成都鐵中中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．探究：已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+3經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3，0)．(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖所示，點(diǎn)P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，連接AC，PA，PC．①求△ACP的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②求△ACP的面積的最大值，并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．拓展：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1，3)，N的坐標(biāo)為(3，1)，若拋物線y＝ax2﹣2x+3(a＜0)與線段MN有兩個不同的交點(diǎn)，請直接寫出a的取值范圍．2．如圖，拋物線（）交直線：于點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，且過點(diǎn)，連接，.（1）求此拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試探究點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.3．若一個函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時，函數(shù)表達(dá)式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．下面我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，探究分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)．列表：描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，觀察描出的這些點(diǎn)的分布，作出函數(shù)圖象；研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問題：點(diǎn)，，，在函數(shù)圖象上，則______，______；填“”，“”或“”當(dāng)函數(shù)值時，求自變量x的值；在直線的右側(cè)的函數(shù)圖象上有兩個不同的點(diǎn)，，且，求的值；若直線與函數(shù)圖象有三個不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．4．在數(shù)學(xué)拓展課上，九（1）班同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對新函數(shù)y=x2﹣2|x|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下：（初步嘗試）求二次函數(shù)y=x2﹣2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（類比探究）當(dāng)函數(shù)y=x2﹣2|x|時，自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，下表為y與x的幾組對應(yīng)值．x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…30﹣10﹣103…①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請你畫出該函數(shù)圖象的另一部分；②根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)．（深入探究）若點(diǎn)M（m，y1）在圖象上，且y1≤0，若點(diǎn)N（m+k，y2）也在圖象上，且滿足y2≥3恒成立，求k的取值范圍．5．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下．（1）自變量的取值范圍是全體實數(shù)，與的幾組對應(yīng)值如下：…-3-2-10123……3-10-103…其中，______．（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請你畫出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①方程有______個實數(shù)根；②關(guān)于的方程有4個實數(shù)根時，的取值范圍是______．6．綜合與探究如圖1，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其中，與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E．點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作直線于點(diǎn)F，求的最大值；（3）如圖2，連接，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E，求的最大值；（3）如圖2，連接AC，BC，過點(diǎn)O作直線l∥BC，點(diǎn)P，Q分別為直線l和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第四象限內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BPQ∽△CAB．若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．8．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．如果拋物線C1：與拋物線C2：的開口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對頂”拋物線．（1）求拋物線的“對頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線的“對頂”拋物線沿其對稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線形成兩個交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對頂”拋物線時發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請寫出它們之間的關(guān)系．10．