2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在多發(fā)性硬化病研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)μ和σ2分別是總體X的均值和方差。現(xiàn)從該總體中抽取容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X?,X?,...,Xn，樣本均值為x?，樣本方差為s2?？紤]如下統(tǒng)計(jì)量：(1)T=(x?-μ)/(s/√n)(2)Z=(x?-μ)/(σ/√n)請(qǐng)回答：a)分別說明統(tǒng)計(jì)量T和Z的分布名稱及自由度（若適用）。b)在什么條件下，統(tǒng)計(jì)量T和Z是等價(jià)的？c)如果樣本容量n=25，總體方差σ2未知，且樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布總體。當(dāng)顯著性水平α=0.05時(shí)，求拒絕域臨界值t?（假設(shè)檢驗(yàn)中，使用t分布）。二、某研究假設(shè)MS患者的腦部病灶體積（V）隨時(shí)間（t）呈指數(shù)衰減趨勢(shì)，但受到隨機(jī)干擾。假設(shè)在沒有治療干預(yù)的情況下，病灶體積變化的微分方程可以表示為：dV/dt=-λV+ε(t)其中λ>0是衰減率常數(shù)，ε(t)是均值為0的隨機(jī)噪聲項(xiàng)。a)解釋該微分方程中各項(xiàng)的生物學(xué)意義。b)假設(shè)初始時(shí)刻t=0，患者病灶體積為V?>0。求解該微分方程的通解（顯式或隱式均可），并解釋解中各部分的含義。c)如果通過長(zhǎng)期觀察得到一組（t?,V?）(i=1,2,...,n)數(shù)據(jù)對(duì)，其中t?>0，V?是時(shí)刻t?的觀測(cè)到的病灶體積。如何利用這些數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)λ？（簡(jiǎn)要說明方法，無需詳細(xì)推導(dǎo)）。三、一項(xiàng)研究旨在比較兩種不同的康復(fù)訓(xùn)練方法（A和B）對(duì)MS患者步行能力改善的效果。研究人員隨機(jī)選取了n=30名MS患者，將他們隨機(jī)均分為兩組，每組15人。在干預(yù)前和干預(yù)后4周，分別使用標(biāo)準(zhǔn)化的步行能力測(cè)試量表對(duì)兩組患者的步行速度進(jìn)行評(píng)估，得到如下數(shù)據(jù)摘要（假設(shè)數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布）：方法A：干預(yù)前均值=1.2米/秒，標(biāo)準(zhǔn)差=0.3米/秒；干預(yù)后均值=1.4米/秒，標(biāo)準(zhǔn)差=0.35米/秒。方法B：干預(yù)前均值=1.1米/秒，標(biāo)準(zhǔn)差=0.4米/秒；干預(yù)后均值=1.3米/秒，標(biāo)準(zhǔn)差=0.38米/秒。a)為了檢驗(yàn)兩種康復(fù)訓(xùn)練方法在干預(yù)后的效果是否存在顯著差異，請(qǐng)建立合適的零假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?（使用均值差表示）。b)選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式。c)假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平為α=0.05。請(qǐng)說明如何根據(jù)計(jì)算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，判斷是否拒絕H?。無需進(jìn)行具體計(jì)算，只需闡述判斷規(guī)則。四、研究人員收集了m名MS患者的年齡（X，單位：歲）和疾病持續(xù)時(shí)間（Y，單位：年）數(shù)據(jù)。利用這些數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程為：?