1.3第1課時(shí)并集和交集學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義.2.能求兩個(gè)集合的并集與交集及其綜合運(yùn)算.3.能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算,體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

并集文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言由

屬于集合A

屬于集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集

A∪B={x|x∈A,或x∈B}兩個(gè)集合取并集后,兩個(gè)重復(fù)的元素僅看作一個(gè)元素

A∪B所有

或

名師點(diǎn)睛對(duì)并集概念的理解(1)A∪B仍是一個(gè)集合,A∪B由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成.(2)并集符號(hào)語(yǔ)言中的“或”與生活中的“或”字含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”連接的并列成分之間可能是兼存的,“x∈A或x∈B”包括下列三種情況:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下圖所示形象地表示.(3)并集的運(yùn)算性質(zhì)

性質(zhì)說(shuō)明A∪B=B∪A滿足交換律A∪?=A任何集合與空集的并集仍為集合本身A∪A=A集合與集合本身的并集仍為集合本身若A∪B=B,則A?B

可利用性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化并集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化A?(A∪B),B?(A∪B)任何集合都是該集合與另一集合并集的子集思考辨析1.如果A?B,那么A∪B=B成立嗎?2.若兩個(gè)集合的并集是空集,則這兩個(gè)集合有什么特征?提示

成立.提示

若兩個(gè)集合的并集是空集,則這兩個(gè)集合都是空集.自主診斷1.(2024全國(guó)甲,文1)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},則A∩B=(

)A.{1,2,3,4} B.{1,2,3}C.{2,3,4} D.{1,2,3,4,5}2.已知集合A={-1,0,1},B={x|x2-3x+2=0},則A∪B=(

)A.{1} B.{1,2}C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}AD解析

由B={x|x2-3x+2=0}={1,2},又A={-1,0,1},可知A∪B={-1,0,1,2}.故選D.3.已知A={x|x>1},B={x|x=1},那么A∪B=

.

{x|x≥1}知識(shí)點(diǎn)2

交集文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言由

屬于集合A

屬于集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的交集

A∩B=

所有

且

{x|x∈A,且x∈B}

名師點(diǎn)睛對(duì)交集概念的理解(1)A∩B仍是一個(gè)集合,A∩B由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成.(2)對(duì)于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下兩層意思:①A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素;②A與B的公共元素都屬于A∩B,這就是文字定義中“所有”二字的含義,如A={1,2,3},B={2,3,4},則A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.(3)并不是任意兩個(gè)集合總有公共元素,當(dāng)集合A與集合B沒(méi)有公共元素時(shí),不能說(shuō)集合A與集合B沒(méi)有交集,而是A∩B=?.(4)當(dāng)A=B時(shí),A∩B=A和A∩B=B同時(shí)成立.(5)交集的運(yùn)算性質(zhì)

性質(zhì)說(shuō)明A∩B=B∩A滿足交換律A∩?=?空集與任何集合的交集都為空集A∩A=A集合與集合本身的交集仍為集合本身若A∩B=A,則A?B交集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化(A∩B)?A,(A∩B)?B兩個(gè)集合的交集是其中任一集合的子集思考辨析“如果兩個(gè)集合的交集是空集,那么這兩個(gè)集合至少有一個(gè)是空集”,這種說(shuō)法對(duì)嗎?提示

不一定.例如A={1,2},B={3,4},A∩B=?,但A,B都不是空集.自主診斷1.(蘇教版教材例題改編)已知A={-1,0,1},B={0,1,2,3},那么A∩B=

.{0,1}解析

A∩B={-1,0,1}∩{0,1,2,3}={0,1}.

2.(蘇教版教材習(xí)題)已知A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={2,4,6,8}.(1)B?A成立嗎?A?B成立嗎?解

B?A成立,A?B不成立.(2)求A∩B和A∪B.解

A∩B=B,A∪B=A.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一集合的并集與交集的概念及運(yùn)算【例1—1】

已知集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},求:(1)A∩B∩C;解

因?yàn)榧螦={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以A∩B={8,9},所以A∩B∩C={8,9}.(2)A∪B∪C;解

因?yàn)榧螦={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以A∪B={1,3,6,7,8,9},所以A∪B∪C={1,2,3,6,7,8,9}.(3)A∩(B∪C);解

因?yàn)榧螦={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以B∪C={1,2,3,6,7,8,9},所以A∩(B∪C)={6,8,9}.(4)(A∩B)∪(A∩C).解

因?yàn)榧螦={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以A∩B={8,9},A∩C={6,8,9},所以(A∩B)∪(A∩C)={6,8,9}.【例1—2】

已知集合A={x|-2≤x≤4},B={x|-4<x<-2},求A∪B,A∩B.解

因?yàn)锳={x|-2≤x≤4},B={x|-4<x<-2},所以A∪B={x|-4<x≤4},A∩B=?.規(guī)律方法求兩個(gè)集合交集、并集的方法若是用列舉法表示的數(shù)集,可以根據(jù)交集、并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果,要注意若集合不是最簡(jiǎn)形式,需要先化簡(jiǎn)集合,求并集時(shí),不是單純的合并元素,相同的元素只能寫(xiě)一次;若是用描述法表示的數(shù)集,可借助數(shù)軸分析寫(xiě)出結(jié)果,利用數(shù)軸時(shí),要注意端點(diǎn)的取舍及表示.變式訓(xùn)練1(1)(北師大版教材例題)已知集合A={x|-1≤x<2},

