2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在信息安全保護(hù)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.設(shè)p是質(zhì)數(shù)，a、b是整數(shù)，且p整除a*b，則下列結(jié)論一定正確的是（）。A.p整除a或p整除bB.p整除a^2或p整除b^2C.p整除a+b或p整除a-bD.p整除a*b^22.在RSA公鑰密碼體制中，若公鑰為(n,e)=(55,7)，其中n=5*11，則密鑰對(私鑰d,n)中的d的值是（）。A.3B.9C.17D.233.設(shè)信息X="HELLO"經(jīng)過加密變換f變?yōu)槊芪腨="RJNQY"，若該變換基于一個(gè)3x3的矩陣乘法（忽略大小寫和字母順序），且第一個(gè)字母'H'被映射為向量[816]（模26），則加密所用的矩陣可能是（）。A.[[631],[152],[214]]B.[[123],[456],[789]]C.[[521],[134],[415]]D.[[312],[524],[135]]4.對于任意事件A，下列關(guān)于信息熵H(X)的表述中，正確的是（）。A.H(X)的值總大于0B.H(X)的值總小于1C.若事件A是必然事件，則H(X)=0D.若事件A是隨機(jī)事件，則H(X)的值越大，事件A的不確定性越小5.哈希函數(shù)H在信息安全中通常要求滿足抗原像攻擊、第二原像攻擊和碰撞攻擊的難度，其中“碰撞攻擊”指的是（）。A.找到不同的輸入得到相同的輸出B.從密文恢復(fù)出明文C.找到某個(gè)輸入的密鑰D.計(jì)算消息的壓縮編碼二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）6.在Hill密碼中，若使用2x2矩陣K加密消息"THIS"，得到密文"VGWQ"，則矩陣K的逆矩陣（模26）的行列式（模26）必為1。7.根據(jù)香農(nóng)定理，有噪信道傳輸信息的極限速率R的最大值等于信道容量C=H(Y|X)，其中H(Y|X)表示在發(fā)送符號X已知的情況下接收符號Y的條件熵。8.設(shè)p=37是質(zhì)數(shù)，a=14是模p下的一個(gè)原根，則a^15mod37=。9.在RSA加密中，若密鑰對為(n,e)=(143,11)，其中n=11*13，則密文C=88經(jīng)過解密得到的明文M=。10.對于一個(gè)包含m個(gè)消息符號、n個(gè)信道符號的信道，其信道容量C可以用C=∑P(x,y)log(P(y|x)/P(y))計(jì)算，其中求和遍歷所有可能的輸入輸出對(x,y)，P(x)和P(y)分別是輸入和輸出符號的先驗(yàn)概率。三、計(jì)算題（本大題共3小題，共35分。）11.（10分）設(shè)RSA公鑰為(n,e)=(3233,17)，其中n=59*53。給定明文M=1234（表示為十進(jìn)制數(shù)），請計(jì)算其密文C，并寫出計(jì)算過程。12.（15分）已知Hill密碼使用3x3矩陣K加密消息"MATHEMATICS"（忽略大小寫，分組為MAT,HE,MAT,IC,S），得到密文"RBDQ,IZ,RBD,QGN,YL"。請恢復(fù)出加密所用的矩陣K（模26），并寫出計(jì)算過程。13.（10分）有一個(gè)二元對稱信道，發(fā)送0的誤碼率為p=0.1，發(fā)送1的誤碼率也為p=0.1。求該信道的容量C（以比特/信道符號為單位）。四、簡答題（本大題共2小題，共25分。）14.（12分）簡述RSA密碼體制的安全性基于哪些數(shù)學(xué)難題的假設(shè)？請至少列舉兩個(gè)。15.（13分）什么是信息熵？它在信息安全中有何作用？請簡要說明。試卷答案一、選擇題1.A2.B3.C4.D5.A二、填空題6.17.08.109.4510.H(Y|X)三、計(jì)算題11.(1)計(jì)算n=59*53=3233。(2)計(jì)算φ(n)=(59-1)*(53-1)=3124。(3)找到e=17的模逆元d，使得ed≡1modφ(n)。計(jì)算得到d=2753。(4)計(jì)算密文C=M^emodn。C=1234^17mod3233。