=5-0.1Xa)解釋回歸系數(shù)-0.1的經(jīng)濟(jì)學(xué)或生物學(xué)意義（在此情境下）。b)假設(shè)某患者當(dāng)前年齡為40歲，根據(jù)該回歸方程預(yù)測(cè)其疾病持續(xù)時(shí)間。請(qǐng)給出預(yù)測(cè)值，并簡(jiǎn)述預(yù)測(cè)值的含義。c)如果實(shí)際觀測(cè)到的某患者年齡為40歲，疾病持續(xù)時(shí)間為3年。請(qǐng)計(jì)算該患者的殘差，并解釋殘差的意義。五、為了評(píng)估某項(xiàng)新的MS生物標(biāo)志物（Biomarker）在早期診斷中的價(jià)值，研究人員測(cè)量了n=100名MS疑似患者和m=100名健康對(duì)照者的該標(biāo)志物水平。假設(shè)兩組標(biāo)志物水平均服從正態(tài)分布，且已知兩組方差相等，但具體數(shù)值未知。檢驗(yàn)的零假設(shè)H?是兩組標(biāo)志物水平的均值相等，備擇假設(shè)H?是MS患者的標(biāo)志物水平顯著高于健康人。a)寫出該檢驗(yàn)所使用的統(tǒng)計(jì)量（t檢驗(yàn)）的表達(dá)式，包括樣本均值、樣本方差和樣本量。b)假設(shè)計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t?的絕對(duì)值很大。請(qǐng)解釋這通常意味著什么？c)在完成假設(shè)檢驗(yàn)后，研究還希望評(píng)估該標(biāo)志物區(qū)分MS患者和健康人的能力。請(qǐng)?zhí)岢鲋辽賰煞N不同的統(tǒng)計(jì)量或方法，可用于衡量這種區(qū)分能力。六、考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的MS疾病傳播風(fēng)險(xiǎn)模型。假設(shè)一個(gè)區(qū)域內(nèi)共有N個(gè)人，其中S(t)表示時(shí)刻t易感者人數(shù)，I(t)表示時(shí)刻t感染者人數(shù)，R(t)表示時(shí)刻t康復(fù)者（移出者）人數(shù)。模型假設(shè)：dS/dt=-βSI/NdI/dt=βSI/N-γI其中β是傳染率，γ是康復(fù)率。a)解釋模型中各參數(shù)（β,γ）和方程中各項(xiàng)的生物學(xué)意義。b)假設(shè)初始時(shí)刻S(0)=N-1,I(0)=1,R(0)=0（即N個(gè)人中只有一人感染）。請(qǐng)解釋為什么這個(gè)簡(jiǎn)單的模型可能無法準(zhǔn)確描述真實(shí)的MS傳播過程。c)如果引入潛伏期和更復(fù)雜的免疫狀態(tài)（如再次感染風(fēng)險(xiǎn)），這個(gè)基本模型需要如何修正才能更好地模擬MS的傳播特征？（請(qǐng)?zhí)岢鲂拚悸罚瑹o需詳細(xì)方程）。試卷答案一、a)(1)T~t(n-1)。自由度為n-1。(2)Z~N(0,1)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。b)當(dāng)總體方差σ2已知時(shí)，應(yīng)使用Z統(tǒng)計(jì)量；當(dāng)總體方差σ2未知但數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布時(shí)，應(yīng)使用T統(tǒng)計(jì)量。如果能夠從題設(shè)或背景中得知總體方差σ2，并且樣本量足夠大（通常n≥30），中心極限定理使得Z統(tǒng)計(jì)量近似適用。但在本題目給出的條件“總體方差σ2未知”和“樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布總體”下，最精確的統(tǒng)計(jì)量是T統(tǒng)計(jì)量。因此，T和Z等價(jià)的條件是在總體正態(tài)分布的前提下，使用T統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推斷，此時(shí)Z分布是T分布的極限（當(dāng)自由度趨于無窮大時(shí)）。c)查t分布表，自由度df=n-1=25-1=24，顯著性水平α=0.05（雙尾檢驗(yàn)），得到臨界值t?