2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學在癌癥研究中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______考生注意：1.請將答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.答題時請仔細閱讀題目要求，按照題目要求作答。3.本試卷滿分100分，考試時間120分鐘。一、填空題（每空3分，共15分）1.微分方程$\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K})$描述的是邏輯斯蒂增長模型，其中$N(t)$表示時刻$t$的腫瘤細胞數(shù)量，$r$是內(nèi)稟增長率，$K$是環(huán)境容量。當$N(t)<K$時，腫瘤細胞數(shù)量增長速率為______。2.在藥物動力學中，一室模型描述藥物在體內(nèi)迅速分布至全身。若靜脈注射劑量為$D$，體表面積為$A$，血藥濃度隨時間變化的微分方程為$\frac{dC}{dt}=-KeC$，其中$C(t)$是時刻$t$的血藥濃度，$K$是消除速率常數(shù)。則該藥物的表觀分布容積$V_d$定義為______。3.生存分析中，Kaplan-Meier生存函數(shù)$S(t)$是基于______原則估計的，用于描述生存概率隨時間的變化。4.在基因表達數(shù)據(jù)分析中，主成分分析（PCA）的主要目的是降維，它通過提取數(shù)據(jù)的主要______來減少變量的數(shù)量，同時盡量保留原始數(shù)據(jù)的變異信息。5.若一項關于新藥療效的生存分析比較了治療組與對照組的生存曲線，并觀察到治療組曲線顯著高于對照組，則可以認為該新藥可能______（填“提高”或“降低”）患者的生存時間。二、計算題（每題10分，共40分）1.已知某腫瘤的生長符合Gompertz模型$\frac{dV}{dt}=aV\ln(\frac{K}{V})$，其中$V(0)=V_0>0$，$a>0$，$K>V_0$為飽和體積。求腫瘤體積$V(t)$隨時間$t$變化的表達式。2.某藥物按一級動力學消除，消除速率常數(shù)$K=0.1\text{h}^{-1}$。現(xiàn)給患者口服該藥物，血藥濃度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下（假設初始時刻濃度為0）：|時間$t$(h)|0|1|2|3|4|5||-------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----||濃度$C$(mg/L)|0|8|5|3|2|1.5|試用一級消除模型擬合這些數(shù)據(jù)，并估算該藥物的半衰期$T_{1/2}$。3.假設一項研究比較了兩種療法（A和B）對某癌癥患者的生存時間影響。共收集了15名患者的生存數(shù)據(jù)（單位：月），其中8名接受療法A，7名接受療法B。生存時間數(shù)據(jù)如下：療法A：12,15,18,20,25,30,35,40療法B：10,13,16,19,22,28,33試用Kaplan-Meier方法分別計算兩組患者的生存函數(shù)，并繪制生存曲線（無需精確繪圖，描述趨勢即可）。三、建模與應用題（每題17.5分，共35分）1.假設某城市人口總數(shù)$P$隨時間$t$呈邏輯斯蒂增長，初始人口為$P(0)=100$萬，最大容量$K=1000$萬，內(nèi)稟增長率$r=0.05\text{年}^{-1}$。(1)建立描述該城市人口增長的微分方程模型。(2)求解該微分方程，得到人口數(shù)量$P(t)$隨時間$t$的表達式。(3)預測該城市人口達到最大容量一半（即500萬）所需的時間。2.某臨床試驗旨在比較新藥X和安慰劑對晚期肺癌患者生存期的影響。研究人員隨機選取了60名患者，其中30人服用新藥X，30人服用安慰劑。經(jīng)過一段時間隨訪，收集到的生存時間（單位：月）數(shù)據(jù)如下（部分數(shù)據(jù)省略，表示患者仍在隨訪或事件未發(fā)生）：新藥X組：15,22,28,32,38,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,__,__,__,__,__安慰劑組：10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46(1)簡述如何運用Kaplan-Meier方法分析這兩組數(shù)據(jù)的生存差異。你需要說明關鍵步驟和可能使用的統(tǒng)計檢驗。(2)基于上述數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的趨勢（即使不完整），定性分析新藥X相比安慰劑，對延長患者生存期可能產(chǎn)生的影響。解釋你的判斷依據(jù)。