專題13三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（一）目錄熱點題型歸納 1題型01三角形內(nèi)角和定理與外角和定理 1題型02三角形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用 4題型03三角形的三邊關(guān)系 6題型04與三角形有關(guān)線段問題 7題型05線段垂直平分線的性質(zhì)與判定 10題型06角平分線的性質(zhì)與判定 12中考練場 13 題型01三角形內(nèi)角和定理與外角和定理【解題策略】三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．方法總結(jié)三角形中角度計算的6種常考模型：A字模型8字模型飛鏢模型老鷹抓小雞模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鷹抓小雞模型（二）雙角平分線模型（一）雙角平分線模型（二）雙角平分線模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2【典例分析】例1．（2022·內(nèi)蒙古）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點B的對應(yīng)點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD=α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（

）A．90°+12α B．90°?12α例2．（2023·四川）如圖，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°則∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°【變式演練】1．（2022·安徽·一模）將兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC與DE交于點P，AC與DF交于點Q．若AB∥EF，則∠DPC?∠DQC=（A．40° B．32.5° C．45.5° D．30°2．（2022·安徽合肥·二模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中AB∥CD，∠3=150°，∠1=30°，則A．60° B．70° C．80° D．90°3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=度．4．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

題型02三角形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用【典例分析】例1．（2024·江西模擬）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等（如圖1），組成了一個完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則∠1的度數(shù)為（）

A．130° B．120° C．110° D．60°例2．（2023·山西模擬）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM與CB平行，則∠MAC的度數(shù)為（

）圖1

圖2A．70° B．68° C．60° D．50°【變式演練】1．（2022·湖南）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，則∠AEF=．2．（2024·陜西模擬）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1=155°，∠2=30°，則∠3A．45° B．50° C．55° D．65°題型03三角形的三邊關(guān)系【解題策略】三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．【解題技巧】1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．【典例分析】例1．（2024·湖南模擬）3.已知a，b，c是一個三角形的三邊，且a，b滿足a?1+(b?2)2=0.則c的取值范圍是______．例2．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2?8x+12=0的根，則該三角形的周長為【變式演練】1．（2023·河北）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．52.（2024·湖南模擬）2,5,m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)A．2m?10 B．10?2m C．10 D．4題型04與三角形有關(guān)線段問題【解題策略】三角形有關(guān)的線段的性質(zhì)：高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=12方法總結(jié)：1.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．2.常見三角形的高：3.當(dāng)已知三角形兩邊的中點時，可考慮運用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.【典例分析】例1．（2024·山東模擬）觀察下列作圖痕跡，所作CD為△ABC的邊AB上的中線是(

)A. B.

C. D.例2．（2024·全國模擬）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線，若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是(

)

A.20° B.35° C.例3．（2024·廣東模擬）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．若DE=2，則BC的長是(

)

A.3

B.4

C.5

D.6【變式演練】1．（2023·江蘇模擬）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則BDDC=2．（2023·黑龍江模擬）已知，如圖1，若AD是△ABC中∠BAC的內(nèi)角平分線，通過證明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC題型05線段垂直平分線的性質(zhì)與判定【解題策略】垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.方法總結(jié)：對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點與線段兩端點連接起來．【典例分析】例1．（2023·天津）如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等)，兩弧相交于M，N兩點，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，連接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，則AB的長為(

)

A.9 B.8 C.7 D.6例2．（2022·湖北）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于12BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長為（A．25 B．22 C．19 D．18【變式演練】1.（2023·山東）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧交AC于點D，連接BD，再分別以點B，D為圓心，大于D的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點E，連接DE，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A.BE=DE B.AE=CE

C.CE=2BE D.S2．（2024·吉林模擬）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（

）A．AF=BF B．AE=C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC3．（2023·江西模擬）如圖，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延長線交BC于點E，若∠EAC=49°，則∠BAE的度數(shù)為題型06角平分線的性質(zhì)與判定【解題策略】角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．方法總結(jié)性質(zhì)中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”,因此在應(yīng)用時必須含有“垂直”這個條件,否則不能得到線段相等.【典例分析】例1．（2022·四川）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DE//AB，交AC于點E，DF⊥AB于點F，DE=5,DF=3，則下列結(jié)論錯誤的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【變式演練】1．（2021·廣東深圳·中考真題）如圖，已知∠BAC=60°，AD是角平分線且AD=10，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF周長為．2.（2022·江蘇）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°1．（2023·江蘇）如圖，△ABC中，∠BAC=55°，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α=40°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°2．（2022·湖北）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，則C，D兩點的距離是m3．（2023·江蘇）若一個等腰三角形的腰長為3，則它的周長可能是(

