2025年大學(xué)《量子信息科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——量子信息處理模型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.描述一個(gè)處于一般狀態(tài)α|0?+β|1?的量子比特，其中α和β是復(fù)數(shù)。請(qǐng)寫出歸一化條件，并解釋?duì)梁挺碌奈锢硪饬x（幅值和相位）。2.列出Hadamard門(H)和受控非門(CNOT)的矩陣表示（在適當(dāng)?shù)幕?，如|0?,|1?基）。簡(jiǎn)要說(shuō)明H門的作用效果。3.解釋什么是量子疊加態(tài)。與經(jīng)典比特的兩種狀態(tài)相比，量子疊加態(tài)有何根本不同？4.當(dāng)對(duì)處于狀態(tài)|+?=(1/√2)(|0?+|1?)的量子比特進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)量得到|0?和測(cè)量得到|1?的概率分別是多少？測(cè)量后量子比特將處于什么狀態(tài)？二、5.一個(gè)量子比特先經(jīng)過(guò)Hadamard門H，然后經(jīng)過(guò)一個(gè)作用為U=|0??0|+|1??1|（即恒等門I）的量子門。請(qǐng)計(jì)算該量子比特最終的狀態(tài)向量。6.考慮一個(gè)兩量子比特系統(tǒng)，初始狀態(tài)為|00?。該系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一個(gè)CNOT門，其中控制比特是第一個(gè)量子比特，目標(biāo)比特是第二個(gè)量子比特。請(qǐng)寫出該系統(tǒng)經(jīng)過(guò)CNOT門后的狀態(tài)向量。7.寫出旋轉(zhuǎn)門Rz(θ)=exp(-iθ/2*σz)的矩陣表示，其中σz是PauliZ矩陣。簡(jiǎn)要說(shuō)明該門的作用（與σz的關(guān)系）。8.描述量子測(cè)量的基本規(guī)則。為什么測(cè)量一個(gè)處于疊加態(tài)的量子比特會(huì)引入隨機(jī)性？三、9.畫出實(shí)現(xiàn)下列量子電路功能的電路圖：*輸入量子比特先經(jīng)過(guò)H門，然后輸出。*輸入量子比特q1和q2，先讓q1控制作用于q2的非門（CNOT），然后輸出。10.分析如下量子電路的功能：一個(gè)量子比特輸入，先經(jīng)過(guò)X門，再經(jīng)過(guò)一個(gè)控制比特為輸入比特、目標(biāo)比特為該比特的CNOT門，最后輸出。請(qǐng)說(shuō)明該電路實(shí)現(xiàn)了什么邏輯功能（如果可以的話）。11.簡(jiǎn)要解釋量子算法Grover算法的基本思想。它相比經(jīng)典算法在搜索問(wèn)題上有什么優(yōu)勢(shì)？12.什么是量子糾纏？為什么說(shuō)貝爾態(tài)是典型的糾纏態(tài)？四、13.設(shè)量子態(tài)ρ1=|ψ???ψ?|和ρ2=|ψ???ψ?|，其中|ψ??=(1/√3)(|0?+|1?+|2?)，|ψ??=(1/√2)(|0?-|1?)。請(qǐng)計(jì)算量子態(tài)ρ1和ρ2之間的最大保真度F(ρ1,ρ2)。14.一個(gè)單量子比特量子電路由以下量子門組成：Hadamard門H，然后是旋轉(zhuǎn)門Rz(π/4)，最后是測(cè)量。請(qǐng)計(jì)算測(cè)量后得到|0?和測(cè)量后得到|1?的概率。（假設(shè)初始狀態(tài)為|0?）15.解釋量子通道的概念。為什么說(shuō)CNOT通道是一個(gè)線性量子通道？16.簡(jiǎn)述量子糾錯(cuò)中需要面對(duì)的典型錯(cuò)誤類型（比特翻轉(zhuǎn)和相位翻轉(zhuǎn)），并說(shuō)明Stabilizer碼的基本思想是如何幫助糾正這些錯(cuò)誤的。