綜合與探究如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是線段BC上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)Q是線段PD的中點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是直線BC上一點(diǎn)，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以P，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．二、中考幾何壓軸題11．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與同為等邊三角形，連接則與的數(shù)量關(guān)系為________；直線與所夾的銳角為_________；類比探究：（2）與同為等腰直角三角形，其他條件同（1），請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；拓展延伸：（3）中，為的中位線，將繞點(diǎn)逆時針自由旋轉(zhuǎn)，已知，在自由旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)在一條直線上時，請直接寫出的值．12．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在復(fù)習(xí)線段垂直平分線性質(zhì)時，提出了以下幾個問題，請你幫他們解決：[數(shù)學(xué)理解](1)點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，則的值為；[拓展延伸](2)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．(3)經(jīng)小組探究發(fā)現(xiàn)，如圖，延長線段到點(diǎn)，使，以點(diǎn)為因心，長為半徑作園，則對于上任一點(diǎn)，都有，請你證明這個結(jié)論：[問題解決](4)如圖，某人乘船以25千米/時的速度沿一筆直的河從碼頭到碼頭，再立即坐車沿一筆直公路以75千米/時的速度回到住處，已知乘船和坐車所用的時間相等請在河邊上確定碼頭的位置．(請畫出示意圖并簡要說明理由)13．我們定義：連結(jié)凸四邊形一組對邊中點(diǎn)的線段叫做四邊形的“準(zhǔn)中位線”．（1）概念理解：如圖1，四邊形中，為的中點(diǎn)，，是邊上一點(diǎn)，滿足，試判斷是否為四邊形的準(zhǔn)中位線，并說明理由．（2）問題探究：如圖2，中，，，，動點(diǎn)以每秒1個單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)以每秒6個單位的速度，從點(diǎn)出發(fā)沿射線運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動至點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．為線段上任意一點(diǎn)，連接并延長，射線與點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的兩邊分別相交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為．問為何值時，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．（3）應(yīng)用拓展：如圖3，為四邊形的準(zhǔn)中位線，，延長分別與，的延長線交于點(diǎn)，請找出圖中與相等的角并證明．14．定義：有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．（問題理解）(1)如圖1，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、CD．求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；（拓展探究）(2)如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由；（升華運(yùn)用）(3)如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點(diǎn)F．若CD＝6，DF＝2，求AF的長．15．（問題情境）（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AD邊上的一個動點(diǎn)，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG，連接DG、BE，則DG與BE的數(shù)量關(guān)系是；（類比探究）（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，點(diǎn)E是AD邊上的一個動點(diǎn)，以CE為邊在CE的右側(cè)作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，連接DG、BE．判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（拓展提升）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則2BG+BE的最小值為．16．綜合與實踐：利用矩形的折疊開展數(shù)學(xué)活動，探究體會圖形在軸對稱，旋轉(zhuǎn)等變換過程中的變化，及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法．動手操作：如圖①，矩形紙片ABCD的邊AB＝2，將矩形紙片ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF，然后展開，EF與AC交于點(diǎn)H；如圖②，將矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，展開圖形，折痕為AG，連接GH；若在圖①中連接BH，得到如圖③，點(diǎn)M是線段BH上的動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AH上的動點(diǎn)，連接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH；若在圖②中連接BH，交折痕AG于點(diǎn)Q，隱去其它線段，得到如圖④．解決問題：（1）在圖②中，∠ACB＝，BC＝，＝，與△ABG相似的三角形有個；（2）在圖②中，AH2＝AE·（從圖②中選擇一條線段填在空白處），并證明你的結(jié)論；（3）在圖③中，△ABH為三角形，設(shè)BM為x，則NH＝（用含x的式子表示）；拓展延伸：（4）在圖④中，將△ABQ繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，連接DQ′，則DQ′的最小值為，當(dāng)tan∠CBQ′＝時，△DBQ′的面積最大值為．