2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學理論與實際應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.設隨機變量X的分布律為P(X=k)=C(k+1)/5,k=0,1,2。則常數(shù)C等于（）。A.1B.2C.3D.42.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,...,xn，樣本均值記為x?，樣本方差記為s2。下列說法正確的是（）。A.x?是總體均值μ的無偏估計量，s2是總體方差σ2的無偏估計量。B.x?是總體均值μ的無偏估計量，s2是總體方差σ2的有偏估計量。C.x?是總體均值μ的有偏估計量，s2是總體方差σ2的無偏估計量。D.x?是總體均值μ的有偏估計量，s2是總體方差σ2的有偏估計量。3.從正態(tài)總體N(μ,σ2)中抽取容量為n的樣本，要檢驗H0:μ=μ?，應使用的統(tǒng)計量是（）。A.t=(x?-μ?)/(s/√n)B.Z=(x?-μ?)/(σ/√n)C.t=(x?-μ?)/(s/√(n-1))D.Z=(x?-μ?)/(σ/√(n-1))4.在假設檢驗中，犯第一類錯誤的概率記為α，犯第二類錯誤的概率記為β。下列說法正確的是（）。A.減小α的同時必然增大β。B.減小α的同時必然減小β。C.α與β沒有直接關系。D.增大樣本容量可以同時減小α和β。5.設變量x和y的觀測值為(x?,y?),(x?,y?),...,(x?,y?)，x?和y?分別是x和y的樣本均值。回歸直線方程y?=a+bx中的系數(shù)b等于（）。A.∑(x?-x?)(y?-y?)/∑(x?-x?)2B.∑(x?-y?)(y?-x?)/∑(y?-y?)2C.∑(x?-x?)(y?-y?)/∑(y?-y?)2D.∑(x?-y?)(y?-x?)/∑(x?-x?)2二、計算題6.(10分)設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c*x2,0<x<2;0,其他}。(1)確定常數(shù)c的值。(2)求X的分布函數(shù)F(x)。(3)求P(1<X<1.5)。7.(10分)從一批零件中隨機抽取10個，測得尺寸數(shù)據(jù)（單位：mm）如下：49.7,50.6,48.8,51.0,49.5,49.8,51.2,50.3,49.6,50.1。計算樣本均值x?和樣本方差s2。8.(15分)從正態(tài)總體N(μ,162)中抽取容量為25的樣本，樣本均值為x?=10.5。(1)檢驗假設H0:μ=10，H1:μ≠10。取顯著性水平α=0.05，寫出檢驗步驟并作出結論。（使用臨界值法）(2)求參數(shù)μ的95%置信區(qū)間。9.(20分)研究某商品的廣告投入x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）的關系，收集到10組數(shù)據(jù)，計算得：∑x?=50,∑y?=520,∑x?2=280,∑y?2=3024,∑x?y?=2760,x?=5,y?=52。(1)建立y關于x的線性回歸方程。(2)求回歸系數(shù)b的置信度為95%的置信區(qū)間。(3)當廣告投入x=6萬元時，預測銷售額y，并給出預測值的標準誤差（注：可使用公式σ?=√[Σ(y?-?)2/(n-2)]進行計算）。試卷答案一、選擇題1.C2.A3.B4.A5.A二、計算題6.(10分)(1)解：由概率密度函數(shù)性質(zhì)∫????f(x)dx=1，得∫?2c*x2dx=1[c*x3/3]?2=1c*(8/3-0)=1c=3/8(2)解：F(x)=∫????f(t)dtx≤0時，F(xiàn)(x)=00<x<2時，F(xiàn)(x)=∫??(3/8*t2)dt=(3/8)*(x3/3)=x3/8x≥2時，F(xiàn)(x)=∫?2(3/8*t2)dt=1所以F(x)={0,x≤0;x3/8,0<x<2;1,x≥2}(3)解：P(1<X<1.5)=F(1.5)-F(1)=(1.53/8)-(13/8)=(27/8)-(1/8)=26/8=13/4=3.257.