)A.5 B.10 C.15 D.204.（2023·四川）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結(jié)OE.若AC=6，BD=8，則OE=(

)A.2

B.52

C.3

D.5.（2022·四川）如圖，在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，點F是AB邊的中點，則DF=(

)

A.54 B.52 C.2 6.（2023·廣東）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點O是△ABC的(

)

A.三條邊的垂直平分線的交點 B.三條角平分線的交點

C.三條中線的交點 D.三條高的交點7．（2022·湖北）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于12BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長為（A．25 B．22 C．19 D．188.（2023·內(nèi)蒙古）如圖，矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點M，N.若AM=1，BN=2，則BD的長為(

)A.23

B.3

C.29.（2023·浙江）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B=∠ADB.若AB=4，則DC的長是

．

10.（2023·全國）如圖，在△ABC中，∠A=90°，分別以點B和點C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點；作直線MN交AB于點E.若線段AE=5，AC=12，則BE長為______．

11.（2023·青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線.若AB=5，AC=8，則△ABD的周長是______．12．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=15，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA、BC于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線BE交AC于點D，則線段AD的長為

專題13三角形的相關(guān)性質(zhì)與判定（一）目錄熱點題型歸納 1題型01三角形內(nèi)角和定理與外角和定理 1題型02三角形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用 9題型03三角形的三邊關(guān)系 12題型04與三角形有關(guān)線段問題 15題型05線段垂直平分線的性質(zhì)與判定 21題型06角平分線的性質(zhì)與判定 26中考練場 30 題型01三角形內(nèi)角和定理與外角和定理【解題策略】三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．方法總結(jié)三角形中角度計算的6種?？寄Ｐ停篈字模型8字模型飛鏢模型老鷹抓小雞模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鷹抓小雞模型（二）雙角平分線模型（一）雙角平分線模型（二）雙角平分線模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2【典例分析】例1．（2022·內(nèi)蒙古）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點B的對應(yīng)點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD=α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（

）A．90°+12α B．90°?12α【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，則∠B=∠BDC，利用三角形內(nèi)角和可求得∠B，進(jìn)而可求得∠E，則可求得答案．【詳解】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，且∠BCD=α∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，∴∠B=∠BDC，∴∠B=∠BDC=180°?α∴∠A=∠E=90°?∠B=90°?90°+α∴∠A=∠E=α∴∠EFC=180°?∠ACE?∠E=180°?α?α故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．例2．（2023·四川）如圖，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°則∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠2=35°，再由角平分線確定∠BCD=70°，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵AE∥∴∠1=∠2=35°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCD=2∠1=70°，∵∠D=60°，∴∠B=180°?∠BCD?∠D=50°，故選：B．【點睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的計算，三角形內(nèi)角和定理，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．【變式演練】1．（2022·安徽·一模）將兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC與DE交于點P，AC與DF交于點Q．若AB∥EF，則∠DPC?∠DQC=（A．40° B．32.5° C．45.5° D．30°【答案】D【分析】根據(jù)常用直角三角板的角度，先把各角表示出來，再利用平行線性質(zhì)及外角性質(zhì)分別求出∠DPC和∠DQC，作差即可．【詳解】解：在RtΔABC中，∠BCA=90°，∠A=30°,則在RtΔDEF中，∠EDF=90°，∠E=45°,則∵AB∥∴∠ACF=∠A=30°,∠BCE=∠B=60°,∴∠DPC=∠E+∠BCE=45°+60°=105°,∠DQC=∠F+∠ACF=45°+30°=75°,∴∠DPC?∠DQC=105°?75°=30°,故選：D．【點睛】本題考查求角度問題，涉及到常見三角板的內(nèi)角、平行線性質(zhì)和外角性質(zhì)，準(zhǔn)確將題中數(shù)據(jù)與圖形對應(yīng)起來得到關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽合肥·二模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中AB∥CD，∠3=150°，∠1=30°，則A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】A【分析】如圖∠3的頂點用F表示，∠2的頂點用E表示，根據(jù)AB∥CD，得出∠1=∠A=30°，根據(jù)領(lǐng)補角互補得出∠AFE=180°-∠3=180°-150°=30°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖∠3的頂點用F表示，∠2的頂點用E表示，∵AB∥CD，∴∠1=∠A=30°，∵∠3+∠AFE=180°，∴∠AFE=180°-∠3=180°-150°=30°，∵∠2是△AEF的外角，∴∠2=∠A+∠AFE=30°+30°=60°．故選擇A．【點睛】本題考查平行線性質(zhì)，領(lǐng)補角互補性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握平行線性質(zhì)，領(lǐng)補角互補性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=度．【答案】240【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=60°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，∴∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∵∠AED+∠A+∠ADE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，故答案為：240．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．4．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

