/2025-2026學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知空間向量a=3,0,1，b=14A.3 B.1 C.2 D.2.已知v1、v2分別為直線l1、l2的方向向量(l1、l2不重合)，nA.v→1//v→2?l13.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A(2,2,2),B(4,?2,0)，若點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于Oyz平面對稱，則BPA.214 B.13 C.24.“直線ax+4y?3=0與直線x+(aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖，將菱形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，∠ABC=π3，則折后二面角E?OF?A的余弦值為(

)

A.C.3556.已知直線l過點(diǎn)(0,2)，且與直線3x?y+2=0及xA.3x+y?2=0或3x?3y+6=07.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.如圖，已知在塹堵ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，ABA.?4 B.4 C.?3 D.18.已知函數(shù)f(x)=x2?2x+ln|x?1|的圖象經(jīng)過點(diǎn)Ax1,4和點(diǎn)Bx2,4x1<x2，直線l:yA.2 B.6 C.?2 D.?6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，已知四面體ABCD，點(diǎn)E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是(

)A.AB+BC+CD=AD B.AB10.給出下列命題，其中正確的命題是(

)A.若a，b為單位向量，則a=bB.若向量a是向量b的相反向量，則a=b

C.在正方體ABCD?A1B111.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E，OA.BE與B1C所成角的正弦值是31010B.點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離是22

C.平面A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，已知三棱錐P?ABC，G為?ABC的重心，點(diǎn)M，F(xiàn)為PG，PC的中點(diǎn)，點(diǎn)D,E分別在PA,PB上，PD=2mPA，PE13.在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P(2,2)作直線AB，分別與x軸的正半軸，y軸的正半軸交于點(diǎn)A,B.當(dāng)直線AB的斜率為

時，?AOB的面積最小(O是坐標(biāo)原點(diǎn)14.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，動點(diǎn)P滿足CP=xCD+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB(1)求AA(2)求證：AA(3)求A′C16.(本小題15分)已知?ABC的頂點(diǎn)A(2,4),AB邊上的中線CM所在直線的方程為x+4y(1)求直線BC的方程；(2)若直線l上任意一點(diǎn)P，都滿足S?PBC=S17.(本小題15分)如圖，在四面體ABCD中，?ABC與?ACD都是等邊三角形，AC=4

(1)求證：AC⊥(2)若E為AD的中點(diǎn)，求平面BCD與平面BCE夾角的余弦值．18.(本小題17分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD(1)若點(diǎn)E為PB上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，證明：PD//平面ACE(2)若點(diǎn)F為PC上一點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，從下面條件①②③中選取兩個作為已知，證明另一個成立．①PFPC=13；②tan∠PCA=2注：如果選擇多個組合分別解答，按第一個解答計分．19.(本小題17分)如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且AB=4，側(cè)面

(1)求證：BD⊥(2)求直線AA1與底面(3)求點(diǎn)C到側(cè)面AA(4)在線段A1B1上是否存在點(diǎn)E，使得直線DE與側(cè)面AA1B1參考答案1.A

2.A

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.D

9.ABC

10.ABC

11.BD

12.24

13.?1；8

14.0；2,215.【詳解】(1)解：AA(2)證明：因為AA=3×2×cos60°?3×2×cos60°=3?3=0，所以AA(3)解：因為A′所以A′=4+4+9+0?2×2×3×1所以A′C=

16.【詳解】(1)如圖，由點(diǎn)B在直線y=x上，設(shè)B(則AB的中點(diǎn)Mm+22所以m+22+4×m+4設(shè)點(diǎn)A(2,4)關(guān)于直線y=x則有y0?4x0?2顯然A′(4,2)在直線BC上，則直線BC的斜率則直線BC的方程為y+2=23(2)點(diǎn)A到直線BC的距離d=因為點(diǎn)P滿足S?PBC=S?所以直線l與直線BC平行，且直線l到直線BC的距離等于點(diǎn)A到直線BC的距離．設(shè)l:2x?3y+n=0(所以直線l的方程為2x?3y

17.【詳解】(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接OB,

因為?ABC與?ACD都是等邊三角形，O為AC的中點(diǎn)，所以又OB∩OD=O,OB,又BD?平面OBD，所以AC(2)因為?ABC與?ACD都是等邊三角形，AC=4，O所以O(shè)B=OD=23，又BD又OB⊥AC,OD⊥AC，所以O(shè)A,OB,OD兩兩互相垂直，以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由AC=4，得A所以BC=設(shè)平面BCD的法向量為m=(x,y,z)，則BC即平面BCD的一個法向量為m=設(shè)平面BCE的法向量為n=(a,b,c)，則BC即平面BCE的一個法向量為n=設(shè)平面BCD與平面BCE的夾角為θ，則cosθ所以平面BCD與平面BCE夾角的余弦值為7

18.【詳解】(1)證明：如圖，記BD與AC交于點(diǎn)O，連接OE，因為AB/\!/又因為∠AOB所以?AOB所以O(shè)DOB所以點(diǎn)O為BD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)．因為點(diǎn)E為PB上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，所以在?PBD中，OE又因為OE?平面ACE，PD?平面所以PD//平面ACE(2)方法一：選擇①②作為條件，證明③：因為2CD所以AC=因為PA⊥平面ABCD所以PA⊥AC，則tan∠PCA則以A為原點(diǎn)，以AD,AB,AP所在直線分別為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?所以A(0,0,0),P(0,0,1),從而BD=(1,?2,0),因為PFPC所以PF=則F的坐標(biāo)為13設(shè)平面ABF的法向量為n=(則AB?n則y=0，令z=1，可得所以平面ABF的一個法向量為n=(?2,0,1)設(shè)直線BD與平面ABF所成角為θ，則sinθ=cos方法二：選擇①③作為條件，證明②：因為2CD所以AC=設(shè)PA=因為PA⊥平面ABCD所以PA⊥則以A為原點(diǎn)，以AD,AB,AP所在直線分別為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，所以A(0,0,0),P(0,0,因此BD=(1,?2,0),因為PFPC所以PF=則F的坐標(biāo)為13設(shè)平面ABF的法向量為n=(則AB?n則y=0，令z=1，可得所以平面ABF的一個法向量為n=(?2設(shè)直線BD與平面ABF所成角為θ，則sinθ解得a=1(負(fù)值舍去)則PA=1，故tan∠PCA=方法三：選擇②③作為條件，證明①：因為2CD所以AC=因為PA⊥平面ABCD所以PA⊥AC，則所以PA=1則以A為原點(diǎn)，以AD,AB,AP所在直線分別為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，所以A(0,0,0),P(0,0,1),因此BD=(1,?2,0),設(shè)PF=則F的坐標(biāo)為(λ設(shè)平面ABF的法向量為n=(則AB?n則y=0，令z=1，可得所以平面ABF的一個法向量為n=設(shè)直線BD與平面ABF所成角為θ，則sinθ解得λ=13(負(fù)值舍去)，則

19.【詳解】(1)證明：∵點(diǎn)A1在底面上的射影為AC的中點(diǎn)D∴A1D∵BD,DC?平面又∵底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，D為AC的中點(diǎn)，∴BD以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC,DA1所在直線分別為

∵△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AB=4,∴在Rt?A1AD∴A∴DB∴DB∴DB(2)由(1)可知，DA1