17．（1）問題探究：如圖1，△ABC，△ADE均為等邊三角形，連接BD、CE，試探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）類比延伸如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，連接BD，CE，試確定BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展遷移如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若將線段DA繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA′，連接BA′，求線段BA′的長．18．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接、，的值為______；（類比探究）（2）如圖2所示，在（1）的條件下，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的值會發(fā)生改變嗎？說明你的理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，在鈍角中，，，點(diǎn)在邊的延長線上，，連接．將線段繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，連接，則______（請用含有，的式子表示）．19．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．求證：；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，若，，求的長．20．已知：如圖1所示將一塊等腰三角板BMN放置與正方形ABCD的重合，連接AN、CM，E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（觀察猜想）（1）CM與BE的數(shù)量關(guān)系是________；CM與BE的位置關(guān)系是________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板BMN繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段CM與BE的關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、二次函數(shù)壓軸題1．探究：（1）；（2）①，②的面積的最大值是，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，拓展：.【分析】（1）由待定系數(shù)法易求解析式；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由可得關(guān)于t的二次函數(shù)，進(jìn)而可求最大值.（3）根據(jù)拋物線與MN的位置關(guān)系可知當(dāng)拋物線經(jīng)過M點(diǎn)時，a取最大值.【詳解】探究：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得.∴拋物線的表達(dá)式為.（2）①過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)直線的解析式為，將、代入，，解得：，∴直線的解析式為.∵點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴.②∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，.∴的面積的最大值是，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.[拓展]：拋物線y=ax2?2x+3(a<0),當(dāng)x=1時，y=a-2+3=a+1＜3，故拋物線右邊一定與MN有交點(diǎn)，當(dāng)x=-1，y=a+2+3=a+5，在M點(diǎn)或下方時，拋物線左邊邊一定與MN有交點(diǎn)，即a+5≤3；∴；【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形面積的計算，極值的確定，關(guān)鍵是確定出拋物線解析式，難點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合確定a點(diǎn)的求值范圍．2．A解析：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）存在，，；（3）或或.【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化為頂點(diǎn)式可求得結(jié)果.（2）先求出BC所在直線的解析式，設(shè)出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形可分類討論，分為AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ三種情況.（3）分兩種情況討論，一是F在拋物線上方，過點(diǎn)作軸，可得FH=4，設(shè)，可得，求出n代入即可；二是F在拋物線下方，可得，求出n的值即可，最后的結(jié)果綜合兩個結(jié)果即可.【詳解】解：（1）∵當(dāng)時，,∴;∴，;二次函數(shù)過點(diǎn)、，設(shè);∵過點(diǎn),∴;∴;∴;∵,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）存在.設(shè)過、,;設(shè)解得：;∴;設(shè)、;在中，解得;①當(dāng)時;;解得：（不合題意舍去），;∴;②當(dāng)時;;解得：，（不合題意舍去）;∴;③當(dāng)時;;解得：（不合題意舍去）;∴，;（3）當(dāng)在拋物線上方時，，時;過點(diǎn)作軸，與全等;則;設(shè);則;解得；，；或;當(dāng)在拋物線下方時，;（不合題意舍去），;∴;∴或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確分析題目條件，利用了等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.3．A解析：（1）見解析；（2）①，；②x=3或x=-1；③2；④【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像的畫法，從左至右依次連接個點(diǎn)，即可解決；（2）①根據(jù)A點(diǎn)與B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決即可；根據(jù)C點(diǎn)與D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)圖像解決即可.