(10分)解：x?=(49.7+50.6+48.8+51.0+49.5+49.8+51.2+50.3+49.6+50.1)/10=500.6/10=50.06s2=[∑(x?-x?)2]=[(49.7-50.06)2+(50.6-50.06)2+...+(50.1-50.06)2]=[(-0.36)2+(0.54)2+(-1.26)2+(1.04)2+(-0.56)2+(-0.26)2+(1.14)2+(0.24)2+(-0.46)2+(0.04)2]=[0.1296+0.2916+1.5876+1.0816+0.3136+0.0676+1.2996+0.0576+0.2116+0.0016]=5.988所以x?=50.06,s2=5.9888.(15分)(1)解：檢驗假設H0:μ=10，H1:μ≠10。樣本容量n=25，總體方差σ2=162=256已知，故用Z檢驗法。檢驗統(tǒng)計量Z=(x?-μ?)/(σ/√n)的拒絕域為|Z|>Z_(α/2)。α=0.05，Z_(0.025)=1.96。拒絕域為Z<-1.96或Z>1.96。計算檢驗統(tǒng)計量：Z=(10.5-10)/(16/√25)=0.5/(16/5)=0.5/3.2=5/32≈0.15625。因為|0.15625|=0.15625<1.96，所以未落入拒絕域。結論：在顯著性水平α=0.05下，不能拒絕原假設H0，即沒有充分證據(jù)表明均值μ不等于10。(2)解：因為總體方差σ2已知，所以μ的置信區(qū)間為(x?-Z_(α/2)*(σ/√n),x?+Z_(α/2)*(σ/√n))。置信水平1-α=95%，α/2=0.025，Z_(0.025)=1.96。區(qū)間下限=10.5-1.96*(16/√25)=10.5-1.96*3.2=10.5-6.272=4.228。區(qū)間上限=10.5+1.96*(16/√25)=10.5+6.272=16.772。所以μ的95%置信區(qū)間為(4.228,16.772)。9.(20分)(1)解：b=[n∑x?y?-(∑x?)(∑y?)]/[n∑x?2-(∑x?)2]=[10*2760-50*520]/[10*280-502]=[27600-26000]/[2800-2500]=1600/300=16/3a=y?-b*x?=52-(16/3)*5=52-80/3=(156-80)/3=76/3所以回歸方程為?=(76/3)+(16/3)x(2)解：b的方差σ_b2=[σ2/(n-2)]*[1/∑(x?-x?)2]σ2=s2=[n∑y?2-(∑y?)2]/(n(n-1))=[10*3024-5202]/[10*9]=[30240-270400]/90=-240160/90=-1601.777...(計算有誤，應重新計算s2)s2=[n∑y?2-(∑y?)2]/[n(n-1)]=[10*3024-5202]/[10*9]=[30240-270400]/90=-240160/90=-1601.777...(再次計算有誤，應重新計算s2)s2=[∑y?2-(∑y?)2/n]/(n-1)=[3024-5202/10]/9=[3024-2704]/9=320/9σ_b2=(320/9)/(10-2)*[1/(280-250)]=(320/9)/8*[1/30]=40/9*1/30=40/270=4/27σ_b=√(4/27)=2/√27=2/(3√3)=2√3/9置信度為95%，t_(α/2,n-2)=t_(0.025,8)。查t分布表得t_(0.025,8)≈2.306。b的置信區(qū)間為(b-t_(α/2,n-2)*σ_b,b+t_(α/2,n-2)*σ_b)=(16/3-2.306*(2√3/9),16/3+2.306*(2√3/9))=(16/3-4.612√3/9,16/3+4.612√3/9)=(16/3-1.537,16/3+1.537)=(2.663,6.337)(近似值)(3)解：當x=6時，預測值??=a+b*6=(76/3)+(16/3)*6=76/3+96/3=172/3。計算殘差平方和SSE=∑(y?-??)2=∑y?2-a*∑y?-b*∑x?y?=3024-(76/3)*520-(16/3)*2