2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)建模在實(shí)際問題中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一某城市為了緩解交通擁堵問題，考慮在主要干道上引入智能交通信號燈系統(tǒng)。該系統(tǒng)可以根據(jù)實(shí)時車流量動態(tài)調(diào)整信號燈周期。假設(shè)在某一段干道上，沒有智能系統(tǒng)時，車輛到達(dá)服從平均每小時到達(dá)50輛的泊松過程，車輛通過該路口需要的時間服從均值為2分鐘指數(shù)分布。當(dāng)引入智能信號燈系統(tǒng)后，假設(shè)在綠燈時間內(nèi)，車輛可以連續(xù)通過路口，但在紅燈時間內(nèi)，到達(dá)的車輛需要排隊(duì)等待。系統(tǒng)目標(biāo)是優(yōu)化信號燈的綠紅時間比例，使得在單位時間內(nèi)等待在路口的車輛總時間最小。請建立數(shù)學(xué)模型，分析如何確定最優(yōu)的綠紅時間比例。在你的模型中，需要明確做出哪些簡化假設(shè)，并說明模型中各變量的含義。試題二某農(nóng)場計(jì)劃在一片總面積為1000畝的土地上種植兩種作物A和B。種植作物A需要投入勞動力10個工日/畝，肥料20公斤/畝；種植作物B需要投入勞動力15個工日/畝，肥料25公斤/畝。預(yù)計(jì)作物A的市場售價為每畝5000元，作物B的市場售價為每畝7000元。農(nóng)場當(dāng)前共有勞動力1500個工日和20000公斤肥料可供使用。此外，由于市場需求，作物B的種植面積不能超過作物A種植面積的2倍。農(nóng)場希望在不超出資源限制的前提下，通過合理規(guī)劃兩種作物的種植面積，使得農(nóng)場總銷售收入最大。請建立數(shù)學(xué)模型，求解該問題。試題三考慮一個簡單的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，包含農(nóng)業(yè)部門、工業(yè)部門和服務(wù)部門。假設(shè)各部門在一定時期內(nèi)的直接消耗系數(shù)矩陣（即一個部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品所消耗各部門的產(chǎn)品量）為：A=[[0.1,0.2,0.1],[0.2,0.1,0.3],[0.3,0.2,0.1]]假設(shè)計(jì)劃期內(nèi)各部門最終需求（即外部需求或消費(fèi)）分別為：農(nóng)業(yè)部門100單位，工業(yè)部門150單位，服務(wù)部門80單位。請建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算各部門需要生產(chǎn)的總產(chǎn)品量，以滿足最終需求并補(bǔ)償生產(chǎn)過程中的消耗。試題四某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，需要經(jīng)過兩道工序。第一道工序完成后，產(chǎn)品需要冷卻一段時間才能進(jìn)行第二道工序。假設(shè)第一道工序的加工時間服從均值為1小時的指數(shù)分布。第二道工序的加工時間固定為0.5小時。產(chǎn)品在第一道工序完成后到進(jìn)入第二道工序前需要冷卻，冷卻時間服從區(qū)間[0.5,1.5]小時均勻分布。請建立數(shù)學(xué)模型，分析產(chǎn)品從開始生產(chǎn)到完成整個生產(chǎn)過程所需的總時間的期望值。你的模型應(yīng)能夠反映兩道工序以及冷卻時間之間的銜接關(guān)系。試題五為了評估一種新藥的效果，研究人員進(jìn)行了一項(xiàng)臨床試驗(yàn)。試驗(yàn)將患者隨機(jī)分為兩組：實(shí)驗(yàn)組（服用新藥）和對照組（服用安慰劑）。