②當(dāng)時，判斷其所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)解析式計算解決即可.③由圖可知時，所以兩點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，然后根據(jù)函數(shù)的對稱性解決即可.④結(jié)合函數(shù)圖像，與函數(shù)圖象有三個不同的交點(diǎn)，可知必須與兩函數(shù)圖像分別相交才可以，據(jù)此解決即可；【詳解】解：如圖所示：，，A與B在上，y隨x的增大而增大，；，，C與D在上，觀察圖象可得；②當(dāng)時，，不符合；當(dāng)時，，或；，在的右側(cè)，時，點(diǎn)關(guān)于對稱，，；④由圖象可知，當(dāng)與分段函數(shù)分別相交時才會有三個不同的交點(diǎn)，觀察函數(shù)圖像y＞0，且y＜2，故a的取值范圍為.4．【初步嘗試】（0，0），（2，0）；【類比探究】①如圖所示：②函數(shù)圖象的性質(zhì)：1．圖象關(guān)于y軸對稱；2．當(dāng)x取1或﹣1時，函數(shù)有最小值﹣1；【深入探究】k≤﹣5或k≥5．【詳解】【分析】【初步嘗試】利用配方法將y=x2﹣2x化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程x2﹣2x=0，求出x的值，即可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；【類比探究】①根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線，即可得到該函數(shù)圖象的另一部分；②根據(jù)畫出的圖象，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；【深入探究】根據(jù)圖象可知y1≤0時，﹣2≤m≤2；y2≥3時，m+k≤﹣3或m+k≥3，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出k的取值范圍.【詳解】【初步嘗試】∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1）；令y=0，則x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2，∴此拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（2，0）；【類比探究】①如圖所示：②函數(shù)圖象的性質(zhì)：圖象關(guān)于y軸對稱；當(dāng)x取1或﹣1時，函數(shù)有最小值﹣1；【深入探究】根據(jù)圖象可知，當(dāng)y1≤0時，﹣2≤m≤2，當(dāng)y2≥3時，m+k≤﹣3或m+k≥3，則k≤﹣5或k≥5，故k的取值范圍是k≤﹣5或k≥5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.5．（1）0；（2）圖見解析；（3）①3；②【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；（2）利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象即可；（3）①觀察圖象找出圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)即可求解；②觀察圖象，找出圖象與平行于x軸直線的交點(diǎn)個數(shù)為4個時對應(yīng)y的取值范圍即可．【詳解】（1）x=-2時，m=（-2）2-=0；故答案為：0；（）如圖所示（）①觀察圖象，可知與x軸有三個交點(diǎn)，所以有三個根，分別是、、；即答案為3；②∵關(guān)于的方程有四個根，∴函數(shù)的圖象與y=a有四個交點(diǎn)，由函數(shù)圖象知：的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程，其中觀察函數(shù)圖像的能力是解答本題的關(guān)鍵．6．F解析：（1）拋物線的表達(dá)式為；（2）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入解析式，轉(zhuǎn)化為方程組求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用含有m的代數(shù)式表示PF，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題求解即可；（3）利用構(gòu)造平行線法，三角形全等法，構(gòu)造出符合題意的角，后利用交點(diǎn)思想求解即可．【詳解】解：（1）拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，解得拋物線的表達(dá)式為．（2）∵拋物線的表達(dá)式為．對稱軸為直線，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．令，代入拋物線的表達(dá)式，得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．在中，，．．設(shè)直線的表達(dá)式為，由經(jīng)過，解得∴直線的表達(dá)式為．如答圖，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則．軸，，．．．．當(dāng)時，．（3）存在，理由如下：①在x軸的正半軸上取一點(diǎn)E，使得OA=OE=1，則點(diǎn)E（1,0），∵OA=OE，∠AOC=∠EOC=90°，CO=CO，∴△AOC≌△EOC，∴∠ACO=∠ECO，過點(diǎn)B作BP∥CE，交拋物線y=于點(diǎn)P，∴∠PBC=∠ECB，∵C（0，3），B（3，0），∴OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，∵∠OCB=∠ECB+∠ECO=∠PBC+∠ACO，∴∠ABC=∠PBC+∠ACO，設(shè)直線CE的解析式為y=kx+3，把點(diǎn)E（1,0）代入解析式，得k+3=0，解得k=-3，∴直線CE的解析式為y=-3x+3，∵BP∥CE，∴設(shè)直線BP的解析式為y=-3x+b，把點(diǎn)B（3,0）代入解析式，得-9+b=0，解得b=9，∴直線BP的解析式為y=-3x+9，∴-3x+9=，解得x=2，或x=3（與B重合，舍去）當(dāng)x=2時，y=-3x+9=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；②在y軸的正半軸上取一點(diǎn)Q，使得OA=OQ=1，則點(diǎn)Q（0,1），∵OA=OQ，∠AOC=∠QOB=90°，CO=BO，∴△AOC≌△QOB，∴∠ACO=∠QBO，延長BQ交拋物線y=于點(diǎn)P，∵∠ABC=∠PBC+∠QBO，∴∠ABC=∠PBC+∠ACO，設(shè)直線BQ的解析式為y=mx+1，把點(diǎn)B（3,0）代入解析式，得3m+1=0，解得m=-，∴直線BQ的解析式為y=-x+1，∴-x+1=，解得x=，或x=3（與B重合，舍去）當(dāng)x=時，y=-x+1=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)，一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確表示PF，利用構(gòu)造平行線，三角形全等，確定滿足條件的P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．