知識點1：勻變速直線運動的規(guī)律及應用考點一：解決勻變速直線運動的常用方法【知識思維方法技巧】（1）解決勻變速直線運動的基本思路：eq\x(\a\al(畫過程,示意圖))→eq\x(\a\al(判斷運,動性質))→eq\x(\a\al(選取,正方向))→eq\x(\a\al(選用公式,列方程))→eq\x(\a\al(解方程并,加以討論))注意：無論是勻加速直線運動還是勻減速直線運動，通常以初速度v0的方向為正方向；當v0＝0時，一般以加速度a的方向為正方向．速度、加速度、位移的方向與正方向相同時取正，相反時取負。（2）解決勻變速直線運動的常用方法：題型一：應用基本公式及推論式解決勻變速直線運動問題【知識思維方法技巧】一般情況下用兩個基本公式可以解決，當遇到以下特殊情況時，用導出公式會提高解題的速度和準確率：不涉及時間，可用v2－v02＝2ax。不涉及加速度a，可用x＝eq\x\to(v)t，；不涉及末速度v，可用x＝v0t＋eq\f(1,2)at2。一般有幾個未知量列幾個方程，列方程時盡量共用未知量，以減少未知量的使用個數，減少方程數?！镜淅?提高題】一質點做勻加速直線運動時，速度變化Δv時發(fā)生位移x1，緊接著速度變化同樣的Δv時發(fā)生位移x2，則該質點的加速度為()A．(Δv)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2))) B．eq\f(2（Δv）2,x2－x1)C．(Δv)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2))) D．eq\f(（Δv）2,x2－x1)【典例1提高題】【答案】D【解析】質點做勻加速直線運動，設質點初速度為v0，發(fā)生位移x1時速度為v0＋Δv，緊接著發(fā)生位移x2時速度為v0＋2Δv，質點的加速度為a；由運動學公式有(v0＋Δv)2－veq\o\al(2,0)＝2ax1；(v0＋2Δv)2－(v0＋Δv)2＝2ax2；由以上兩式解得a＝eq\f(（Δv）2,x2－x1)，選項D正確。【典例1提高題對應練習】沿平直軌道勻加速行駛的長度為L的列車，保持加速度不變通過長為L的橋梁，車頭駛上橋頭時的速度為v1，車頭經過橋尾時的速度為v2，則車尾通過橋尾時的速度為()A．v1·v2B.eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))C.eq\r(2v\o\al(2,2)＋v\o\al(2,1)) D.eq\r(2v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1))【典例1提高題對應練習】【答案】D【解析】由勻變速直線運動推論式，veq\o\al(2,2)－veq\o\al(2,1)＝2aL，v2－veq\o\al(2,2)＝2aL，聯立解得：v＝eq\r(2v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1))，選項D正確．題型二：應用平均速度法解決勻變速直線運動問題【知識思維方法技巧】若知道勻變速直線運動多個過程的運動時間及對應時間內的位移，常用平均速度法?！镜淅?提高題】一物體做勻加速直線運動，通過一段位移Δx所用的時間為t1，緊接著通過下一段位移Δx所用的時間為t2，則物體運動的加速度為()A．eq\f(2Δx（t1－t2）,t1t2（t1＋t2）)B．eq\f(Δx（t1－t2）,t1t2（t1＋t2）)C．eq\f(2Δx（t1＋t2）,t1t2（t1－t2）) D．eq\f(Δx（t1＋t2）,t1t2（t1－t2）)【典例2提高題】【答案】A【解析】勻變速直線運動中間時刻的瞬時速度等于該段的平均速度，即v1＝eq\f(Δx,t1)，v2＝eq\f(Δx,t2)，則a＝eq\f(v2－v1,t)＝eq\f(\f(Δx,t2)－\f(Δx,t1),\f(t1＋t2,2))＝eq\f(2Δx（t1－t2）,t1t2（t1＋t2）)。故A正確?！镜淅?提高題對應練習】質點在做勻變速直線運動，依次經過A、B、C、D四點。已知質點經過AB段、BC段和CD段所需的時間分別為t、3t、5t，在AB段和CD段發(fā)生的位移分別為x1和x2，則該質點運動的加速度為()A．