2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——波動與波紋理論考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.一列沿x軸正方向傳播的簡諧波，其表達式為y=Acos(ωt-kx)。在t=T/4時，x=0處質(zhì)元的位移為零，速度為負最大值。求該波的振幅A、角頻率ω、波數(shù)k以及波速v。2.一橫波在介質(zhì)中傳播，其波速為v，某一時刻，介質(zhì)中某質(zhì)元的位移達到最大值，求此時其相鄰的另一個質(zhì)元的位移和速度。二、1.兩列頻率相同、振幅相同、初相位相同的簡諧波，在同一直線上相向傳播，形成駐波。若兩波的表達式分別為y1=Acos(ωt+kx)和y2=Acos(ωt-kx)，求駐波的數(shù)學(xué)表達式，并說明波節(jié)和波腹的位置。2.一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，波速為v，頻率為f，振幅為A。在x=0處，質(zhì)元的振動表達式為y=Acosωt。求：(1)該波的數(shù)學(xué)表達式；(2)x=λ/4處質(zhì)元的振動表達式。三、1.一列簡諧波在介質(zhì)中傳播，介質(zhì)密度為ρ，波速為v。求該波的能流密度和平均能量密度。2.一波源在坐標(biāo)原點，向兩側(cè)發(fā)出圓形簡諧波，波速為v，頻率為f。求距波源為r處的質(zhì)元的振動表達式。四、1.一列波從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)時，其頻率、波長、波速會發(fā)生怎樣的變化？為什么？2.為什么聲波在空氣中傳播時會發(fā)生衍射，而光波在空氣中傳播時幾乎不發(fā)生衍射？五、1.簡述波的疊加原理，并舉例說明。2.在水波槽中，兩個相干波源S1和S2發(fā)出波長為λ的簡諧波，S1和S2相距3λ/4。求在S1和S2連線上，S1和S2之間因干涉而靜止的點的位置。六、1.解釋什么是波紋，并簡述波紋的形成機制。2.波紋有哪些常見的應(yīng)用？請列舉至少兩個實例。試卷答案一、1.解析：由題意知，t=T/4時，x=0處，y=0且vy<0。y=Acos(ωt-kx)代入t=T/4，x=0得：Acos(ω(T/4)-k(0))=0=>cos(ωT/4)=0=>ωT/4=π/2=>ω=2π/T。vy=-Aωsin(ωt-kx)=-A(2π/T)sin(ωT/4-k(0))=-A(2π/T)sin(π/2)=-A(2π/T)。vy<0滿足。波速v=ω/k。由ω=2π/T=2πf，k=ω/λ=2πf/λ。v=(2π/T)/(2π/λ)=λ/T=fλ。k=ω/λ=(2π/T)λ=2πλ/T=2πf。答案：A,ω=2π/T,k=2πf,v=fλ。2.解析：質(zhì)元位移達到最大值，說明該質(zhì)元此時過平衡位置且速度為零。其相鄰的另一個質(zhì)元，對于向右傳播的波，相位差為π，對于向左傳播的波，相位差也為π。相位差為π的質(zhì)元，位移與前者相反，速度大小相同，方向相反。答案：位移為-A，速度為v。二、1.解析：駐波表達式y(tǒng)=y1+y2=Acos(ωt+kx)+Acos(ωt-kx)。利用和差化積公式：cosα+cosβ=2cos((α-β)/2)cos((α+β)/2)。y=2Acos(kx)cos(ωt)。波節(jié)位置：cos(kx)=0=>kx=(2n+1)π/2=>x=(2n+1)λ/4(n為整數(shù))。波腹位置：cos(kx)=±1=>kx=nπ=>x=nλ/2(n為整數(shù))。