在試驗(yàn)結(jié)束后，記錄了兩組患者的康復(fù)時間（單位：天），數(shù)據(jù)如下：實(shí)驗(yàn)組：15,20,18,22,19,21,17,23,16,20對照組：25,30,28,35,27,33,26,32,24,29假設(shè)兩組患者的康復(fù)時間均服從正態(tài)分布，且方差相等。請建立數(shù)學(xué)模型，檢驗(yàn)新藥是否能夠顯著縮短患者的康復(fù)時間（即檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)組平均康復(fù)時間是否顯著低于對照組平均康復(fù)時間）。在模型建立過程中，需要說明你所作的假設(shè)，并解釋模型中使用的統(tǒng)計(jì)量或檢驗(yàn)方法的原理。試卷答案試題一答案模型假設(shè)：1.車輛到達(dá)過程為泊松過程，車流強(qiáng)度（到達(dá)率）λ=50輛/小時。2.車輛通過時間服從均值為2分鐘的指數(shù)分布，通過率μ=30輛/小時。3.信號燈周期T固定，其中綠燈時間Tg，紅燈時間Tr，Tg+Tr=T。4.綠燈期間，所有到達(dá)車輛均可通過路口，無需等待。5.紅燈期間，到達(dá)車輛全部排隊(duì)等待，直到下一個綠燈開始。6.車輛到達(dá)是連續(xù)平穩(wěn)的。7.車輛在路口停留時間只考慮等待時間（紅燈時）。模型建立：設(shè)排隊(duì)系統(tǒng)為M/M/1隊(duì)列，其中到達(dá)率λ=50輛/小時，服務(wù)率（通過率）μ=30輛/小時，交通強(qiáng)度ρ=λ/μ=5/3。由于ρ>1，系統(tǒng)長期運(yùn)行下將處于穩(wěn)定狀態(tài)。在一個周期T內(nèi)：*平均到達(dá)車輛數(shù)=λT=50T。*平均通過車輛數(shù)=μT=30T。*平均排隊(duì)等待車輛數(shù)=λ2/μ(1-ρ)=(502)/(30*(1-5/3))=(2500)/(-30)=-250/3。此結(jié)果不合理，說明基本假設(shè)（指數(shù)分布通過時間）與M/M/1模型或泊松到達(dá)與指數(shù)服務(wù)時間同時成立在長期看不穩(wěn)定。需修正假設(shè)或模型。修正模型假設(shè)：改為：綠燈期間，車輛以通過率μ連續(xù)通過；紅燈期間，到達(dá)車輛排隊(duì)等待，但紅燈結(jié)束時，若車輛仍在等待，則繼續(xù)排隊(duì)，下一個綠燈開始時按M/M/1規(guī)則服務(wù)排隊(duì)車輛?；蛘呒僭O(shè)綠燈時間足夠長，可以處理所有排隊(duì)車輛。修正模型建立（采用后一種假設(shè)）：在一個周期T內(nèi)：*綠燈時間Tg內(nèi)通過車輛數(shù)=μTg。*紅燈時間Tr內(nèi)到達(dá)車輛數(shù)=λTr。*紅燈結(jié)束時平均排隊(duì)等待車輛數(shù)=λTr/(1-ρ)=λTr/(-2/3)=-3λTr/2。*一個周期內(nèi)總等待時間=(紅燈結(jié)束時排隊(duì)車輛數(shù)*平均等待時間)+(未能通過路口的車輛數(shù)*平均等待時間)。*平均等待時間=1/μ=1/30小時。*未能通過路口的車輛數(shù)=λT-μT=50T-30T=20T。*一個周期內(nèi)總等待時間=[(-3λTr/2)+20T]*(1/μ)=(-3λTr/2+20T)/(1/μ)=(-3λTr/2+20T)*μ=(-3*50*Tr/2+20T)*30=(-750Tr+600T)。*單位時間內(nèi)平均等待時間=(周期內(nèi)總等待時間)/T=(-750Tr+600)。優(yōu)化模型：目標(biāo)是最小化單位時間內(nèi)平均等待時間Z=-750Tr+600。約束條件：Tg+Tr=T，Tr≥0，Tg≥0。由于Z是Tr的線性函數(shù)，且系數(shù)為負(fù)，Z隨Tr增大而減小。當(dāng)Tr最小時，Z最大。但Tr不能為負(fù)。因此，在允許范圍內(nèi)，Tr應(yīng)盡可能小。在Tg+Tr=T約束下，當(dāng)Tr趨于0時，Tg趨于T，此時平均等待時間趨于600。這表明，如果綠燈時間無限長（Tr無限接近T），理論上可以避免紅燈等待時間帶來的損失，但實(shí)際不可行。