2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學在氣象學中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.某地氣溫T(°C)隨高度z(km)變化的規(guī)律近似為T(z)=T0-αz，其中T0是地面氣溫，α是常數(shù)。則氣溫隨高度的變化率（即溫度梯度）等于（）。A.T0-αzB.αzC.-αD.α2.在二維氣象場(x,y)上，風向矢量V(x,y)=(u(x,y),v(x,y))，其中u、v分別是x方向和y方向的風速分量。則渦度ζ表示為（）。A.?u/?xB.?v/?yC.(?v/?x)-(?u/?y)D.(?u/?y)+(?v/?x)3.若大氣中某氣團經(jīng)歷了一個絕熱過程，根據(jù)熱力學第一定律（不考慮宏觀運動動能和位能變化），其內(nèi)能的變化量△U與氣團外界對其做的功W的關(guān)系為（）。A.△U=Q-W（Q為吸收的熱量）B.△U=W（絕熱過程無熱量交換，Q=0）C.△U=-WD.△U=Q+W4.在進行數(shù)值天氣預報時，如果使用的時間步長Δt過大，可能導致數(shù)值解不收斂或出現(xiàn)虛假振蕩，這主要反映了（）。A.模式物理過程的錯誤B.模式頂或地面的邊界條件設置不當C.數(shù)值格式（如有限差分）引入的數(shù)值耗散或散度誤差不足以抵消物理擴散D.計算機內(nèi)存容量不足5.若某氣象要素X的時間序列呈現(xiàn)自相關(guān)性，即當前時刻的值X(t)與前一個或幾個時刻的值X(t-1),X(t-2),...相關(guān)，則下列哪種統(tǒng)計方法通常不適用于直接描述其長期變化趨勢？（）A.自回歸模型（AR）B.滑動平均模型（MA）C.確定性的線性趨勢外推D.主成分分析（PCA）二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。）6.對于一維流動，連續(xù)性方程?ρ/?t+??(ρV)=0，在ρ（密度）不隨時間變化(?ρ/?t=0)且均勻(?ρ/?x=0)的前提下，簡化為一維平流方程：?u/?t+u?u/?x=-(1/ρ)?p/?x，其中u是速度，p是壓強。該方程的物理意義是__________。7.在二維流場中，若某點的渦度ζ=0，則稱該點為__________。8.大氣靜力穩(wěn)定度通常通過干絕熱遞減率(γd)和濕絕熱遞減率(γw)與環(huán)境溫度垂直遞減率(dT/dz)的比較來判斷。若dT/dz>γd，則大氣傾向于__________（穩(wěn)定/不穩(wěn)定）。9.數(shù)值天氣預報模式通過離散化將連續(xù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為離散格點上的代數(shù)方程組。常用的離散化方法包括__________和__________。10.假設某地每日最高氣溫和最低氣溫的差值（日較差）記為ΔT，若ΔT的多年平均值為ΔT_mean，某日觀測到的ΔT=12°C，則該日的標準化日較差為(ΔT-ΔT_mean)/σ_T，其中σ_T是ΔT的標準差。如果σ_T=4°C，且要評估該日的日較差是否顯著偏高，通常會與__________（零/ΔT_mean）進行比較。三、計算題（本大題共4小題，共60分。）11.（10分）已知某地氣壓P(hPa)隨高度z(km)的變化滿足準靜力平衡關(guān)系，即?P/?z=-ρg，其中ρ是空氣密度(kg/m3)，g是重力加速度(約9.8m/s2)。假設空氣密度隨高度的變化遵循干空氣的絕熱遞減率公式，即ρ(z)=ρ0*[1-Lαz]，其中ρ0是地面密度(kg/m3)，L是大氣的對流高度（常數(shù)），α是干絕熱遞減率(約0.0098K/m)。若地面氣壓P0=1013hPa，地面溫度T0=20°C，求高度z=5km處的氣壓P(z)和溫度T(z)。（提示：可利用準靜力關(guān)系和干絕熱過程公式T(z)=T0-αz）12.（15分）考慮在xy平面上，風速矢量V(x,y)=(u(x,y),v(x,y))=(x,-y)，其中x,y是坐標。計算該平面上的渦度ζ。請分別用極限定義（?×V=lim(Δ→0)[(?v/?x-?u/?y)/Δ]，在點(x,y)處取Δx和Δy方向的小環(huán)）和直接計算偏導數(shù)的方法求解。13.（15分）假設某氣象要素X的觀測值構(gòu)成時間序列{X(t)}，t=1,2,...,N。其均值μ=(1/N)Σ(t=1toN)X(t)。計算該時間序列的自相關(guān)函數(shù)ρ(k)，其中k是滯后時間步數(shù)。請給出ρ(k)的定義公式，并說明其物理意義（例如，k=0,k=1,k>1時的值及含義）。14.（20分）簡述數(shù)值天氣預報（NWP）模式中，使用有限差分法對一維熱傳導方程?T/?t=α?2T/?x2的離散化過程。假設采用時間步長Δt，空間步長Δx，網(wǎng)格點從i=0到N。請寫出離散化的差分格式，并簡要分析該格式的穩(wěn)定性條件（例如，與Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)條件類似的概念）。說明在推導過程中如何體現(xiàn)對時間導數(shù)和空間二階導數(shù)的離散化。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）15.