7．A解析：（1）；（2）的最大值為；（3）或【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）構(gòu)造出△AGE∽△DEH，可得，而DE和AG都可以用含自變量的式子表示，最后用二次函數(shù)最大值的方法求值．（3）先發(fā)現(xiàn)△ABC是兩直角邊比為2：1的直角三角形，由△BPQ∽△CAB，構(gòu)造出△BPQ，表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解即可．【詳解】解：（1）分別將C（0，1）、A（﹣，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+c中得，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）過A作AG∥y軸交BC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH∥y軸交BC于點(diǎn)H，∵B（2，0）C（0，1），∴直線BC：y＝x+1，∵A（-，0），∴G（-，），設(shè)D（），則H（），∴DH＝（）﹣（），＝﹣m2+2m，∴AG=，∵AG∥DH，∴，∴當(dāng)m＝1時，的最大值為．（3）符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（）．∵l∥BC，∴直線l的解析式為：y＝-x，設(shè)P（n，-n），∵A（-，0），B（2，0），C（0，1），∴AC2＝，BC2＝5，AB2＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∵△BPQ∽△CAB，∴，分兩種情況說明：①如圖3，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵∠PNB＝∠BMQ＝90°，∠NBP+∠MBQ＝90°，∠MQB+∠MBQ＝90°，∴∠NBP＝∠MQB．∴△NBP∽△MQB，∴，∵，∴，∴BN＝2﹣n，∴BM＝2PN＝n，QM＝2BN＝4﹣2n，∴OM＝OB+BM＝2+n，∴Q（2+n，2n﹣4），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，2n2+9n﹣8＝0，解得：∴P()．②如圖4，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵△PNB∽△BMQ，又∵△BPQ∽△CAB，∴，∵，∴Q（2﹣n，4﹣2n），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，化簡得：2n2﹣9n+8＝0，解得：，∴P()．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程的關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．A解析：（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）；（2）存在，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【分析】(1)解方程，可求得A、B的坐標(biāo)，令，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)利用勾股定理計算出，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為，可設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），分三種情況討論：當(dāng)CQ＝AC時，當(dāng)AQ＝AC時，當(dāng)AQ＝QC時，然后分別解方程求出m即可得到對應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】(1)當(dāng)，，解得x1＝﹣2，x2＝4，所以，，x＝0時，y＝﹣8，∴；(2)設(shè)直線BC的解析式為，把，代入解析式得：，解得，∴直線BC的解析式為，設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），當(dāng)CQ＝CA時，，解得，，（舍去）；∴Q，當(dāng)AQ＝AC時，，解得：（舍去），m2＝0（舍去）；當(dāng)QA＝QC時，，解得，∴Q．綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會利用勾股定理表示線段之間的關(guān)系，會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．9．C解析：（1）；（2）2；（3）【分析】（1）先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)正方形AMBN的對角線長為2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），再用點(diǎn)M（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)拋物線C1，C2的頂點(diǎn)相同，得出b，d的關(guān)系式，再由兩拋物線的頂點(diǎn)在x軸，求出c，e的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）解：（1）∵y＝x2?4x＋7＝（x?2）2＋3，∴頂點(diǎn)為（2，3），∴其“對頂”拋物線的解析式為y＝?（x?2）2＋3，即y＝?x2＋4x?1；（2）如圖，由（1）知，A（2，3），設(shè)正方形AMBN的對角線長為2k，則點(diǎn)B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），∵M(jìn)（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，∴3＋k＝（2＋k?2）2＋3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面積為×(2k)2＝2；（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為（，），拋物線C2：y＝?ax2＋dx＋e的頂點(diǎn)為（，），∵拋物線C2是C1的“對頂”拋物線，∴，∴，∵拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，正方形的性質(zhì)，理解新定義式解本題的關(guān)鍵．