【答案】22.5°或45°或67.5°【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知∠A=∠A'=30°【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知∠A=∠A'=30°當(dāng)A'D=DE時，

由三角形的外角性質(zhì)得∠DEA'=∠A+∠ACD+∠此情況不存在；當(dāng)A'

∠A'=30°由三角形的外角性質(zhì)得75°=30°+2α，解得α=22.5°；當(dāng)EA'=DE

∴∠DEA由三角形的外角性質(zhì)得120°=30°+2α，解得α=45°；當(dāng)A'D=A

∴∠ADC=∠A∴α=∠ACD=180°?30°?82.5°=67.5°；綜上，∠α的度數(shù)為22.5°或45°或67.5°．故答案為：22.5°或45°或67.5°．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型02三角形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用【典例分析】例1．（2024·江西模擬）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等（如圖1），組成了一個完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則∠1的度數(shù)為（）

A．130° B．120° C．110° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和公式求出∠BAF的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求∠ABF的度數(shù)，同理可得∠EAF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AB=AF=EF，∠BAF=6?2∴∠ABF=∠AFB=180°?120°同理∠EAF=30°，∴∠1=180°?30°?30°?120°，故選：B．【點睛】本題考查正多邊形內(nèi)角和的計算以及三角形公式，n邊形的內(nèi)角和為180°?n?2例2．（2023·山西模擬）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM與CB平行，則∠MAC的度數(shù)為（

）圖1

圖2A．70° B．68° C．60° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠BCD=68°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ACB=180°?68°?52°=60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即得答案．【詳解】解：∵AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=68°，∵∠BAC=52°，∴∠ACB=180°?68°?52°=60°，∵AM∥CB，∴∠MAC=∠ACB=60°；故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式演練】1．（2022·湖南）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，則∠AEF=．【答案】40°/40度【分析】根據(jù)入射角等于反射角，可得∠CDB=∠EDO,∠DEO=∠AEF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠OED=40°，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，∠CDB=∠EDO,∠DEO=∠AEF，∵∠AOB=120°，∠CDB=20°，∴∠CDB=∠EDO=20°，∴∠OED=180?∠ODE?∠AOB=40°，∴∠AEF=∠DEO=40°．故答案為：40°．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·陜西模擬）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1=155°，∠2=30°，則∠3A．45° B．50° C．55° D．65°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，掌握這兩個知識點是關(guān)鍵．利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵AB∥∴∠1+∠BFO=180°，∴∠BFO=180°?155°=25°，∵∠POF=∠2=30°，∴∠3=∠POF+∠BFO=30°+25°=55°，故選：C．題型03三角形的三邊關(guān)系【解題策略】三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．【解題技巧】1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．【典例分析】例1．（2024·湖南模擬）3.已知a，b，c是一個三角形的三邊，且a，b滿足a?1+(b?2)【答案】1<c<3

【解析】解：∵a?1+(b?2)2=0

∴a?1=0，b?2=0，

解得a=1，b=2，

∵2?1=1，1+2=3，

∴1<c<3．

故答案為：1<c<3．

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出例2．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2?8x+12=0的根，則該三角形的周長為【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長，則該三角形的周長可求．【詳解】解：∵x2-8x+12=0，∴x?2x?6∴x1=2，x2=6，∵三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2-8x+12=0的根，當(dāng)x=2時，2+2＜5，不符合題意，∴三角形的第三邊長是6，∴該三角形的周長為：2+5+6=13．故答案為：13．【點睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（2023·河北）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三邊關(guān)系求得0<AC<4，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在△ACD中，AD=CD=2，∴2?2<AC<2+2，即0<AC<4，當(dāng)AC=BC=4時，△ABC為等腰三角形，但不合題意，舍去；若AC=AB=3時，△ABC為等腰三角形，故選：B．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．2.（2024·湖南模擬）2,5,m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)A．2m?10 B．10?2m C．10 D．4【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出m的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：∵2,5,m是三角形的三邊，∴5?2<m<5+2，解得：3<m<7，∴(m?3)故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出m的范圍，再對二次根式化簡．題型04與三角形有關(guān)線段問題【解題策略】三角形有關(guān)的線段的性質(zhì)：高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=12方法總結(jié)：1.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．2.常見三角形的高：3.當(dāng)已知三角形兩邊的中點時，可考慮運用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.【典例分析】例1．（2024·山東模擬）觀察下列作圖痕跡，所作CD為△ABC的邊AB上的中線是(

)A. B.