≈±2.064。二、a)dV/dt項(xiàng)表示病灶體積隨時(shí)間變化的速度。負(fù)號(hào)表示病灶體積傾向于隨時(shí)間衰減。λV項(xiàng)是衰減項(xiàng)，其大小與當(dāng)前病灶體積V成正比，比例常數(shù)為λ，代表基礎(chǔ)衰減速率。ε(t)項(xiàng)代表隨機(jī)因素對(duì)病灶體積變化的干擾，使得實(shí)際變化過程帶有隨機(jī)性。b)通解：V(t)=C*e^(-λt)其中C是積分常數(shù)。由初始條件V(0)=V?，可得C=V?。所以通解為：V(t)=V?*e^(-λt)解中V?*e^(-λt)表示在無干擾情況下，病灶體積隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的趨勢(shì)。λ越大，衰減越快。c)方法一：最小二乘法。對(duì)數(shù)變換，令z=ln(V)，則原方程近似為z=ln(V?)-λt+ε'(t)。利用觀測(cè)數(shù)據(jù)(t?,V?)，計(jì)算t和z的樣本均值，然后估計(jì)斜率b?=-λ，進(jìn)而λ?=-b?。需要檢驗(yàn)ln(V?)與t的線性關(guān)系是否顯著。方法二：線性回歸。將模型寫成線性形式：V=a*e^(-λt)+ε(t)。兩邊取自然對(duì)數(shù)得ln(V)=ln(a)-λt+ε(t)。令Y=ln(V),A=ln(a)，則Y=A-λt+ε(t)。對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)(t?,V?)進(jìn)行線性回歸，得到回歸系數(shù)λ?=-b?，截距A?=ln(a)。從而a?=e^A?，λ?=-b?。三、a)H?:μ_A-μ_B=0（兩種方法干預(yù)后效果無差異）H?:μ_A-μ_B≠0（兩種方法干預(yù)后效果有顯著差異，可以是A優(yōu)于B或B優(yōu)于A）b)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=[(x?_A-x?_B)-(μ_A-μ_B)]/sqrt[s2_p/(n/2)+s2_p/(n/2)]其中，s2_p是合并樣本方差，s2_p=[(n_A-1)s2_A+(n_B-1)s2_B]/(n_A+n_B-2)因?yàn)榧僭O(shè)兩組方差相等，所以合并方差的估計(jì)用于計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤?；蛘撸绻褂锚?dú)立樣本t檢驗(yàn)公式：t=(x?_A-x?_B)/sqrt[s2_A/n_A+s2_B/n_B]但需先檢驗(yàn)方差齊性，若不齊則需使用Satterthwaite修正公式計(jì)算自由度。c)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t?的值。確定自由度df（可以是n_A+n_B-2，或根據(jù)Satterthwaite公式計(jì)算）。查t分布表，得到顯著性水平α=0.05時(shí)的臨界值t_crit（雙尾檢驗(yàn)）。拒絕H?的條件是：|t?|>t_crit，或者t?落在拒絕域（-∞,-t_crit]∪[t_crit,∞)內(nèi)。也可以計(jì)算p值，如果p<α，則拒絕H?。四、a)系數(shù)-0.1表示在控制其他因素不變的情況下，患者年齡每增加一歲，預(yù)測(cè)的疾病持續(xù)時(shí)間會(huì)減少0.1年。在生物學(xué)上，這可以解釋為年齡較大的患者，其疾病持續(xù)時(shí)間可能相對(duì)較短（但這需要結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)和模型擬合優(yōu)度來解讀，可能存在非線性關(guān)系或反向關(guān)系）。b)預(yù)測(cè)值：?=5-0.1*40=5-4=1.0年。含義：根據(jù)該線性回歸模型，預(yù)測(cè)年齡為40歲的患者，其疾病持續(xù)時(shí)間大約為1年。c)殘差：e=Y-?=3-1.0=2.0年。