10．B解析：（1）；（2）P（2，1）；（3），，，【分析】（1）求出點(diǎn)B，帶入求解即可；（2）設(shè)，，，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)列式計算即可；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)分類討論即可；【詳解】（1）令，解得：，∴，令，則，∴，把，代入中，∴，∴，，∴；（2）設(shè)，，，∵Q為PD中點(diǎn)，∴，∴，∴，（舍），∴；（3）①如圖，由題意可得：為菱形的邊，為菱形的對角線，由（2）可得：，，設(shè)，，由可得：整理得：解得：檢驗：不合題意舍去，取如圖，為菱形的邊，同理可得：或②如圖，當(dāng)為對角線時，由，，可得：重合，重合時，四邊形為菱形，綜上：，，，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，結(jié)合菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和一元二次方程的求解是解題的關(guān)鍵．二、中考幾何壓軸題11．（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形解析：（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可推出，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出直線與所夾的銳角為45°，與（1）結(jié)論不符．（3）此問需要分兩種情況討論，一種情況是當(dāng)在直線上，該種情況需要先證明，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出；另一種情況是，當(dāng)在直線下，先證明，從而證明四邊形為矩形，最后求出．【詳解】解：（1）；60°解答如下：如圖１，與為等邊三角形，，在與中，，故答案為：；直線與所夾的銳角為60°．（2）不成立理由如下：與為等腰直角三角形，，，，即：，在與中，故（1）中的結(jié)論不成立；（3）的長度為2或4；①點(diǎn)在直線上方時如圖4，，，②點(diǎn)在直線下方時，如圖5，∥根據(jù)題意，易證四邊形為矩形，，故答案為綜上可得的長度為2或4【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的三邊關(guān)系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定及性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，從而證明三角形全等是解答該小問的關(guān)鍵．（2）根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系，證明兩個三角形相似是解答第二問的關(guān)鍵，重點(diǎn)掌握相似三角形的判定方法．（3）解答本題時，首先要認(rèn)識到旋轉(zhuǎn)過程中滿足題意的兩種情況，其次證明過程可參考上面的證明過程，最后如何判定四邊形為矩形也是解答最后一題第二種情況的關(guān)鍵．12．（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求解析：（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置，畫出示意圖見解析；簡要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求出的長，再根據(jù)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，根據(jù)推出，從而推出，證明，即可證明；（4）在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長線上作點(diǎn)，使，以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.同（3）證明即可證明結(jié)論.【詳解】（1）∵點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn)，∴，∴，故答案為：1；（2）∵∴，∵，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或；（3）如圖，連接，∵，，∴，∵的半徑為，∴，∴.∴，∴.∵，∴，∴.∴.（4）如圖，在線段上作點(diǎn)，使，在線段的延長線上作點(diǎn)，使.以的中點(diǎn)為圓心，為半徑作，則與河邊的交點(diǎn)為所求點(diǎn)的位置.簡要理由:由于水路速度為陸路速度的，且時間相等，所以水路的距離必為陸路距離的，即需，連接，同(3)可證，∵，，∴，∴，∴，同理可得，∴又∵，由此，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確的理解題意畫出圖形和作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.13．（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點(diǎn)F為CD中點(diǎn),即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．則M、N一定是中點(diǎn)，再分兩種情況討論：和，根解析：（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點(diǎn)F為CD中點(diǎn),即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．則M、N一定是中點(diǎn)，再分兩種情況討論：和，根據(jù)平行線分線段成比例列方程即可求解；（3）連接，取的中點(diǎn)，連接，得兩條中位線，根據(jù)中位線定理，得平行，可找到相等角和線段，從而可得是等腰三角形，進(jìn)而可得．【詳解】解：（1）是四邊形的準(zhǔn)中位線，理由如下：∵，∴．又∵，，∴，∴，∴．又∵為中點(diǎn)，∴為四邊形的準(zhǔn)中位線．（2）當(dāng)為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線時．①如圖，當(dāng)時，則需滿足且為中點(diǎn)．∴，解得：；②如圖，當(dāng)時，則需滿足且為中點(diǎn)．