(5)使用快速冪算法計(jì)算：1234^17mod3233=2790。答案：密文C=2790。12.(1)將明文和密文字符按字母序?qū)?yīng)取十進(jìn)制值（A=0,B=1,...,Z=25），得到向量組：明文：[12019],[7419],[12019],[1682],[18193]。密文：[1734],[8253],[1734],[171419],[241116]。(2)設(shè)矩陣K為[abc;def;ghi]，則K*[12019;7419;12019]≡[1734;8253;171419]mod26。(3)取向量[12019]和[1734]構(gòu)成線性方程組：12a+7d+12g≡17mod264a+4d+0g≡3mod2619a+19d+19g≡4mod26解此方程組（例如使用高斯消元法模26），得到g≡1,d≡3,a≡5mod26。(4)取向量[12019]和[8253]構(gòu)成線性方程組：12a+7d+12g≡17mod264a+4d+0g≡25mod2619a+19d+19g≡3mod26解此方程組，結(jié)合g≡1,d≡3，得到e≡2,b≡7mod26。(5)取向量[12019]和[171419]構(gòu)成線性方程組：12a+7d+12g≡17mod264a+4d+0g≡14mod2619a+19d+19g≡19mod26解此方程組，結(jié)合g≡1,d≡3，得到i≡4,h≡14mod26。(6)恢復(fù)矩陣K：K≡[[571],[3214],[104]]mod26。答案：矩陣K≡[[571],[3214],[104]]mod26。13.(1)計(jì)算信道熵H(X)：H(X)=-p*log2(p)-(1-p)*log2(1-p)=-0.1*log2(0.1)-0.9*log2(0.9)≈0.469bits。(2)計(jì)算信道轉(zhuǎn)移概率矩陣P(Y|X)：P(Y=0|X=0)=0.9,P(Y=1|X=0)=0.1P(Y=0|X=1)=0.1,P(Y=1|X=1)=0.9(3)計(jì)算信道輸出熵H(Y)：H(Y)=-0.9*log2(0.9)-0.1*log2(0.1)≈0.469bits。(4)計(jì)算信道容量C：C=H(X)-H(Y|X)=0.469-0.469=0bits?；蛘撸?yàn)樾诺朗菍ΨQ的，X和Y有相同的分布，所以H(X)=H(Y)=0.469bits，H(Y|X)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)=H(X)+H(Y)-H(X)=0.469+0.469-0.469=0.469bits。C=H(X)-H(Y|X)=0.469-0.469=0bits。答案：信道容量C=0bits。四、簡答題14.(1)RSA的安全性基于大整數(shù)分解難題的假設(shè)，即給定一個(gè)足夠大的奇數(shù)n（它是兩個(gè)大質(zhì)數(shù)p和q的乘積），在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)無法有效地找到p和q。(2)RSA的安全性還基于離散對數(shù)難題的假設(shè)，即在有限循環(huán)群（例如模n的乘法群）中，給定一個(gè)生成元g和一個(gè)元素h，在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)無法有效地找到整數(shù)k，使得g^k≡hmodn。(3)（可選，如果需要更多）此外，RSA的安全性也依賴于密鑰大小足夠大，使得攻擊者無法在合理時(shí)間內(nèi)通過暴力破解或計(jì)算難度來破解。15.(1)信息熵H(X)是隨機(jī)變量X的不確定性的量度，定義為H(X)=-∑P(x)*log2(P(x))，其中求和遍歷X所有可能的取值x，P(x)是x出現(xiàn)的概率。熵的值越大，表示隨機(jī)變量的不確定性越大，信息量越??；熵的值越小（最小為0），表示隨機(jī)變量越確定，信息量越大。(2)在信息安全中，信息熵有重要作用：a.評估信息的價(jià)值：熵越高的信息，包含的不確定性越大，通常認(rèn)為其價(jià)值越高。b.衡量消息冗余度：熵是消息中平均包含的信息量