含義：對(duì)于年齡為40歲、實(shí)際疾病持續(xù)時(shí)間為3年的患者，其實(shí)際持續(xù)時(shí)間比模型預(yù)測(cè)值（1.0年）高出了2.0年。這個(gè)殘差的大小反映了模型對(duì)該特定患者的預(yù)測(cè)誤差。五、a)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=(x?_MS-x?_Ctrl)/sqrt[(s2_MS/n_MS)+(s2_Ctrl/n_Ctrl)]其中，x?_MS和x?_Ctrl分別是MS患者組和對(duì)照組的樣本均值；s2_MS和s2_Ctrl是樣本方差；n_MS和n_Ctrl是樣本容量（題目中為100）。b)t?的絕對(duì)值很大，意味著計(jì)算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t?遠(yuǎn)離零。在零假設(shè)H?為真的情況下，觀察到如此極端的t?值的概率很?。╬值很?。?。這表明樣本數(shù)據(jù)與H?描述的情況差異很大，因此有理由懷疑H?不成立，傾向于拒絕H?，認(rèn)為兩組均值存在顯著差異。c)方法一：效應(yīng)量（EffectSize），如Cohen'sd。衡量均值差異相對(duì)于總體標(biāo)準(zhǔn)差的大小，提供差異實(shí)際顯著程度的信息。方法二：區(qū)分度（DiscriminationIndex），如ROC曲線下面積（AUC）。評(píng)估標(biāo)志物在不同組間分布的差異程度，以及在診斷中的準(zhǔn)確性。方法三：Fisher'sExactTest（如果數(shù)據(jù)是分類的）或置換檢驗(yàn)（PermutationTest）。不依賴正態(tài)性假設(shè)，評(píng)估組間差異的顯著性。方法四：診斷準(zhǔn)確性指標(biāo)，如受試者工作特征（ROC）曲線下的面積（AUC），敏感性（Sensitivity）和特異性（Specificity）。六、a)β是傳染率，表示一個(gè)感染者與一個(gè)易感者單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生有效接觸并導(dǎo)致易感者感染的平均次數(shù)。γ是康復(fù)率，表示一個(gè)感染者單位時(shí)間內(nèi)康復(fù)并移出感染隊(duì)列的平均概率。dS/dt項(xiàng)：表示單位時(shí)間內(nèi)因被感染者傳染而減少的易感者人數(shù)。βSI/N項(xiàng)：表示單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生傳染的易感者人數(shù)。βS是總的有效傳染接觸數(shù)率，SI是感染者與易感者的接觸數(shù)率，N是總?cè)丝跀?shù)，βSI/N是單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)個(gè)體被傳染的平均數(shù)率，乘以易感者總數(shù)S得到總新增感染者數(shù)（應(yīng)為dI/dt的一部分，這里模型可能簡(jiǎn)化了）。dI/dt項(xiàng)：表示單位時(shí)間內(nèi)感染者人數(shù)的變化量。正項(xiàng)βSI/N表示新增感染者數(shù)，負(fù)項(xiàng)γI表示因康復(fù)而減少的感染者數(shù)。b)該模型是SIR（易感-感染-移出）模型的簡(jiǎn)化形式，假設(shè)感染后直接康復(fù)并移出，沒有潛伏期、沒有重新感染、沒有恢復(fù)后再次感染。MS是一種慢性自身免疫性疾病，患者感染后不會(huì)“康復(fù)”并移出，而是可能進(jìn)入緩解期或永久殘疾，且存在復(fù)發(fā)（再次發(fā)作）的風(fēng)險(xiǎn)。因此，這個(gè)簡(jiǎn)單模型無法準(zhǔn)確描述MS的長(zhǎng)期病程和傳播特征。c)修正思路：1.引入潛伏期（Exposed,E）類，設(shè)λ為感染率（βS/N改為βSE/N），γ為移出率。方程組變?yōu)椋篸S/dt=-βSE/NdE/dt=βSE/N-αE（α為潛伏期結(jié)束率）dI/dt=αE-γIdR/dt=γI2.考慮再次感染風(fēng)險(xiǎn)：設(shè)γ'為康復(fù)后再次感染率（可能低于