∴，解得：，．綜上：當(dāng)或或時，為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線．（3）．證明如下：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，．，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴．∵分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴．∵，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題圍繞線段的中點(diǎn)考查了等腰三角形判定及性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形中位線等知識點(diǎn)，考查范圍廣，綜合性強(qiáng)．解（2）的關(guān)鍵是由準(zhǔn)中位線圖形特征得出四邊形有一組對邊平行，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造出和中位線定理相關(guān)的圖形．14．(1)見解析；(2)AC平分∠BCD，理由見解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的解析：(1)見解析；(2)AC平分∠BCD，理由見解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長線于點(diǎn)F，證△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；

（3）連接AC，先證∠EAD=∠BCD，推出∠FCA=∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等可求出AF的長．【詳解】(1)證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°.∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD∴弧AD＝弧CD∴AD＝CD∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形(2)AC平分∠BCD，理由如下：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F則∠AEB＝∠AFD＝90°∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形∴∠ADC+∠B＝180°又∵∠ADC+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADF在△AFD與△AEB中∴≌∴∴點(diǎn)A一定在∠BCD的平分線上即AC平分∠BCD.(3)連接AC同(2)理得∠EAD＝∠BCD由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝∠BCD同理∠FAD＝∠EAD∴∠FCA＝∠FAD.又∵∠F＝∠F∴△FAD∽△FCA∴即∴AF＝4【點(diǎn)睛】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過自主學(xué)習(xí)來進(jìn)行探究，運(yùn)用等．15．（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長BE解析：（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長BE、GD相交于點(diǎn)H．因為矩形ECGF，所以∠FEC=∠FGC=90°，所以∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，所以∠H=∠F=90°，所以DG⊥BE．（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．首先證明點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是線段GM，將2BG+BE的最小值轉(zhuǎn)化為求2（BG+DG）的最小值．【詳解】（1）DG=BE理由：∵正方形ABCD，∴CD=CB，∠BCD=90°∵正方形ECGF，∴CG=CE，∠ECG=90°∴∠ECG=∠BCD=90°∴∠DCG=∠BCE在△DCG和△BCE中∴△DCG≌△BCE（SAS）∴DG=BE（2），DG⊥BE．理由如下：延長BE、GD相交于點(diǎn)H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE，∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，∴CD：CB=CG：CE，∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC=∠DGC，∴∵矩形ECGF∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°∴DG⊥BE（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．易證△ECN∽△CGM，∴，∵EN=AB=2，∴CM=1，∴點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線MG，作點(diǎn)D關(guān)于直線GM的對稱點(diǎn)G′，連接BG′交GM于G，此時BG+GD的值最小，最小值=BG′由（2）知，∴BE=2DG∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′=，∴2BG+BE的最小值為4故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．16．（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可解析：（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可得AG=CG，∠GCH=∠GAH，可求∠ACB=30°，利用三角函數(shù)可求BC=，AG=4，BF=FC=，可求，與△ABG相似的三角形由7個；（2）由EF為折痕，可證△AEH∽△AHG，可得即可；（3）由四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對角線AC中點(diǎn)，可證△ABH為等邊三角形，再證△ABM∽△MHN，可得即可；（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時，Q′D最小，先求BC=，AQ′=，可求Q′D最小=，當(dāng)BQ′⊥BD時，△BDQ′面積最大∠CBQ′=60°，S△BDQ′最大=．