2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——群論在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空3分，共15分）1.設(shè)G是一個群，a∈G，則a的階是指滿足a^n=e的最小正整數(shù)n，其中e是G的單位元。2.設(shè)G是一個p階群（p為素數(shù)），則G中除了單位元e之外的所有元素的階都等于p。3.設(shè)G是一個群，H是G的一個子群，N是G的一個正規(guī)子群，則G/N的商群可以看作是G在N下的左（或右）陪集的集合。4.置換群S_n的任意一個子群都是可換群。5.設(shè)φ:G→G'是一個群同態(tài)，ker(φ)={g∈G|φ(g)=e'}是φ的核，則G/ker(φ)與G'同構(gòu)。二、計算題（每題10分，共30分）1.設(shè)G=<x>是一個階為6的循環(huán)群，其中x是生成元。求G的所有子群，并給出每個子群的階。2.考慮整數(shù)加法群Z，及其子群2Z={2k|k∈Z}。求Z/2Z的結(jié)構(gòu)，并描述其運算。3.設(shè)G=S_3，即3次對稱群。寫出G關(guān)于運算*的運算表。指出G中的所有子群和正規(guī)子群，并說明G是否可換。三、證明題（每題12分，共36分）1.設(shè)G是一個群，a∈G。證明：a的階等于a的階的最小正整數(shù)k，使得a^k∈Z(G)，其中Z(G)是G的中心。2.設(shè)G是一個有限群，p是G的階的一個素數(shù)因子。證明：G中存在元素的階為p。3.設(shè)G是一個群，H是G的一個子群。證明：如果H是G的正規(guī)子群，則對于任意g∈G，gHg^(-1)=H。試卷答案一、填空題1.a的階2.p3.G/N4.是5.G/ker(φ)二、計算題1.G的子群為<e>,<x^2>,<x^3>,<x>,<x^5>。它們的階分別為1,3,2,6,2。解析思路：循環(huán)群的子群唯一地對應(yīng)于生成元的冪。階為6的循環(huán)群有6個元素{e,x,x^2,x^3,x^4,x^5}。子群<x^k>的階是6/gcd(6,k)。計算得到上述子群及其階。2.Z/2Z={[0],[1]}，運算為模2加法，即[a]+[b]=[a+b]mod2。解析思路：Z/2Z是Z關(guān)于2Z的商群。每個陪集為[0]=2Z={...,-4,-2,0,2,4,...}和[1]=1+2Z={...,-3,-1,1,3,5,...}。運算定義為陪集加法的自然結(jié)果，模2。3.S_3={e,(12),(13),(23),(123),(132)}。運算表略。子群：{e},{e,(12)},{e,(13)},{e,(23)},{(12)(13)},{e,(123),(132)},S_3。正規(guī)子群：{e},{e,(12)},{e,(13)},{e,(23)},{e,(123),(132)}。G不可換，例如(12)(13)=(123)≠(132)=(13)(12)。解析思路：列出S_3所有元素及運算規(guī)則。子群是S_3的非空子集，對運算封閉。檢查所有非空子集，驗證封閉性。正規(guī)子群H滿足gHg^(-1)?H對所有g(shù)∈G。檢查S_3的子群，發(fā)現(xiàn)只有單位元子群和3階子群滿足此條件。判斷G是否可換，檢查是否存在a,b∈G使得ab≠ba。三、證明題1.證明：設(shè)a的階為m，即m是最小的正整數(shù)使得a^m=e。假設(shè)存在最小的正整數(shù)k使得a^k∈Z(G)。若k<m，則a^k=e，矛盾。若k>m，則存在整數(shù)t使得km-m=t，故a^(km-m)=a^t=e，這與m的最小性矛盾。故k=m。解析思路：利用階的定義和反證法。首先假設(shè)存在一個比m小或大的k滿足條件，然后推導(dǎo)出矛盾。2.證明：由Sylow定理，對于G的階p^k項（這里p^k整除|G|且p^(k+1)不整除|G|），存在一個Sylowp-子群P，其階為p^k。Sylowp-子群是p階元素的集合（因為p^k/p=p^(k-1)不一定為素數(shù)，但Sylowp-子群包含p階元）。設(shè)P=<a>，則a是P的生成元，且a的階為p。解析思路：應(yīng)用Sylow定理。首先肯定存在Sylowp-子群，然后指出Sylowp-子群包含p階元，從而得出結(jié)論。3.證明：任取g∈G，h∈H。要證ghg^(-1)∈H。由于H是正規(guī)子群，gHg^(-1)?H。特別地，ghg^(-1)∈gHg^(-1)。因此，存在h'∈H使得ghg^(-1)=gh'。兩邊同時右乘g，得ghg^(-1)g=hh'，即e=hh'，所以h'=e。因此ghg^(-1)=ge=h∈H。這表明gHg^(-1)?H對所有g(shù)∈G成立。由于H?gHg^(-1)對所有g(shù)∈G成立，且gHg^(-1)?H，故