eq\f(x2－x1,t2)B．eq\f(x2－5x1,30t2)C．eq\f(x2－3x1,12t2) D．eq\f(x2－3x1,18t2)【典例2提高題對應練習】【答案】B【解析】AB中間時刻的速度v1＝eq\f(x1,t)，CD段中間時刻速度v2＝eq\f(x2,5t)，加速度a＝eq\f(v2－v1,6t)＝eq\f(x2－5x1,30t2)，故B正確，A、C、D錯誤。題型三：應用位移差法解決勻變速直線運動問題【知識思維方法技巧】（1）連續(xù)相等的相鄰時間間隔T內的位移差相等即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.（2）不相鄰相等的時間間隔T內的位移差xm－xn＝(m－n)aT2【典例3提高題】從固定斜面上的O點每隔0.1s由靜止釋放一個同樣的小球．釋放后小球做勻加速直線運動．某一時刻，拍下小球在斜面滾動的照片，如圖所示．測得相鄰小球位置間的距離xAB＝4cm，xBC＝8cm.已知O點與斜面底端的距離為l＝35cm.由以上數據可以得出()A.小球的加速度大小為12m/s2 B.小球在A點的速度為0C.斜面上最多有5個小球在滾動 D.該照片是距A點處小球釋放后0.3s拍攝的【典例3提高題】【答案】C【解析】根據Δx＝aT2可得小球的加速度大小為a＝＝m/s2＝4m/s2，選項A錯誤；小球在B點時的速度大小vB＝＝m/s＝0.6m/s，小球在A點時的速度大小為vA＝vB－aT＝0.6m/s－4×0.1m/s＝0.2m/s，選項B錯誤；tA＝＝s＝0.05s，即該照片是距A點小球釋放后0.05s拍攝的，選項D錯誤；當最高點的球剛釋放時，最高處兩球之間的距離為x1＝aT2＝×4×0.12m＝0.02m＝2cm，根據初速度為零的勻加速直線運動的規(guī)律可知，各個球之間的距離之比為1∶3∶5∶7∶9…，則各個球之間的距離分別為2cm,6cm,10cm,14cm,18cm…，因為O點與斜面底端距離為35cm，而前5個球之間的距離之和為32cm，斜面上最多有5個球，選項C正確．【典例3提高題對應練習】一質點做勻加速直線運動，位移為x1時，速度的變化量為Δv；緊接著位移為x2時，速度的變化量仍為Δv.則質點的加速度為()A．(Δv)2(eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2))B．(Δv)2(eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2))C.eq\f(Δv2,x2－x1) D.eq\f(Δv2,x2＋x1)【典例3提高題對應練習】【答案】C【解析】在勻變速直線運動中，速度變化Δv所用的時間為t＝eq\f(Δv,a)，則可知質點通過位移x1和x2過程中所用時間相同，根據Δx＝at2得，x2－x1＝a·(eq\f(Δv,a))2，解得a＝eq\f(Δv2,x2－x1)，C正確．題型四：應用比例式法解決勻變速直線運動問題【知識思維方法技巧】初速度為零勻加速直線運動的四個重要比例式：（1）T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬時速度之比為v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.（2）前T內、前2T內、前3T內、…、前nT內的位移之比為x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2.（3）第1個T內、第2個T內、第3個T內、…、第n個T內的位移之比為xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．（4）從靜止開始通過連續(xù)相等的位移所用時間之比為t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))．【典例4提高題】如圖所示，a、b、c、d為光滑斜面上的四個點。一小滑塊自a點由靜止開始下滑，通過ab、bc、cd各段所用時間均為T。現讓該滑塊自b點由靜止開始下滑，則該滑塊()A.通過bc、cd段的時間均等于T B.通過c、d點的速度大小之比為∶C.通過bc、cd段的時間之比為1∶ D.