(3)如果研究者還收集了性別作為可能的影響因素，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)如下：新藥X組（男性）：15,22,28,32,38,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90新藥X組（女性）：__(假設有5名女性患者)安慰劑組（男性）：10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46安慰劑組（女性）：__(假設有5名女性患者)請簡述當存在多個分組因素時（如性別和治療組），生存分析需要考慮哪些方法來比較不同亞組間的生存差異，并說明與簡單比較的異同。試卷答案一、填空題（每空3分，共15分）1.正常數(shù)r2.D/A3.無失訪4.方差或變異5.提高二、計算題（每題10分，共40分）1.解：$\frac{dV}{dt}=aV\ln(\frac{K}{V})$分離變量：$\frac{dV}{V\ln(\frac{K}{V})}=a\,dt$變量代換：令$u=\ln(\frac{K}{V})$，則$V=\frac{K}{e^u}$，$dV=-\frac{K}{e^u}\,du=-Ke^{-u}\,du$代入方程：$\frac{-Ke^{-u}}{\frac{K}{e^u}u}\,du=a\,dt\implies-\frac{1}{u}\,du=a\,dt$積分：$-\ln|u|=at+C$代回原變量：$-\ln|\ln(\frac{K}{V})|=at+C$利用初始條件$V(0)=V_0$，得$-\ln|\ln(\frac{K}{V_0})|=C$所以：$\ln|\ln(\frac{K}{V})|=-at-\ln|\ln(\frac{K}{V_0})|$$|\ln(\frac{K}{V})|=e^{-at}|\ln(\frac{K}{V_0})|$$\ln(\frac{K}{V})=\pme^{-at}\ln(\frac{K}{V_0})$$\frac{K}{V}=\frac{K}{V_0}\cdote^{\pmat}$$V(t)=\frac{V_0K}{K\cdote^{\pmat}}=\frac{V_0}{e^{\pmat}}$由于腫瘤體積隨時間增長，取$V(t)=V_0e^{at}$。再利用$V(t)\toK$當$t\to\infty$，需要修正為$V(t)=K\left(\frac{V_0}{K}\right)^{e^{-at}}$。最終解為：$V(t)=K\left(\frac{V_0}{K}\right)^{e^{-at}}$2.解：(1)估算$K$：根據(jù)數(shù)據(jù)，濃度從8降至5（約37.5%），從5降至3（約40%），從3降至2（約33%），從2降至1.5（約25%）。平均下降速率接近37.5%，對應的半衰期約為$\ln(2)/0.375\approx1.84$h。取$K=0.375\text{h}^{-1}$。一級消除模型為$C(t)=C_0e^{-Kt}$。當$t=1$時，$C(1)=8e^{-0.375}\approx5.97$，與5較接近；當$t=2$時，$C(2)=8e^{-0.75}\approx4.47$，與5差距稍大，但整體趨勢符合一級消除。估算$K$偏保守，取$K=0.4\text{h}^{-1}$可能更合適，或用所有數(shù)據(jù)點擬合。(2)半衰期$T_{1/2}=\frac{\ln(2)}{K}=\frac{\ln(2)}{0.4}\approx\frac{0.693}{0.4}\approx1.73$h。3.解：(1)療法A：$n_A=8$。時間$t=12$，$n_t=8$，$S(12)=1$。$t=15$，刪失1個，$n_t=7$，$S(15)=S(12)\times\frac{7}{8}=0.875$。$t=18$，刪失1個，$n_t=6$，$S(18)=S(15)\times\frac{6}{7}=0.757$。$t=20$，刪失1個，$n_t=5$，$S(20)=S(18)\times\frac{5}{6}=0.631$。$t=25$，刪失1個，$n_t=4$，$S(25)=S(20)\times\frac{4}{5}=0.505$。$t=30$，刪失1個，$n_t=3$，$S(30)=S(25)\times\frac{3}{4}=0.379$。$t=35$，刪失1個，$n_t=2$，$S(35)=S(30)\times\frac{2}{3}=0.253$。$t=40$，刪失1個，$n_t=1$，$S(40)=S(35)\times\frac{1}{2}=0.126$。$t=12,15,18,20,25,30,35,40$時，$S(t)$分別為$1,0.875,0.757,0.631,0.505,0.379,0.253,0.126$。療法B：$n_B=7$。時間$t=10$，$n_t=7$，$S(10)=1$。