試卷答案一、1.歸一化條件：|α|2+|β|2=1。α的幅值決定了測(cè)量得到|0?的概率|α|2，β的幅值決定了測(cè)量得到|1?的概率|β|2，α和β的相位在測(cè)量結(jié)果確定后通常無(wú)實(shí)際物理意義，但在干涉效應(yīng)中可能起作用。2.H門在|0?,|1?基下的矩陣表示為(1/√2)*[11;1-1]。CNOT門在|00?,|01?,|10?,|11?基下的矩陣表示為[1000;0100;0001;0010]。H門的作用是將|0?變?yōu)?1/√2)(|0?+|1?)，將|1?變?yōu)?1/√2)(|0?-|1?)，即在基矢上產(chǎn)生均勻疊加態(tài)。3.量子疊加態(tài)是指一個(gè)量子比特同時(shí)處于|0?和|1?狀態(tài)的線性組合α|0?+β|1?。經(jīng)典比特在任何時(shí)刻只能處于|0?或|1?其中一個(gè)確定的狀態(tài)，而量子疊加態(tài)則表示一種概率性的存在，測(cè)量前無(wú)法確定其具體是|0?還是|1?，每種狀態(tài)的出現(xiàn)有對(duì)應(yīng)的概率。4.測(cè)量得到|0?的概率P(0)=|α|2=1/2。測(cè)量得到|1?的概率P(1)=|β|2=1/2。測(cè)量后量子比特將隨機(jī)坍縮到狀態(tài)|0?或|1?，概率分別為1/2。二、5.初始狀態(tài)|ψ?=H|0?=(1/√2)(|0?+|1?)。經(jīng)過(guò)U門后，狀態(tài)為U|ψ?=U(1/√2)(|0?+|1?)=(1/√2)(U|0?+U|1?)=(1/√2)((|0??0|+|1??1|)|0?+(|0??0|+|1??1|)|1?)=(1/√2)(|0?+|1?)=(1/√2)(|0?+|1?)。即最終狀態(tài)仍為(1/√2)(|0?+|1?)。6.初始狀態(tài)|00?。經(jīng)過(guò)CNOT門，控制比特為0，不改變狀態(tài)，目標(biāo)比特保持與控制比特相同。所以狀態(tài)為|00?。7.σz=[10;0-1]。Rz(θ)=exp(-iθ/2*σz)=cos(θ/2)*I-isin(θ/2)*σz=cos(θ/2)*[10;01]-isin(θ/2)*[10;0-1]=[cos(θ/2)-isin(θ/2)0;0cos(θ/2)+isin(θ/2)]=[e^{-iθ/2}0;0e^{iθ/2}]。該門繞Z軸旋轉(zhuǎn)量子比特狀態(tài)，改變其相位。8.量子測(cè)量的基本規(guī)則是：對(duì)一個(gè)量子態(tài)α|0?+β|1?進(jìn)行測(cè)量，得到|0?的概率為P(0)=|α|2，得到|1?的概率為P(1)=|β|2，且P(0)+P(1)=1。測(cè)量后會(huì)得到一個(gè)確定的結(jié)果（|0?或|1?），此時(shí)原疊加態(tài)α|0?+β|1?會(huì)坍縮成測(cè)得的那個(gè)狀態(tài)。由于α和β是復(fù)數(shù)，測(cè)量結(jié)果在測(cè)量前是不確定的，因此引入了隨機(jī)性。三、9.電路圖如下（文字描述）：*輸入q->H->輸出q*```q--[H]--\>--q```10.輸入q1->X->CNOT(q1,q2)->輸出。X門將q1從|0?變?yōu)閨1?，CNOT的控制比特為q1，目標(biāo)比特為q2。當(dāng)q1=0時(shí)，CNOT不作用，輸出為X|0?=|1?。當(dāng)q1=1時(shí)，CNOT將q2翻轉(zhuǎn)，輸出為X|1?=|0?。所以，如果輸入為(q1,q2)，輸出為(q1XORq1,q2)=(0,q2)。該電路實(shí)現(xiàn)了將q2的狀態(tài)傳遞到輸出，同時(shí)輸出端q1總是0。11.Grover算法的基本思想是：通過(guò)兩次操作（一個(gè)查詢oracleU_Ω和一個(gè)擴(kuò)散操作D）來(lái)迭代逼近目標(biāo)狀態(tài)。