證明：對于任意常數(shù)a和b，以及連續(xù)可微函數(shù)f(x)，有?/?x[a*?f/?x+b*?f/?y]=a*?2f/?x2+b*?2f/?x?y。該公式在處理某些氣象學方程（如某些形式的波動方程或輸運方程）時很有用。試卷答案一、選擇題1.C2.C3.B4.C5.C二、填空題6.質(zhì)量守恒（或流體連續(xù)性）7.鞍點（或風心）8.不穩(wěn)定9.有限差分法；有限元法（或其他常用方法如譜方法，有限體積法）10.零三、計算題11.解：準靜力關(guān)系：?P/?z=-ρg密度公式：ρ(z)=ρ0*[1-Lαz]將密度公式代入準靜力關(guān)系：?P/?z=-ρ0g*[1-Lαz]積分求解氣壓P(z)：∫dP=-∫ρ0g*[1-Lαz]dzP(z)=-ρ0g*[z-(Lα/2)z2]+C利用邊界條件z=0,P=P0求常數(shù)C：P0=-ρ0g*[0-(Lα/2)*02]+C=>C=P0所以P(z)=P0-ρ0g*z+(ρ0gLα/2)z2干絕熱過程：T(z)=T0-αz將T(z)代入密度公式（假設ρ0對應T0，α相同）：ρ(z)=ρ0*[1-L(T0-αz)/T0]=ρ0*[1-L/T0*(T0-αz)]=ρ0*[1-L+Lαz/T0]將ρ(z)代回P(z)表達式：P(z)=P0-ρ0g*z+(ρ0gLα/2)*[1-L+Lαz/T0]*z2P(z)=P0-ρ0g*z+(ρ0gLα/2)*[z2-Lz2+(L2α/2)z3/T0]P(z)=P0-ρ0g*z+(ρ0gLα/2)z2-(ρ0gL2α/2)z3/T0（注：題目給定的Lα與干絕熱遞減率α有可能存在混淆，通常Lα≈6.5K/km，而干絕熱遞減率α≈9.8K/km。此處按題目給定形式計算。）簡化表達：P(z)=P0-ρ0g*z+(ρ0gLα/2)z2-(ρ0gL2α/2T0)z312.解：渦度定義（旋度）：?×V=lim(Δ→0)[(?v/?x-?u/?y)/Δ]在點(x,y)處取Δx和Δy方向的小環(huán)V(x,y)=(x,-y)?u/?x=?x/?x=1?v/?y=?(-y)/?y=-1?v/?x=?(-y)/?x=0?u/?y=?x/?y=0?v/?x-?u/?y=0-1=-1?u/?y-?v/?x=0-0=0?×V=(0,-1,0)（在二維平面上，通常用z方向的分量表示渦度，結(jié)果為-1）直接計算偏導數(shù)方法：?×V=(?w/?x-?v/?y,?u/?z-?w/?y,?v/?x-?u/?y)對于二維流場(u,v)，通常只關(guān)心垂直于平面的渦度，即z分量：ζ=?v/?x-?u/?y=0-1=-1（注：題目V=(x,-y)實際上描述的是一個順時針旋轉(zhuǎn)的矢量場，其渦度為負值，表示反氣旋性。）13.解：自相關(guān)函數(shù)定義：ρ(k)=Cov(X(t),X(t+k))/(Var(X(t))*Var(X(t)))設時間序列長度為N，均值為μ。Cov(X(t),X(t+k))=E[(X(t)-μ)(X(t+k)-μ)]Var(X(t))=E[(X(t)-μ)2]由于Cov(X(t),X(t+k))=E[XX(t+k)]-μ2，Var(X(t))=E[X2]-μ2ρ(k)=[E[XX(t+k)]-μ2]/[(E[X2]-μ2)2]對于k=0：ρ(0)=E[X2]-μ2/[(E[X2]-μ2)2]=1（因為Var(X(t))=E[X2]-μ2）對于k>0：ρ(k)=E[XX(t+k)]-μ2/[(E[X2]-μ2)2]ρ(k)的物理意義：*ρ(0)=1：表示序列與其自身完全相關(guān)。*ρ(k>0)：表示序列在時刻t與滯后k個時間步的序列X(t+k)的線性相關(guān)程度。|ρ(k)|越接近1，相關(guān)性越強；越接近0，相關(guān)性越弱。ρ(k)的符號取決于滯后k步的相關(guān)方向。通常隨著k的增大，|ρ(k)|會逐漸衰減至0，反映序列的自相關(guān)性隨時間間隔增大而減弱。14.解：一維熱傳導方程：?T/?t=α?2T/?x2采用時間步長Δt，空間步長Δx，離散點i=0,1,...,N。設T??表示在時間nΔt，空間點iΔx處的T值。時間離散化：使用向前差分表示時間導數(shù)?T/?t≈(T???1-T??)/Δt空間離散化：使用中心差分表示二階導數(shù)?2T/?x2≈(T????-2T??+T????)/(Δx)2將離散化代入原方程：(T???1-T??)/Δt=α*[(T????-2T??+T????)/(Δx)2]整理得到隱式差分格式（Crank-Nicolson格式的一部分思想）：T???1=T??+(αΔt/(Δx)2)*[T????-2T??+T????]（注：這是一個隱式格式，需要求解關(guān)于T???1的線性方程組。如果使用顯式格式，時間導數(shù)用向后差分，空間二階導數(shù)用中心差分，則得到：T???1=T??+(αΔt/(Δx)2)*[T????-2T??+T????]這實際上與隱式格式相同。）穩(wěn)定性分析（類似Courant-Friedrichs-LewyCFL條件）：考慮一個簡單的波動方程離散格式穩(wěn)定性，對于熱傳導方程，穩(wěn)定性通常要求：αΔt/(Δx)2≤1/2（或其他條件，取決于具體格式推導）這意味著時間步長Δt和空間步長Δx之間存在一個約束關(guān)系，以保證數(shù)值解不發(fā)散。過大的Δt或Δx會導致數(shù)值不穩(wěn)定。四、證明題15.