$t=13$，刪失1個，$n_t=6$，$S(13)=S(10)\times\frac{6}{7}=0.857$。$t=16$，刪失1個，$n_t=5$，$S(16)=S(13)\times\frac{5}{6}=0.714$。$t=19$，刪失1個，$n_t=4$，$S(19)=S(16)\times\frac{4}{5}=0.571$。$t=22$，刪失1個，$n_t=3$，$S(22)=S(19)\times\frac{3}{4}=0.429$。$t=28$，刪失1個，$n_t=2$，$S(28)=S(22)\times\frac{2}{3}=0.286$。$t=33$，刪失1個，$n_t=1$，$S(33)=S(28)\times\frac{1}{2}=0.143$。$t=10,13,16,19,22,28,33$時，$S(t)$分別為$1,0.857,0.714,0.571,0.429,0.286,0.143$。(2)描述趨勢：從曲線看，療法A組的生存函數(shù)始終高于療法B組，且下降速度相對較慢。這表明，在不考慮其他因素的情況下，服用新藥X的患者群體似乎具有更長的生存時間。三、建模與應用題（每題17.5分，共35分）1.解：(1)模型為$\frac{dP}{dt}=rP(1-\frac{P}{K})$。$P(0)=100$，$K=1000$，$r=0.05$。(2)分離變量：$\frac{dP}{P(1-\frac{P}{K})}=r\,dt$。變量代換：令$u=\frac{P}{K}$，則$P=Ku$，$dP=K\,du$。方程變?yōu)?\frac{K\,du}{Ku(1-u)}=r\,dt\implies\frac{du}{u(1-u)}=\frac{r}{K}\,dt$。部分分式分解：$\frac{1}{u(1-u)}=\frac{1}{u}+\frac{1}{1-u}$。積分：$\int\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{1-u}\right)du=\int\frac{r}{K}\,dt$。$\ln|u|-\ln|1-u|=\frac{r}{K}t+C$。$\ln\left|\frac{u}{1-u}\right|=\frac{r}{K}t+C$。$\frac{u}{1-u}=e^Ce^{\frac{r}{K}t}$。設$e^C=C_1$，則$\frac{u}{1-u}=C_1e^{\frac{r}{K}t}$。$\frac{P}{K}=\frac{C_1e^{\frac{r}{K}t}}{1+C_1e^{\frac{r}{K}t}}$。$P(t)=\frac{KC_1e^{\frac{r}{K}t}}{1+C_1e^{\frac{r}{K}t}}$。利用初始條件$P(0)=100$，得$\frac{100}{1000}=\frac{KC_1}{1+C_1}$，即$\frac{1}{10}=\frac{C_1}{1+C_1}$，解得$C_1=\frac{1}{9}$。所以：$P(t)=\frac{1000\cdot\frac{1}{9}e^{0.05t/1000}}{1+\frac{1}{9}e^{0.05t/1000}}=\frac{1000e^{0.00005t}}{9+e^{0.00005t}}$。也可以寫成$P(t)=\frac{K}{1+(K/V_0-1)e^{-rt}}=\frac{1000}{1+9e^{-0.05t}}$。(3)要求$P(t)=\frac{K}{2}=500$萬。$\frac{1000}{1+9e^{-0.05t}}=500$。$1+9e^{-0.05t}=2$。$9e^{-0.05t}=1$。$e^{-0.05t}=\frac{1}{9}$。$-0.05t=\ln(\frac{1}{9})=-\ln(9)$。$t=\frac{\ln(9)}{0.05}=20\ln(9)\approx20\times2.197=43.94$年。預測時間約為44年。2.解：(1)Kaplan-Meier分析步驟：a.對所有觀察到的死亡時間（刪失時間不計入計算節(jié)點），按從小到大排序。b.對于第$i$個時間點$t_i$，令$d_i$為在該時間點死亡的患者數(shù)，$n_i$為事件發(fā)生前（包括該時間點）處于風險集的患者數(shù)（刪失患者在此時間點之后仍被視為風險）。風險集初始為所有入組患者$n_0$。c.計算生存函數(shù)$S(t_i)$：$S(t_i)=S(t_{i-1})\times\frac{n_i-d_i}{n_i}$。d.繪制生存曲線，縱軸為生存概率$S(t)$，橫軸為時間$t$。e.比較兩組生存曲線，可以使用Log-rank檢驗（或Wilcoxon檢驗），這是一種非參數(shù)檢驗方法，用于檢驗兩組生存分布是否存在顯著差異。其零假設是兩組生存分布相同。(2)定性分析：基于給出的數(shù)據(jù)趨勢，新藥X組的生存曲線顯著高于安慰劑組。這表明，在當前數(shù)據(jù)