林函數(shù)G(ω)的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：1.定義不同：靜態(tài)格林函數(shù)G?(ω=0)是體系在零頻率處的格林函數(shù)，G(ω)是體系在任意頻率ω處的格林函數(shù)。2.物理意義不同：G?(ω=0)主要與體系的基態(tài)性質(zhì)相關(guān)，例如，G?(ω=0)的倒數(shù)包含了費米子體系費米能附近的態(tài)密度信息。G(ω)則描述了體系在頻率ω處的響應(yīng)，其poles對應(yīng)體系的激發(fā)譜（能級、聲子、磁振子等）。3.包含信息不同：G(ω)包含了體系在所有頻率上的動力學(xué)信息，而G?(ω=0)只提供了零頻信息。聯(lián)系：1.G(ω)是G?(ω=0)的推廣：G(ω)可以看作是G?(ω=0)在頻率域中的函數(shù)形式。2.G(ω)可以通過G?(ω=0)來得到：在無相互作用或微擾理論中，G(ω)可以直接通過G?(ω=0)