B={x|0≤x≤3},求A∩B,A∪B.解

在數(shù)軸上表示出集合A,B(如圖),則A∩B={x|-1≤x<2}∩{x|0≤x≤3}={x|0≤x<2};A∪B={x|-1≤x<2}∪{x|0≤x≤3}={x|-1≤x≤3}.(2)(蘇教版教材習(xí)題)①設(shè)A={(x,y)|y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3},求A∩B.②設(shè)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},求A∩B,A∪B.解

由題意,集合A為奇數(shù)集,集合B為偶數(shù)集,所以A∪B=Z,A∩B=?.探究點(diǎn)二已知集合的交集、并集求參數(shù)的值或取值范圍【例2—1】

設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|x2+2(a-1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求實(shí)數(shù)a的值;(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)由題意得A={x|x2-3x+2=0}={1,2}.∵A∩B={2},∴2∈B,∴22+2(a-1)×2+a2-5=0,即4+4a-4+a2-5=0,化簡(jiǎn)得a2+4a-5=0,即(a+5)(a-1)=0,解得a=-5或a=1,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=-5,B={x|x2-12x+20=0}={2,10},滿足A∩B={2}.當(dāng)a=1,B={x|x2-4=0}={-2,2},滿足A∩B={2}.故a=-5或a=1.

規(guī)律方法已知兩個(gè)有限集運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)值的方法對(duì)于這類已知兩個(gè)有限集的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)值的問(wèn)題,一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,再列方程求解.另外,在處理有關(guān)含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí),要注意對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),以避免違背集合中元素的有關(guān)特性,尤其是互異性.【例2—2】

集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范圍.解

(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=?,把集合A與B都表示在數(shù)軸上,如圖①所示.∴數(shù)軸上點(diǎn)x=a在點(diǎn)x=-1左側(cè),且可以包含點(diǎn)x=-1,∴{a|a≤-1}.(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},把集合A與B都表示在數(shù)軸上,如圖②所示,∴數(shù)軸上點(diǎn)x=a在點(diǎn)x=-1和點(diǎn)x=1之間,不包含點(diǎn)x=-1,但包含點(diǎn)x=1.∴{a|-1<a≤1}.變式探究本例(1)中,把“A∩B=?”改為“A∩B≠?”,求a的取值范圍.解

利用數(shù)軸(略)表示出兩個(gè)集合,數(shù)形結(jié)合知,要使A∩B≠?,需數(shù)軸上點(diǎn)x=a在點(diǎn)x=-1右側(cè)且不包含點(diǎn)x=-1,所以{a|a>-1}.規(guī)律方法已知集合運(yùn)算求參數(shù)的取值范圍的思路此類問(wèn)題常借助數(shù)軸解決,首先根據(jù)集合間的關(guān)系畫(huà)出數(shù)軸,然后根據(jù)數(shù)軸列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解,特別要注意端點(diǎn)值的取舍.當(dāng)集合的元素離散時(shí),常借助集合的關(guān)系列關(guān)于參數(shù)的方程(組)求解,但求解后要代入檢驗(yàn)是否符合題意.探究點(diǎn)三根據(jù)集合的交集、并集結(jié)果求集合元素的個(gè)數(shù)【例3】

(1)滿足條件{1,2}∪A={1,2,3,4,5}的集合A的個(gè)數(shù)為

.4解析

由題意得{3,4,5}?A?{1,2,3,4,5},從而滿足條件的集合A有{3,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}共4個(gè).(2)某學(xué)校100名學(xué)生在一次語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)的三科競(jìng)賽中,參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有39人,參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有49人,參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有41人,既參加語(yǔ)文競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有15人,既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有13人,既參加語(yǔ)文競(jìng)賽又參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有9人,1人三項(xiàng)都沒(méi)有參加,則三項(xiàng)都參加的有

人.

7解析

設(shè)三項(xiàng)都參加的有x人,因?yàn)橛幸蝗巳?xiàng)均未參加,則由已知39+49+41-15-13-9+x=100-1,解得x=7.(3)集合A={x∈Z|x2-px+15=0},B={x∈Z|x2-5x+q=0},如果A∪B={2,3,5},則A=

,B=

.

{3,5}{2,3}解析

因?yàn)閤2-px+15=0,x2-5x+q=0,所以集合A中的方程兩實(shí)數(shù)根之積等于15,B中方程兩實(shí)數(shù)根之和為5.又A∪B={2,3,5},x∈Z,所以A={3,5},B={2,3}.變式訓(xùn)練2

(1)已知集合A={1,2,3},B={1,2},則滿足A∩C=B∪C的集合C有

個(gè).

2解析

由條件A∩C=B∪C可知B?(B∪C)=(A∩C)?C?(B∪C)=(A∩C)?A,則符合條件的集合C為{1,2}或{1,2,3},共2個(gè).★★(2)已知集合A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},則p+q+r=

.

-14解析

因?yàn)锳∩B={-2},所以-2∈A,將x=-2代入x2-px-2=0,得p=-1,此時(shí)方程x2-px-2=0即為x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,所以A={1,-2}.因?yàn)锳∪B=