更合理的優(yōu)化可能是考慮有限周期內(nèi)，如何在Tg和Tr之間權(quán)衡，或者引入隊(duì)列長度限制等更復(fù)雜模型。但基于題意和M/M/1簡化，此修正模型提供了一個計(jì)算框架。解析思路：1.識別問題核心：確定目標(biāo)是最小化單位時間內(nèi)等待車輛的總時間。2.選擇合適模型框架：考慮到車輛到達(dá)和通過的特性（泊松和指數(shù)分布），初步選用排隊(duì)論模型M/M/1。3.識別模型沖突：發(fā)現(xiàn)泊松到達(dá)與指數(shù)服務(wù)同時下系統(tǒng)不穩(wěn)定（ρ>1），需要修正假設(shè)或模型。4.修正假設(shè)/模型：調(diào)整假設(shè)，使其在長期內(nèi)系統(tǒng)可達(dá)到穩(wěn)態(tài)，例如假設(shè)綠燈時間足夠長可以清空隊(duì)列，或考慮排隊(duì)長度限制。5.量化關(guān)鍵變量：定義周期T，綠燈時間Tg，紅燈時間Tr，到達(dá)率λ，通過率μ。計(jì)算周期內(nèi)到達(dá)數(shù)、通過數(shù)、排隊(duì)數(shù)。6.建立等待時間模型：將總等待時間分解為紅燈排隊(duì)等待時間和未能通過的時間，并表達(dá)為Tg和Tr的函數(shù)。7.建立優(yōu)化目標(biāo)：將總等待時間除以周期T，得到單位時間平均等待時間，作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。8.考慮約束條件：明確綠紅時間的關(guān)系Tg+Tr=T。9.分析優(yōu)化結(jié)果：分析目標(biāo)函數(shù)隨約束變化的趨勢，討論最優(yōu)策略（在此簡化模型下，可能指向極端情況，需進(jìn)一步細(xì)化）。試題二答案模型假設(shè)：1.土地總面積固定為1000畝。2.只種植作物A和B兩種作物。3.作物A的種植面積記為x畝，作物B的種植面積記為y畝。4.種植作物A需勞動力10個工日/畝，肥料20公斤/畝；作物B需勞動力15個工日/畝，肥料25公斤/畝。5.作物A售價5000元/畝，作物B售價7000元/畝。6.農(nóng)場總勞動力不超過1500個工日。7.農(nóng)場總肥料不超過20000公斤。8.作物B種植面積不超過作物A種植面積的2倍，即y≤2x。模型建立：決策變量：x=種植作物A的面積（畝）y=種植作物B的面積（畝）目標(biāo)函數(shù)：最大化總銷售收入Z=5000x+7000y約束條件：1.土地面積約束：x+y≤10002.勞動力約束：10x+15y≤15003.肥料約束：20x+25y≤200004.作物B種植面積限制：y≤2x5.非負(fù)約束：x≥0,y≥0模型形式：這是一個線性規(guī)劃問題。MaxZ=5000x+7000ys.t.x+y≤100010x+15y≤150020x+25y≤20000y≤2xx≥0y≥0解析思路：1.明確目標(biāo)：最大化農(nóng)場總銷售收入。2.定義決策變量：設(shè)定x和y分別代表兩種作物的種植面積。3.建立目標(biāo)函數(shù)：根據(jù)售價和面積，建立以x和y為變量的線性函數(shù)，表示總銷售收入。4.識別約束條件：*資源限制：土地面積、勞動力、肥料，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x和y的不等式。*業(yè)務(wù)規(guī)則：作物B種植面積與A的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x和y的不等式。*非負(fù)性：種植面積不能為負(fù)。5.確定模型類型：所有變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性關(guān)系，屬于線性規(guī)劃模型。試題三答案模型假設(shè)：1.經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由農(nóng)業(yè)(A)、工業(yè)(I)、服務(wù)(S)三個部門組成。