通過c點的速度大于通過bd段的平均速度【典例4提高題】【答案】D【解析】由題意知，滑塊從a點由靜止下滑，經過各段的時間都是T，所以ab、bc、cd各段的長度之比為1∶3∶5，則bc、cd段的長度之比為3∶5，如果從b點開始由靜止下滑，bc段長度大于ab段長度，所以通過bc、cd段的時間均大于T，選項A錯誤；設bc段長度為3x，則cd段長度為5x，所以bd段長度為8x，滑塊下滑的加速度為a，滑塊從b點開始由靜止下滑，所以通過c點的速度為vc＝，通過d點的速度為vd＝，通過c、d點的速度大小之比為∶，選項B錯誤；滑塊從b點開始由靜止下滑，通過bc段的時間t1＝，通過cd段的時間t2＝－，通過bc、cd段的時間之比為∶(－)，選項C錯誤；對勻變速直線運動來說，平均速度等于中間時刻的瞬時速度，對初速度為零的勻加速直線運動來說，連續(xù)相等時間內的位移之比為1∶3，所以滑塊通過bc段的時間大于從b到d時間的二分之一，故通過c點的速度大于bd段的平均速度，選項D正確?！镜淅?提高題對應練習】一個質點從靜止開始做勻加速直線運動，它在第3s內與第6s內通過的位移之比為x1∶x2，通過第3個1m與通過第6個1m時的平均速度之比為v1∶v2，則()A.x1∶x2＝1∶4 B.x1∶x2＝5∶11C.v1∶v2＝1∶eq\r(2) D.v1∶v2＝eq\r(3)∶eq\r(6)【典例4提高題對應練習】【答案】B【解析】初速度為0的勻加速直線運動，質點在連續(xù)相等時間內通過的位移之比為xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故質點第3s內與第6s內通過的位移之比為x1∶x2＝xⅢ∶xⅥ＝5∶11，故A錯誤，B正確；初速度為0的勻加速直線運動，質點在通過連續(xù)相等的位移所用時間之比為t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))，故質點通過第3個1m與通過第6個1m時所用時間之比為t3∶t6＝(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(6)－eq\r(5))。根據平均速度公式eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(x,t)，可得質點通過第3個1m與第6個1m時的平均速度之比為v1∶v2＝eq\f(x,t3)∶eq\f(x,t6)＝(eq\r(3)＋eq\r(2))∶(eq\r(6)＋eq\r(5))，故C、D錯誤。題型五：應用逆向思維法解決勻減速直線運動問題【知識思維方法技巧】末速度為零的勻減速直線運動問題常用逆向思維法解題。注意：剎車模型指勻減速到速度為零后即停止運動，加速度a突然消失，求解時要注意確定其實際運動時間。類型一：剎車模型【典例5a提高題】一輛汽車以某一速度在郊區(qū)的水平路面上行駛，因前方交通事故緊急剎車而做勻減速直線運動，最后靜止，汽車在最初3s內通過的位移與最后3s內通過的位移之比為x1∶x2＝5∶3，汽車運動的加速度大小為a＝5m/s2，汽車制動的總時間為t，則()A．t>6sB．t＝6sC．4s<t<6s D．t＝4s【典例5a提高題】【答案】D【解析】設汽車剎車做勻減速直線運動的加速度大小為a，運動總時間為t，把汽車剎車的勻減速直線運動看成反向的初速度為0的勻加速直線運動，則汽車最后3s內通過的位移x2＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝eq\f(9,2)a，在最初3s內通過的位移x1＝eq\f(1,2)at2－eq\f(1,2)a(t－3)2＝eq\f(1,2)a(6t－9)，又x1∶x2＝5∶3，解得t＝4s，故A、B、C錯誤，D正確．【典例5a提高題對應練習】一輛汽車以40m/s的速度沿平直公路勻速行駛，突然前方有一只小狗穿過馬路，司機立即剎車，汽車以大小為8m/s2的加速度做勻減速直線運動，那么剎車后2s內與剎車后6s內汽車通過的位移大小之比為()A．7∶25B．16∶25C．7∶24 D．