2.解析：(1)x=0處，y=Acosωt。該波的數(shù)學(xué)表達式應(yīng)為y=f(x±vt)，且向右傳播。y=Acos[ω(t-x/v)]=Acos[ωt-kx]，其中k=ω/v。答案：y=Acos(ωt-kx)。(2)x=λ/4處，k=2π/λ。y=Acos[ωt-(2π/λ)x]=Acos[ωt-2π(x/λ)]=Acos[ωt-2π(λ/4)/λ]=Acos(ωt-π/2)。答案：y=Acos(ωt-π/2)。三、1.解析：能流密度即波的強度I。I=ρv(yx)^2，其中yx是質(zhì)元的振動速度。yx=dy/dt=Aωcos(ωt±kx)。平均能量密度u=(1/T)∫(0toT)[?ρ(Aωcos(ωt±kx))^2]dt=?ρA^2ω^2/2=?ρω^2(A^2)。I=ρv(?ρω^2A^2)=?ρω^2A^2v。答案：能流密度I=?ρω^2A^2v；平均能量密度u=?ρω^2A^2。2.解析：波源的振動表達式為y=Acosωt。距波源為r處的質(zhì)元，相位落后于波源ωt的相位為kr。答案：y=Acos(ωt-kr)。四、1.解析：波的頻率由波源決定，與介質(zhì)無關(guān)。波速由介質(zhì)性質(zhì)決定。波速v=λf，頻率f不變，波速v改變，則波長λ也隨之改變。答案：頻率不變，波速和波長改變。2.解析：衍射是波繞過障礙物或小孔繼續(xù)傳播的現(xiàn)象。發(fā)生明顯衍射的條件是障礙物或孔的尺寸與波長相近或比波長小。聲波的波長較長（約1.7cm到幾米），與日常的障礙物尺寸相當(dāng)，容易發(fā)生衍射，因此聲波能繞過障礙物傳播。光波的波長極短（約400nm到700nm），遠小于日常的障礙物尺寸，不易發(fā)生明顯的衍射，因此光波通常沿直線傳播。答案：聲波波長較長，與障礙物尺寸相當(dāng)易衍射；光波波長極短，遠小于障礙物尺寸不易衍射。五、1.解析：波的疊加原理：幾列波在空間某處相遇時，該處的質(zhì)元的振動是各列波單獨存在時在該處引起的振動的矢量和，相遇后各波仍保持其原有的特性（頻率、波長、振幅、傳播方向）繼續(xù)傳播。例子：水面上兩列波相遇，某些區(qū)域振動加強，某些區(qū)域振動減弱。答案：幾列波在空間某處相遇時，該處質(zhì)元的振動是各列波單獨存在時引起的振動的矢量和。例子：水面波的干涉。2.解析：S1和S2為相干波源，發(fā)出波長為λ的簡諧波，S1和S2相距3λ/4。波從S1到P點的路程為l1，從S2到P點的路程為l2。P點因干涉而靜止，說明從S1和S2到P點的波程差為(2n+1)λ/2(n為整數(shù))。l2-l1=(2n+1)λ/2。由于S1和S2相距3λ/4，可以設(shè)l1=x，則l2=x+3λ/4。(x+3λ/4)-x=(2n+1)λ/2=>3λ/4=(2n+1)λ/2=>3/4=(2n+1)/2=>3/2=2n+1=>2n=1/2，此方程無整數(shù)解。這表明在S1和S2連線上，S1和S2之間不存在因干涉而靜止的點。答案：無。六、1.解析：波紋通常指由波源引起的、在介質(zhì)表面或內(nèi)部形成的周期性起伏形態(tài)。例如水面波紋、聲波在空氣中的球面波紋等。其形成機制是波源振動帶動周圍介質(zhì)質(zhì)元振動，這種振動以波的形式向四周傳播，形成起伏的形態(tài)。答案：由波源引起的、在介質(zhì)表面或內(nèi)部形成的周期性起伏形態(tài)。形成機制：波源振動帶動周圍介質(zhì)質(zhì)元振動，振動以波的形式傳播形成起伏。2.解析：波紋的應(yīng)用廣泛，例如：(1)聲納技術(shù)：利用聲波在水下傳播形成的波紋（聲