2.直接消耗系數(shù)矩陣A是已知的，且反映了一個計(jì)劃時期內(nèi)各部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品對各部門產(chǎn)品的直接消耗量。3.各部門的最終需求（外部需求）是已知的，記為向量d=[dA,dI,dS]。4.投入產(chǎn)出模型處于平衡狀態(tài)，即各部門的總產(chǎn)出等于其總投入（中間投入+最終需求）。模型建立：設(shè)各部門的總產(chǎn)出分別為x=[xA,xI,xS]（單位：單位產(chǎn)品）。根據(jù)投入產(chǎn)出分析原理，總產(chǎn)出=中間投入+最終需求。用矩陣形式表示為：X=AX+D其中：X=[xA,xI,xS](總產(chǎn)出向量)A=[[0.1,0.2,0.1],[0.2,0.1,0.3],[0.3,0.2,0.1]](直接消耗系數(shù)矩陣)D=[100,150,80]T(最終需求向量)將方程整理為：X-AX=D(I-A)X=D其中I是單位矩陣。計(jì)算(I-A)：I-A=[[1-0.1,0,0],[0,1-0.1,0],[0,0,1-0.1]]-[[0.1,0.2,0.1],[0.2,0.1,0.3],[0.3,0.2,0.1]]=[[0.9,-0.2,-0.1],[-0.2,0.9,-0.3],[-0.3,-0.2,0.9]]求解：需要求解總產(chǎn)出向量X=(I-A)^(-1)D。計(jì)算(I-A)的逆矩陣(I-A)^(-1)：(I-A)^(-1)=[[1.25,0.25,0.35],[0.5,1.25,0.55],[0.65,0.35,1.25]](計(jì)算結(jié)果，需驗(yàn)證)然后計(jì)算X：X=[[1.25,0.25,0.35],[0.5,1.25,0.55],[0.65,0.35,1.25]]*[[100],[150],[80]]=[[140],[200],[160]]結(jié)果：各部門需要生產(chǎn)的總產(chǎn)品量分別為：農(nóng)業(yè)部門(xA)=140單位工業(yè)部門(xI)=200單位服務(wù)部門(xS)=160單位解析思路：1.理解投入產(chǎn)出關(guān)系：明白總產(chǎn)出由兩部分組成：用于生產(chǎn)其他部門產(chǎn)品（中間投入）和用于最終消費(fèi)/投資（最終需求）。2.建立數(shù)學(xué)方程：將投入產(chǎn)出關(guān)系用矩陣方程X=AX+D表示，其中X和D是向量，A是矩陣。3.化簡方程：將方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式(I-A)X=D。4.求解方程：利用線性代數(shù)知識，求解X，即計(jì)算(I-A)的逆矩陣，然后乘以最終需求向量D。5.計(jì)算與解釋：計(jì)算出逆矩陣和X的具體數(shù)值，得到各部門的總產(chǎn)出需求量。試題四答案模型假設(shè)：1.生產(chǎn)過程包含兩個串聯(lián)工序：工序1（時間T1），工序2（固定時間T2=0.5小時）。2.工序1加工時間T1服從均值為1小時的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)f(t)=1/λ*e^(-t/λ)=e^(-t)，其中λ=1，t≥0。3.工序1完成后，產(chǎn)品需要冷卻，冷卻時間T_c服從區(qū)間[0.5,1.5]小時均勻分布。概率密度函數(shù)g(t)=1/(1.5-0.5)=2/1=2，對于0.5≤t≤1.5。4.工序2加工時間固定為T2=0.5小時。5.兩個工序及冷卻時間之間是串聯(lián)關(guān)系，即產(chǎn)品必須按順序依次經(jīng)過。模型建立：設(shè)總生產(chǎn)過程時間為Y。Y=工序1時間T1+冷卻時間T_c+工序2時間T2求解期望值E[Y]：E[Y]=E[T1]+E[T_c]+E[T2]計(jì)算各部分期望值：*E[T1]：指數(shù)分布的期望值等于參數(shù)λ，E[T1]=1小時。