5.7三角函數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題.2.可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x>0(A>0,ω>0)中,各參數(shù)的物理意義振幅

它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的

周期T=

它是做簡諧運動的物體往復(fù)運動

所需要的時間

頻率

頻率與周期互為倒數(shù)關(guān)系它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運動的

相位ωx+φx=0時的相位

稱為初相

A最大距離

一次

次數(shù)

φ思考辨析“簡諧運動”的振幅與函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)的最大值之間是什么關(guān)系?提示

“簡諧運動”的振幅就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)的最大值,即為|A|.自主診斷B2.(北師大版教材習(xí)題)一個單擺如圖所示,小球偏離鉛垂線方向的角為α

rad,α與擺動時間t(單位:s)之間的函數(shù)解析式為

.求:(1)最初(t=0)時α的值;(2)單擺擺動的頻率;(3)經(jīng)過多長時間單擺完成5次完整擺動?知識點2

應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題的一般程序應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題,首先要把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,通過分析它的變化趨勢,確定它的周期,從而建立起適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型,解決問題的一般程序如下:(1)審題,先審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系.(2)建模,分析題目特性,選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型.(3)求解,對所建立的三角函數(shù)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原,把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的解答.思考辨析散點圖在三角函數(shù)建模過程中起了什么作用?提示

利用散點圖可較直觀地分析兩個變量之間的某種關(guān)系,然后利用這種關(guān)系選擇一種合適的函數(shù)模型去擬合這些點,從而避免因盲目選擇函數(shù)模型造成失誤.自主診斷彈簧振子以O(shè)為平衡位置,在B,C兩點間做簡諧運動,B,C相距20cm,某時刻振子處在B點位置,經(jīng)0.5s振子首次到達(dá)C點,求:(1)振動的振幅、周期和頻率;(2)彈簧振子在5s內(nèi)通過的路程及位移.解

(1)設(shè)振幅為A,則2A=20

cm,所以A=10

cm.設(shè)周期為T,則

=0.5

s,所以T=1

s,所以f=1

Hz.(2)振子在0.5

s內(nèi)通過的路程為20

cm,故在5

s內(nèi)通過的路程s=5×40=200(cm).5

s末物體處在B點,所以它的位移為0

cm.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用(1)若電流強(qiáng)度I與時間t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示,試根據(jù)圖象寫出I=Asin(ωt+φ)的解析式;得最大值A(chǔ)與最小值-A,則正整數(shù)ω的最小值是多少?又ω>0,∴ω≥200π.∴正整數(shù)ω的最小值為629.規(guī)律方法三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡諧運動、交流電電流、電壓等方面,其中對彈簧振子和單擺的運動等有關(guān)問題考查最多,尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.變式訓(xùn)練1

阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置,我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置,被稱為“鎮(zhèn)樓神器”,如圖1.由物理學(xué)知識可知,某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動,其離開平衡位置的位移y(單位:m)和時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式為y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),如圖2.若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)位置y0(-1<y0<1)的時間分別為t1,t2,t3(0<t1<t2<t3),且t1+t2=2,t2+t3=6,則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的正向位移大于0.5m的總時間為(

)

D

探究點二三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用★★【例2】

摩天輪是一種深受大家喜愛的大型游樂設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪的半徑為50米,圓心O距地面的高度為60米,摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動,每3分鐘轉(zhuǎn)一圈,點P的起始位置在摩天輪的最低點處,已知摩天輪上一點P在時刻t(單位:min)距離地面的高度y(單位:m)滿足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ∈[-π,π]).(1)根據(jù)條件寫出y(單位:m)關(guān)于t(單位:min)的函數(shù)解析式;(2)若游客在距離地面的高度不低于85m時能夠獲得最佳視覺效果,請問摩天輪轉(zhuǎn)動一周能有多長時間使游客有最佳視覺效果?

規(guī)律方法解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

探究點三三角函數(shù)模型擬合問題【例3】

生物節(jié)律是描述體溫、血壓和其他易變的生物變化的每日生物模型.下表中給出了在24h期間人的體溫的典型變化(從夜間零點開始計時).時間t/h024681012141618202224體溫y/℃36.836.736.636.736.837.037.237.337.437.337.237.036.8(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖;(2)選用一個三角函數(shù)模型來近似描述這些數(shù)據(jù);(3)在散點圖中作出(2)中所選函數(shù)的圖象.

(3)利用五點作圖法列表.

t04101624t---0

y36.836.63737.436.8圖象如圖所示.

規(guī)律方法處理數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測問題的幾個步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù),繪出散點圖;(2)通過散點圖,作出“最貼近”的直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線;(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識,求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式;(4)利用函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制,以便為決策和管理提供依據(jù).變式訓(xùn)練3

某市物價局調(diào)查了某種治療流感的常規(guī)藥品在2024年每個月的批發(fā)價格和該藥品在藥店的銷售價,調(diào)查發(fā)現(xiàn),該藥品的批發(fā)價格按月份以12元/盒為中心價隨某一正弦型曲線上下波動,且3月份的批發(fā)價格最高,為14元/盒,7月份的批發(fā)價格最低,為10元/盒.該藥品在藥店的銷售價格按月份以14元/盒為中心價隨另一正弦型曲線上下波動,且5月份的銷售價格最高,為16元/盒,9月份的銷售價格最低,為12元/盒.(1)求該藥品每盒的批發(fā)價格f(x)和銷售價格g(x)關(guān)于月份x的函數(shù)解析式;(2)假設(shè)某藥店每月初都購進(jìn)這種藥品p盒,且當(dāng)月售完,求該藥店在2024年哪些月份是盈利的?說明理由.

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234C1232.(多選題)從出生之日起,人的體力、情緒、智力呈周期性變化,在自出生的前30天內(nèi),它們的變化規(guī)律如圖所示(均為可向右無限延伸的正弦型曲線模型):記智力曲線為I,情緒曲線為E,體力曲線為P,且三條曲線的起點位于坐標(biāo)系的同一點處,則(

)A.體力曲線P的最小正周期是三條曲線中最大的B.第462天時,智力曲線I處于上升期、情緒曲線E處于下降期C.智力、情緒、體力三條曲線存在無數(shù)個公共點D.