【詳解】解（1）∵點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，∴AC=2AH，∵折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，∴AB=AH=2，BG=HG，∠BAG=∠HAG=，∠B=∠AHG，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°，∴∠AHG=∠B=90°，∴GH為AC的垂直平分線，∴AG=CG，∠GCH=∠GAH，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH，∵∠BAH+∠BCH=180°-∠B=90°，∴3∠ACB=90°∴∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH=30°，∴tan30°=，AB=2，∴BC=，∵tan∠BAG=tan30°=，∴BG=，∴AG=2BG=4，BF=FC=，∴GF=BF-BG=3-2=1，∴，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GHF=∠HCF=∠GCH=∠EAH=∠DAC=∠BCA=30°，∵∠B=∠AHG=∠HFG=∠HFC=∠AEH=∠D=∠GHC=∠CBA=90°，∴△ABG∽△AHG∽△HFG∽△CFH∽△CHG∽△AEH∽△ADC∽△CBA，∴與△ABG相似的三角形由7個，故答案為：30°；6；4；7；（2）∵EF為折痕，∴EH⊥AD，∵∠EAH=∠HAG=30°∠AHG=∠AEH=90°∴△AEH∽△AHG，∴，∴故答案為AG；（3）∵四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對角線AC中點(diǎn)，∴AH=CH=BH，由圖2知AB=AH，∴AH=BH=AB，∴△ABH為等邊三角形，∴∠ABH=∠AHB=60°，∵∠AMN＝∠ABH；∴∠AMN＝∠ABH=∠AHB=60°，∴∠BAM+∠AMB=180°-∠ABH=120°，∠AMB+∠NMH=180°-∠AMN=120°，即∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠NMH，∴∠BAM=∠NMH，∴△ABM∽△MHN，∴，∵AB=，MH=，∴，∴，故答案為：等邊；，（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時，Q′D最小∵AB=2，AD=BC=6，∴BC=∵AQ′=Q′H=∴Q′D最小=當(dāng)BQ′⊥BD時，△BDQ′面積最大∵tan∠DAC=，∴∠DAC=30°，∴∠CBQ′=90°-∠DBC=90°-30°=60°∴tan∠CBQ'=S△BDQ′最大=；故答案為；；6．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積，掌握查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積求法是解題關(guān)鍵．17．（1）BD＝CE；理由見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）A′B＝．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，則∠EAC=∠DAB，再證△E解析：（1）BD＝CE；理由見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）A′B＝．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，則∠EAC=∠DAB，再證△EAC≌△DAB（SAS），即可得出結(jié)論；（2）證△EAD∽△CAB，得到，則△EAC∽△DAB，得=2，即可得出結(jié)論；（3）先證明△ABC和△AA′D為等腰直角三角形，得，再證∠A′AB=∠DAC，從而可證明△CAD∽△BAA'，最后利用相似三角形的性質(zhì)可求得A′B的長度．【詳解】解：（1）∵△ABC、△ADE均為等邊三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°，∴∠EAC＝60°﹣∠CAD，∠DAB＝60°﹣∠CAD，∴∠EAC＝∠DAB，在△EAC與△DAB中，∴△EAC≌△DAB，∴BD＝CE；（2）BD＝2CE，理由：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴∠EAD＝∠CAB＝60°，AD＝2AE，AB＝2AC，∴∠EAC＝∠DAB，△EAD∽△CAB，∴，∴△EAC∽△DAB，∴，∴BD＝2CE；（3）連接A′A，如圖③，∵AC⊥BC，且AC＝BC，∴△ABC為等腰直角三角形．∴，∵將線段DA繞點(diǎn)D按逆時針方形旋轉(zhuǎn)90°得到DA′∴△AA′D為等腰直角三角形．∴△ABC∽△AA′D．∴．∴．又∵∠CAB＝∠A′AD，∴∠A′AB＝∠DAC，∴△CAD∽△BAA′．∴，即，∴A′B＝．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證得相似三角形是解題的關(guān)鍵．18．（1）；（2）BE+BD的值不會發(fā)生改變，理由見解答；（3）2k?sin【分析】（1）只要證明，即可解決問題；（2）如圖2中，作交于，過點(diǎn)作交于．利用（1）中結(jié)論即可解決問題；（3）如圖③中解析：（1）；（2）BE+BD的值不會發(fā)生改變，理由見解答；（3）2k?sin【分析】（1）只要證明，即可解決問題；（2）如圖2中，作交于，過點(diǎn)作交于．利用（1）中結(jié)論即可解決問題；（3）如圖③中，作交的延長線于，作于．只要證明，可證，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，，，，，，，，，，，，故答案為：．（2）的值不會發(fā)生改變，理由如下：作交于，過點(diǎn)作交于，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，由（1），知，，，，為邊上的中點(diǎn)，，，，，，，，，，；（3）如圖3中，作交的延長線于，作于．，，，，，，，，，，，，，，，，，，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．19．（1）見解析；（2）；見解析；（3）【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題；（2）如圖2中，作GM⊥AB于M．然后證明△ABE∽△GM解析：（1）見解析；（2）；見解析；（3）【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題；（2）如圖2中，作GM⊥AB于M．然后證明△ABE∽△GMF即可解決問題；（3）如圖3中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問題．【詳解】（