2∶3【典例5a提高題對應練習】【答案】B【解析】規(guī)定初速度方向為正方向，已知初速度v0＝40m/s，a＝－8m/s2，設汽車從剎車到停止所需的時間為t，根據勻變速直線運動速度時間公式有0＝v0＋at得：t＝eq\f(0－v0,a)＝5s，當t1＝2s＜t時，x1＝v0t1＋eq\f(1,2)at12＝64m，當t2＝6s＞t時，說明6s內汽車的位移等于汽車從剎車到停止的位移，x2＝eq\f(0－v02,2a)＝100m，故x1∶x2＝16∶25，故B正確，A、C、D錯誤.類型二：勻減速到0模型【典例5b提高題】一物體以某一初速度在粗糙的水平面上做勻減速直線運動，最后靜止．若物體在最初5s內通過的位移與最后5s內通過的位移大小之比為x1∶x2＝11∶5，物體運動的加速度大小為a＝1m/s2，則()A.物體運動的時間可能大于10sB.物體在最初5s內通過的位移與最后5s內通過的位移之差為x1－x2＝15mC.物體運動的時間為7sD.物體的初速度大小為10m/s【典例5b提高題】【答案】B【解析】把此過程看成逆向初速度為0的勻加速直線運動，設總運動時間為t，x2＝at22＝×1×52m＝12.5m，x1＝at2－a(t－5s)2＝(5t－12.5)m，＝，解得t＝8s，A、C錯誤；物體在最初5s內通過的位移與最后5s內通過的位移之差Δx＝x1－x2＝5t－25＝15m，B正確；物體的初速度大小v＝at＝8m/s2，D錯誤．【典例5b提高題對應練習】在奧運會上，我國運動健兒摘金奪銀，為國爭光．其中在跳水男子3米板決賽中，我國選手謝思埸奪得金牌！在某次比賽中，若將運動員入水后向下的運動視為勻減速直線運動，該運動過程的時間為8t.設運動員入水后向下過程中，第一個t時間內的位移大小為x1，最后兩個t時間內的總位移大小為x2，則x1∶x2為()A.17∶4 B.13∶4 C.15∶4 D.15∶8【典例5b提高題對應練習】【答案】C【解析】初速度為零的勻加速直線運動，在第一個t時間內、第二個t時間內、第三個t時間內……的位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…＝1∶3∶5∶…，將運動員的運動看作反向的初速度為零的勻加速直線運動，運動員運動總時間為8t，則第一個t時間內的位移可視為初速度為零的勻加速直線運動中，第八個t時間內的位移；最后兩個t時間內的總位移，可視為初速度為零的勻加速直線運動中，前兩個t時間內的位移．故x1∶x2＝15∶(1＋3)＝15∶4，故選C.題型六：應用待定系數法解決勻變速直線運動問題【知識思維方法技巧】由位移x與時間t的關系式可以聯想到位移時間關系，利用待定系數法求解?！镜淅?提高題】一質點沿直線運動，其平均速度與時間的關系滿足v＝2＋t(各物理量均選用國際單位制中單位)，則關于該質點的運動，下列說法正確的是()A．質點可能做勻減速直線運動B．5s內質點的位移為35mC．質點運動的加速度為1m/s2D．質點3s末的速度為5m/s【典例6提高題】【答案】B【解析】根據平均速度v＝eq\f(x,t)知，x＝vt＝2t＋t2，根據x＝v0t＋eq\f(1,2)at2＝2t＋t2知，質點的初速度v0＝2m/s，加速度a＝2m/s2，質點做勻加速直線運動，故A、C錯誤；5s內質點的位移x＝v0t＋eq\f(1,2)at2＝2×5m＋eq\f(1,2)×2×25m＝35m，故B正確；質點在3s末的速度v＝v0＋at＝2m/s＋2×3m/s＝8m/s，故D錯誤．【典例6提高題對應練習】質點做直線運動的位移x與時間t的關系為x=5t+t2（各物理量均采用國際單位制單位），則該質點（）A.第1s內的位移是5mB.前2s內的平均速度是6m/sC.任意相鄰的1s內位移差都是1mD.任意1s內的速度增量都是2m/s【典例6提高題對應練習】【答案】D【解析】根據質點直線運動的位移與時間的關系式x=5t+t2可知，質點做勻加速直線運動，初速度為5m/s，加速度為2m/s2，在第1s內的位移是x=6m，選項A錯誤，前2s內的平均速度為7m/s，選項B錯誤，因為是勻變速直線運動，任意相鄰的1s內的位移差都是2m，選項C錯誤，任意1s內的速度增量實質就是指加速度大小，選項D正確。題型七：應用等效轉換法解決線狀物體的勻變速直線運動問題【知識思維方法技巧】在涉及不能視為質點的研究對象問題時，應用“等效轉化”的思想方法轉換研究對象，將線狀物體的運動轉化為質點運動。如求列車通過某個路標的時間，可轉化為車尾(質點)通過與列車等長的位移所經歷的時間。