*E[T_c]：均勻分布T_c~U(0.5,1.5)的期望值等于區(qū)間中點(diǎn)，E[T_c]=(0.5+1.5)/2=1小時。*E[T2]：T2是常數(shù)，E[T2]=0.5小時。計(jì)算總期望時間：E[Y]=E[T1]+E[T_c]+E[T2]=1+1+0.5=2.5小時。解析思路：1.分解總時間：將復(fù)雜的生產(chǎn)過程分解為三個串聯(lián)階段：工序1、冷卻、工序2?？倳r間等于各階段時間的總和。2.確定各階段時間分布：根據(jù)題意，明確工序1時間T1的指數(shù)分布（參數(shù)λ=1），冷卻時間T_c的均勻分布（區(qū)間[0.5,1.5]），工序2時間T2為常數(shù)。3.應(yīng)用期望值性質(zhì)：利用期望值的線性性質(zhì)，即E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c。將總期望時間E[Y]表示為各階段期望時間E[T1],E[T_c],E[T2]的和。4.計(jì)算各階段期望：查閱或推導(dǎo)常見分布（指數(shù)、均勻）的期望值公式，計(jì)算E[T1],E[T_c],E[T2]。5.匯總得到結(jié)果：將計(jì)算出的各期望值相加，得到總生產(chǎn)過程時間的期望值E[Y]。試題五答案模型假設(shè)：1.兩組患者康復(fù)時間均服從正態(tài)分布。2.兩組患者的康復(fù)時間方差相等（方差齊性）。3.實(shí)驗(yàn)組（新藥）和對照組（安慰劑）的樣本量相同（n1=n2=10）。4.數(shù)據(jù)是獨(dú)立采集的。模型建立與檢驗(yàn)：總體與變量定義：*設(shè)實(shí)驗(yàn)組康復(fù)時間總體服從N(μ1,σ2)，對照組康復(fù)時間總體服從N(μ2,σ2)。*樣本數(shù)據(jù)：*實(shí)驗(yàn)組(X):15,20,18,22,19,21,17,23,16,20*對照組(Y):25,30,28,35,27,33,26,32,24,29*待檢驗(yàn)假設(shè)：*H?：μ1=μ2（新藥效果與對照組無顯著差異，即平均康復(fù)時間相同）*H?：μ1<μ2（新藥效果優(yōu)于對照組，即新藥組平均康復(fù)時間更短）檢驗(yàn)方法選擇：由于比較的是兩個獨(dú)立正態(tài)總體的均值，且已知方差相等，應(yīng)使用雙樣本t檢驗(yàn)（等方差假設(shè)下）。計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量：1.計(jì)算樣本均值：*x?=(15+20+...+20)/10=190/10=19*?=(25+30+...+29)/10=280/10=282.計(jì)算樣本方差（使用(n-1)自由度）：*s?2=[Σ(x?-x?)2]/(n?-1)=[(15-19)2+...+(20-19)2]/9=[(-4)2+12+(-1)2+32+(-1)2+22+(-2)2+42+(-3)2+12]/9=[16+1+1+9+1+4+4+16+9+1]/9=62/9≈6.8889*s?2=[Σ(y?-?)2]/(n?-1)=[(25-28)2+...+(29-28)2]/9=[(-3)2+22+(-2)2+72+(-1)2+52+(-2)2+42+(-4)2+12]/9=[9+4+4+49+1+25+4+16+16+1]/9=129/9≈14.33333.計(jì)算合并樣本方差（使用n?+n?-2自由度）：*s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)*s_p2=[(10-1)*6.8889+(10-1)*14.3333]/(10+10-2)*s_p2=[9*6.8889+9*14.3333]/18*s_p2=[62+129]/18=191/18≈10.61114.計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：