OracleU_Ω用于標(biāo)記目標(biāo)狀態(tài)，擴(kuò)散操作D則能將所有離目標(biāo)狀態(tài)較遠(yuǎn)的態(tài)的概率幅向目標(biāo)狀態(tài)方向增強(qiáng)。經(jīng)過(guò)O(√N(yùn))次查詢后，能以高概率找到目標(biāo)狀態(tài)，其中N是搜索空間大小。相比經(jīng)典算法需要線性搜索O(N)，Grover算法提供了平方根加速。12.量子糾纏是指兩個(gè)或多個(gè)量子比特之間存在一種特殊的關(guān)聯(lián)，使得它們作為一個(gè)整體的狀態(tài)不能簡(jiǎn)單地看作是各自獨(dú)立狀態(tài)的組合。即使它們相隔遙遠(yuǎn)，測(cè)量其中一個(gè)量子比特的狀態(tài)會(huì)瞬間影響到另一個(gè)（或另一些）量子比特的狀態(tài)。貝爾態(tài)是最大化糾纏的特定態(tài)，例如Bell狀態(tài)φ^+?=(1/√2)(|00?+|11?)，其最大保真度為1，體現(xiàn)了理想的糾纏程度。四、13.最大保真度F(ρ1,ρ2)=Tr(√ρ1√ρ2)。ρ1=(1/3)(|0??0|+|1??1|+|2??2|)，√ρ1=(1/√3)(|0??0|+|1??1|+|2??2|)。ρ2=(1/2)(|0??0|-|1??1|)?！苔?=(1/√2)(|0??0|-|1??1|)。F(ρ1,ρ2)=Tr[(1/√3)(|0??0|+|1??1|+|2??2|)(1/√2)(|0??0|-|1??1|)]=(1/(√6))*[Tr(|0??0|2)-Tr(|0??0||1??1|)+Tr(|1??1|2)-Tr(|1??1||0??0|)+Tr(|2??2|2)-Tr(|2??2||1??1|)]=(1/(√6))*[(1/3)-0+(1/3)-0+(1/3)-0]=(1/(√6))*(1)=1/√6。14.初始狀態(tài)|ψ?=|0?。經(jīng)過(guò)H門，|ψ?=H|0?=(1/√2)(|0?+|1?)。經(jīng)過(guò)Rz(π/4)門，|ψ?=Rz(π/4)(1/√2)(|0?+|1?)=(1/√2)[e^{-iπ/8}|0?+e^{iπ/8}|1?]。測(cè)量得到|0?的概率P(0)=|e^{-iπ/8}|2=1。測(cè)量得到|1?的概率P(1)=|e^{iπ/8}|2=1。因此，測(cè)量后得到|0?的概率為1，得到|1?的概率為0。15.量子通道是描述量子信息（通常是量子態(tài)）在某個(gè)系統(tǒng)（信道）中傳輸或被處理的保真度模型。它將一個(gè)輸入態(tài)映射到一個(gè)輸出態(tài)。CNOT通道是一個(gè)線性量子通道，因?yàn)槿绻斎胧莾蓚€(gè)量子態(tài)的張量積，如ρ=ρ_A?ρ_B，那么CNOT通道的輸出ρ'可以表示為ρ'_A?ρ'_B，其中ρ'_A和ρ'_B都是線性算子作用于ρ_A和ρ_B。具體地，對(duì)于CNOT，輸出ρ'_A=CNOT_Aρ_ACNOT_A?，ρ'_B=I_Bρ_BI_B?，其中CNOT_A是CNOT門在第一個(gè)量子比特上的作用，I_B是恒等算子。16.量子糾錯(cuò)中需要面對(duì)的典型錯(cuò)誤類型包括：比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤，即量子比特的狀態(tài)從|0?變?yōu)閨1?，或從|1?變?yōu)閨0?；相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤，即對(duì)處于|0?或|1?態(tài)的量子比特施加一個(gè)全局相位因子e^{iφ}，使得|0?變?yōu)閑^{iφ}|0?，|1?變?yōu)閑^{iφ}|1?（通常約定φ=0或π，此時(shí)相位翻轉(zhuǎn)對(duì)測(cè)量結(jié)果無(wú)影響，但更一般地是指改變相位）。Stabilizer碼的基本思想是：構(gòu)建一個(gè)量子態(tài)，使其在所有Stabilizer