類型一：勻加速直線運動模型【典例7a提高題】一列火車由靜止開始做勻加速直線運動，一個人站在第1節(jié)車廂前端的站臺上觀察，第1節(jié)車廂通過他歷時2s，全部車廂通過他歷時8s，忽略車廂之間的距離，每節(jié)車廂長度相等，求：（1）這列火車共有多少節(jié)車廂？（2）第9節(jié)車廂通過他所用時間為多少？【典例7a提高題】【答案】(1)16(2)0.34s【解析】(1)以火車為參考系，人做初速度為零的勻加速直線運動，根據初速度為零的勻加速直線運動的物體，連續(xù)通過相等位移所用時間之比為：1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…(eq\r(n)－eq\r(n)－1)，eq\f(t1,t)＝eq\f(1,1＋\r(2)－1＋\r(3)－\r(2)＋…＋\r(n)－\r(n－1))＝eq\f(1,\r(n))，所以eq\f(2,8)＝eq\f(1,\r(n))，n＝16.故這列火車共有16節(jié)車廂．(2)設第9節(jié)車廂通過他所用時間為t9，則eq\f(t1,t9)＝eq\f(1,\r(9)－\r(8))，t9＝(eq\r(9)－eq\r(8))t1＝(6－4eq\r(2))s＝0.34s.【典例7a提高題對應練習】已知商場中的無軌小火車由若干節(jié)相同的車廂組成，車廂間的空隙不計，現有一位小朋友站在地面上保持靜止與第一節(jié)車廂頭部對齊，火車從靜止開始啟動做勻加速直線運動，下列說法正確的是()A.第4、5、6節(jié)車廂經過小朋友的時間之比為2∶∶B.第4、5、6節(jié)車廂經過小朋友的時間之比為7∶9∶11C.第4、5、6節(jié)車廂尾通過小朋友瞬間的速度大小之比為4∶5∶6D.第4、5、6節(jié)車廂尾通過小朋友瞬間的速度大小之比為2∶∶【典例7a提高題對應練習】【答案】D【解析】根據初速度為零的勻加速運動通過連續(xù)相等位移的時間關系可知，第1、2、3、4、5、6……節(jié)車廂經過小朋友的時間之比為1∶(－1)∶(－)∶(2－)∶(－2)∶(－)∶…，即第4、5、6節(jié)車廂經過小朋友的時間之比為(2－)∶(－2)∶(－)，選項A、B錯誤；根據v2＝2aL可得第4、5、6節(jié)車廂尾通過小朋友瞬間的速度大小之比為∶∶＝2∶∶，選項C錯誤，D正確．類型二：勻減速直線運動模型【典例7b提高題】一名觀察者站在站臺邊，火車進站從他身邊經過，火車共10節(jié)車廂，當第10節(jié)車廂完全經過他身邊時，火車剛好停下．設火車做勻減速直線運動且每節(jié)車廂長度相同，則第8節(jié)和第9節(jié)車廂從他身邊經過所用時間的比值為()A．eq\r(2)∶eq\r(3)B．eq\r(3)∶eq\r(2)C．(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2)) D．(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)【典例7b提高題】【答案】D【解析】以火車為參考系，人做反方向末速度為零的勻減速直線運動，再運用逆向思維，將人的運動看成反向的初速度為零的勻加速直線運動；根據初速度為零的勻加速直線運動相同位移的時間比可知選項D正確．【典例7b提高題對應練習】某輛列車進站時，站在月臺上靜止不動的工作人員發(fā)現列車通過自己的時間為t，列車停止時自己剛好與車尾末端平齊。已知列車共有30節(jié)車廂(含車頭、車尾)，每節(jié)車廂長度相同，把列車進站過程的運動視為勻減速直線運動，則第25節(jié)車廂通過該工作人員所用的時間可表示為()A.t B.t C.t D.t【典例7b提高題對應練習】【答案】B【解析】設每節(jié)車廂長度為L，列車的加速度大小為a，將列車的勻減速運動逆向看作是反向的初速度為零且加速度大小不變的勻加速運動，則30L＝at2，設第25～30節(jié)車廂通過該工作人員的時間為t1，第26～30節(jié)車廂通過該工作人員的時間為t2，則6L＝at12,5L＝at22，第25節(jié)車廂通過該工作人員所用的時間為Δt＝t1－t2，解得Δt＝t，B正確。考點二：自由落體運動題型一：單物體自由下落的問題【知識思維方法技巧】求解自由落體運動的兩點注意：（1）要充分利用自由落體運動初速度為零的特點、比例關系及推論等規(guī)律解題．①從運動開始連續(xù)相等時間內的下落高度之比為1∶3∶5∶7∶…②從運動開始一段時間內的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(h,t)＝eq\f(v,2)＝eq\f(1,2)gt.③連續(xù)相等時間T內的下落高度之差Δh＝gT2.（2）物體由靜止開始的自由下落過程才是自由落體運動，從中間截取的一段運動過程不是自由落體運動，等效于豎直下拋運動，應該用初速度不為零的勻變速直線運動規(guī)律去解決此類問題．類型一：單個物體自由落體運動模型【典例1a提高題】物體從某高處自由下落，下落過程中經過一個高為5m的窗戶，窗戶的上邊緣距釋放點為20m，已知它在落地前1s內共下落45m，g＝10m/s2，物體可視為質點，下列說法中正確的是()A.物體落地前2s內共下落80mB.物體落地時速度為45m/sC.物體下落后第1s內、第2s內、第3s內，每段位移大小之比為1∶2∶3D.物體經過窗戶所用的時間為(－)s【典例1a提高題】【答案】A【解析】設下落時間為t，最后1s內的位移可以表示為x＝gt2－g(t－1)2＝45m，解得t＝5s，根據自由落體運動規(guī)律：落地前2s內共下落的總高度為h＝gt2－g(t－2)2＝×10×52m－×10×(5－2)2m＝80m，故A正確；根據速度與時間的關系可知落地的速度為v＝gt＝10×5m/s＝50m/s，故B錯誤；自由落體運動是初速度為0的勻加速直線運動，所以在連續(xù)相等的時間內，即下落后第1s內、第2s內、第3s內，每段位移大小之比為1∶3∶5，故C錯誤；設物體到達窗戶的上邊緣的時間為t1，則h1＝gt12，可得t1＝＝s＝2s，設物體到達窗戶的下邊緣的時間為t2，則t2＝＝s＝s，所以物體經過窗戶所用的時間為Δt＝t2－t1＝(－2)s，故D錯誤．【典例1a提高題對應練習】蘋果從某一高度靜止釋放，已知落地前倒數第二秒內的位移是10m，蘋果的運動視作自由落體運動，重力加速度為10m/s2，則蘋果釋放的高度為（）A．45m B．36.75m C．31.25m D．11.25m【典例1a提高題對應練習】【答案】C【解析】設最后一秒內的位移為，由運動學公式有得最后一秒內的位移為，所以高度為故選C。類型二：長度不能忽略的單個物體自由落體運動模型【知識思維方法技巧】桿過觀察點時間問題的處理技巧：要充分利用初速度為0的特點解題。設桿長L，桿的下端到觀察點的距離為h①桿下端下落到觀察點的時間②桿上端下落到觀察點的時間③所以整桿通過觀察點的時間【典例1b提高題】如圖所示木桿長5m，上端固定在某一點，由靜止放開后讓它自由落下(不計空氣阻力)，木桿通過懸點正下方20m處圓筒AB，圓筒AB長為5m，取g＝10m/s2，求：（1）木桿經過圓筒的上端A所用的時間t1是多少？（2）木桿通過圓筒AB所用的時間t2是多少？【典例1b提高題】【答案】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(3)))s(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)－\r(3)))s【解析】(1)木桿由靜止開始做自由落體運動，木桿的下端到達圓筒上端A用時t下A＝eq\r(\f(2h下A,g))＝eq\r(\f(2×15,10))s＝eq\r(3)s，木桿的上端到達圓筒上端A用時t上A＝eq\r(\f(2h上A,g))＝eq\r(\f(2×20,10))s＝2s則木桿通過圓筒上端A所用的時間t1＝t上A－t下A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(3)))s。(2)木桿的下端到達圓筒上端A用時t下A＝eq\r(\f(2h下A,g))＝eq\r(\f(2×15,10))s＝eq\r(3)s，木桿的上端離開圓筒下端B用時t上B＝eq\r(\f(2h上B,g))＝eq\r(\f(2×25,10))s＝eq\r(5)s，則木桿通過圓筒所用的時間t2＝t上B－t下A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)－\r(3)))s。【典例1b提高題對應練習】如圖所示木桿長L，上端懸掛在某一點，由靜止放開后讓它自由落下（不計空氣阻力），木桿通過懸點正下方2L處的圓筒AB，圓筒AB長為3.5L，重力加速度為g，則木桿被圓筒AB完全擋住的時間為（）A． B． C． D．【典例1b提高題對應練習】【答案】A【解析】當木桿上端到達A點時當下端到達B點時被擋住的時間解得故選A。題型二：多物體自由下落的問題類型一：不等高同時下落模型【典例2a提高題】在輕繩的兩端各拴一個小球，一個人用手拿著繩子上端的小球，站在三層樓的陽臺上，釋放小球，使小球自由下落，兩小球相繼落地的時間差為Δt，如果人站在四層樓的陽臺上，同樣的方法釋放小球，讓小球自由下落，則兩小球相繼落地的時間差將()A．不變B．變小C．變大 D．無法確定【典例2a提高題】【答案】B【解析】設兩球分別為球a和球b，如圖所示．無論是從3層還是4層陽臺上自由下落，兩小球落地前，兩球的距離差始終為繩長，則人站在4層陽臺上放手后，a球在b球落地瞬間的瞬時速度及之后a球下落繩長距離內的平均速度均比在3層陽臺釋放時大，而位移相同，則時間差變小，B正確．【典例2a提高題對應練習】如圖所示，兩個大小一樣的金屬小球用長為L的細線連接，a球在上，b球在下，用手拿著a球，測得a球釋放時離地面的高度為h，某時刻靜止釋放a球，兩球落地的時間差t，空氣阻力忽略不計。下列判斷正確的是（

）A．b球下落的時間大于 B．a球下落的時間小于C．重力加速度 D．b球落地前a球的加速度比b球大【典例2a提高題對應練習】【答案】C【解析】某時刻靜止釋放a球，a球下落高度為h，b球下落高度為h－L，則根據運動學公式可得則b球下落的時間為，A錯誤；a球下落的時間為，B錯誤；兩球落地的時間差為t，則故重力加速度為,b球落地前兩球做自由落體運動，則a球的加速度與b球加速度相等，D錯誤。故選C。類型二：不等高不同時下落模型【典例2b提高題】如圖所示，在地面上一盤子C的上方A處有一金屬小球a距C為20m，在B處有另一個金屬小球b距C為15m，小球a比小球b提前1s由靜止釋放。g取10m/s2，不計空氣阻力，則()A.b先落入C盤中，兩球不可能在下落過程中相遇B.a先落入C盤中，a、b下落過程中的相遇點在BC之間某位置C.a、b兩小球同時落入C盤D.a、b兩小球的相遇點恰好在B處【典例2b提高題】【答案】D【解析】a比b提前1s釋放，a在1s內下落的位移為h1＝gt12＝×10×12m＝5m，因為a在b上方5m處，故a到B處時b才開始釋放，即a、b兩小球相遇點恰好在B處，由于在B點相遇時a初速度大于零，b的初速度為零，故a先落入C盤中，選項D正確?！镜淅?b提高題對應練習】如圖所示，在一個桌面上方有三個金屬小球a、b、c，離桌面高度分別h1∶h2∶h3＝3∶2∶1.若先后順次靜止釋放a、b、c，三球剛好同時落到桌面上，不計空氣阻力，則下列說法不正確的是()A．三者到達桌面時的速度之比是eq\r(3)∶eq\r(2)∶1B．三者運動的平均速度之比是eq\r(3)∶eq\r(2)∶1C．b與a開始下落的時間差小于c與b開始下落的時間差D．b與a開始下落的時間差大于c與b開始下落的時間差【典例2b提高題對應練習】【答案】D【解析】三球做自由落體運動，由公式v2＝2gh可得v＝eq\r(2gh)，所以三者到達桌面時的速度之比是eq\r(h1)∶eq\r(h2)∶eq\r(h3)＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1，A正確；三者都做勻變速直線運動，初速度為零，所以平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(v,2)，故平均速度之比為eq\r(h1)∶eq\r(h2)∶eq\r(h3)＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1，B正確；根據h＝eq\f(1,2)gt2可得a、b開始下落的時間差為Δt1＝eq\r(\f(2h1,g))－eq\r(\f(2h2,g))＝(eq\r(3)－eq\r(2))eq\r(\f(2h3,g))，b、c開始下落的時間差為Δt2＝eq\r(\f(2h2,g))－eq\r(\f(2h3,g))＝(eq\r(2)－1)eq\r(\f(2h3,g))，所以Δt1<Δt2，C正確，D錯誤．考點三：豎直上拋運動和類豎直上拋運動【知識思維方法技巧】（1）豎直上拋運動的兩種研究方法：分段法將全程分為兩個階段，即上升過程的勻減速階段和下落過程的自由落體階段全程法將全過程視為初速度為v0，加速度a＝－g的勻變速直線運動，必須注意物理量的矢量性．習慣上取v0的方向為正方向，則v＞0時，物體正在上升；v＜0時，物體正在下降；h＞0時，物體在拋出點上方；h＜0時，物體在拋出點下方（2）豎直上拋運動的主要特性：對稱性①速度對稱：上升和下降過程經過同一位置時速度等大、反向②時間對稱：上升和下降過程經過同一段高度所用的時間相等多解性當物體經過拋出點上方某個位置時，可能處于上升階段，也可能處于下降階段，形成多解，在解決問題時要注意這個特性題型一：解決豎直上拋運動常用的方法類型一：應用逆向思維對稱法法求解豎直上拋運動【典例1a提高題】在地質、地震、勘探、氣象和地球物理等領域的研究中，需要精確的重力加速度g值，g值可由實驗精確測得，近年來測g值的一種方法叫“對稱自由下落法”，它是將測g轉變?yōu)闇y長度和時間，具體做法是：將真空長直管沿豎直方向放置，自其中O點上拋小球又落到原處的時間記為T2，在小球運動過程中經過比O點高H的P點，小球離開P點到又回到P點所用的時間記為T1，測得T1、T2和H，可求得g等于()A. B. C. D.【典例1a提高題】【答案】A【解析】根據豎直上拋運動的對稱性，有g(T2)2－g(T1)2＝H，解得g＝，故選A.【典例1a提高題對應練習】從地面上將一個小球豎直上拋，經t時間小球經過空中的某點A，再經過t時間小球又經過A點．不計空氣阻力，下列說法正確的是()A．小球拋出時的速率為2gtB．小球拋出時的速率為eq\f(3,2)gtC．小球上升的最大高度為eq\f(3,2)gt2D．A點的高度為eq\f(1,2)gt2【典例1a提高題對應練習】【答案】B【解析】由豎直上拋運動的對稱性知，小球從拋出至最高點用時eq\f(3,2)t，則初速度v0＝eq\f(3,2)gt，A錯誤，B正確；小球上升的最大高度h＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g)＝eq\f(9gt2,8)，C錯誤；A點的高度hA＝v0t－eq\f(1,2)gt2＝gt2，D錯誤．類型二：應用全程法求解豎直上拋運動【典例1b提高題】以10m/s的初速度從地面豎直上拋一石子，該石子兩次經過小樹頂端的時間間隔為1.2s，則小樹高約為(忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2)()A．1.2m B．2.4m C．3.2m D．4.2m【典例1b提高題】【答案】C【解析】設樹的高度為h，石子從開始運動到第一次到達樹的頂端的時間為t，選取向上為正方向，石子下落得過程中經過樹的頂端時，聯立可得h=3.2m，故C正確，ABD錯誤。故選C。【典例1b提高題對應練習】一個氣球正以速度v勻速上升，某時刻和氣球在同一高度處豎直向上拋出一個小球，當小球上升到最高點時，氣球和小球恰又處在同一高度處，重力加速度為g，則兩球上升過程相距的最大距離為()A． B． C． D．【典例1b提高題】對應練習【答案】C【解析】設小球上拋的初速度為v0，由，可知小球到最高點上升的高度為所經過的時間為，由題意知，兩球經過相同時間上升相同高度，則有，聯立解得，即小球上拋的初速度為氣球速度的兩倍。由于小球的初速度較大，當小球速度減為與氣球速度相等時，兩球相距的距離最大，即小球的速度從v0減為v，經歷的時間為，此時小球上升的距離為，氣球上升的距離為，故兩球上升過程相距的最大距離為故選C。題型二：類豎直上拋運動（雙向運動）的特點及處理方法【知識思維方法技巧】如果質點作勻減速到速度為零后仍能以原加速度反向勻加速運動，全過程加速度大小、方向均不變，故求解時可看成類豎直上拋運動，對全過程列式，但必須注意x、v、a等矢量的正負號及物理意義。類型一：水平式雙向運動類問題【典例2a提高題】一質點做勻變速直線運動，已知初速度大小為v，經過一段時間速度大小變?yōu)?v，加速度大小為a，這段時間內的路程與位移大小之比為5∶3，則下列敘述正確的是()A．這