C. D.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了作圖?基本作圖、三角形的角平分線、中線和高、線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，CD為△ABC的邊AB上的中線，就是作AB邊的垂直平分線，交AB于點D，連接CD即可判斷．

【解答】

解：觀察作圖痕跡可知：

A.CD⊥AB，但不平分，

所以A選項不符合題意；

B.CD為△ABC的邊AB上的中線，

所以B選項符合題意；

C.CD是∠ACB的角平分線，

所以C選項不符合題意；

D.不符合基本作圖過程，

所以D選項不符合題意．

故選B．例2．（2024·全國模擬）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線，若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是(

)A.20° B.35° C.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了等腰三角形的兩個底角相等的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義，求出∠ACB=70°是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12(180°?∠CAB)=70°.再利用角平分線定義即可得出∠ACE=12∠ACB=35°．

【解答】

解：∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20°，

∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12(180°?∠CAB)=70°．

∵CE是例3．（2024·廣東模擬）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．若DE=2，則BC的長是(

)

A.3

B.4

C.5

D.6【答案】B

【解析】【分析】

本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)三角形中位線定理解答即可．

【解答】

解：∵D、E分別是AB、AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴BC=2DE，

∵DE=2，

∴BC=4，

故選：B．【變式演練】1．（2023·江蘇模擬）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則BDDC=【答案】3【分析】連接ED，由BE是△ABC的中線，得到S△ABE=S△BCE，S△AED=S△EDC，由BF=3FE，得到【詳解】解：連接ED∵BE是△ABC的中線，∴S△ABE∵BF=3FE∴設(shè)S△AEF∴∴∴∵∴x+y=4x?4y∴x=∵△ABD與△ADC是等高三角形，∴S故答案為：32【點睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江模擬）已知，如圖1，若AD是△ABC中∠BAC的內(nèi)角平分線，通過證明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC【答案】1【分析】根據(jù)題意得到ABAC=23，設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關(guān)系可求出k的范圍，反向延長中線AE至F，使得【詳解】如圖，反向延長中線AE至F，使得AE=EF，連接CF，∵BD=2,CD=3,AD是△ABC的內(nèi)角平分線，∴可設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，∵∴△ABE?△FCE∴AB=CF由三角形三邊關(guān)系可知，AC?CF<AF<AC+CF∴k<AF<5k∴∴1故答案為：12【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．題型05線段垂直平分線的性質(zhì)與判定【解題策略】垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.方法總結(jié)：對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點與線段兩端點連接起來．【典例分析】例1．（2023·天津）如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等)，兩弧相交于M，N兩點，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，連接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，則AB的長為(

)A.9 B.8 C.7 D.6【答案】D

【解析】解：由題意得：MN是AC的垂直平分線，

∴AC=2AE=8，DA=DC，

∴∠DAC=∠C，

∵BD=CD，

∴BD=AD，

∴∠B=∠BAD，

∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°，

∴2∠BAD+2∠DAC=180°，

∴∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAC=90°，

在Rt△ABC中，BC=BD+CD=2AD=10，

∴AB=BC2?AC2=102?82=6，

故選：D．

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC=2AE=8例2．（2022·湖北）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于12BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長為（A．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得BD＝CD，由△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．【詳解】解：由作圖的過程可知，DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∵AB=7，AC=12，∴△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故選：C【點睛】此題考查了線段垂直平分線的作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1.（2023·山東）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧交AC于點D，連接BD，再分別以點B，D為圓心，大于D的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點E，連接DE，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A.BE=DE B.AE=CE

C.CE=2BE D.S【答案】D

【解析】解：由作法得AB=AD，PB=PD，

∴AP垂直平分BD，

∴BE=DE，所以A選項不符合題意；

∵∠ABC=90°，∠C=30°，

∴∠BAC=60°，

由作法得AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=30°，

∴∠CAE=∠C，

∴AE=CE，所以B選項不符合題意；

在Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，

∴AE=2BE，

∴CE=2BE，所以C選項不符合題意；

在Rt△ABC中，∵∠C=30°，

∴AC=2AB，

∵AD=AB，

∴AD=CD，

∴S△EDC=12S△ACE，

∵CE=2BE，

∴CE=23BC，

∴S△ACE=23S△ABC，

∴S△EDC=12×23S△ABC=13S△ABC，所以D選項符合題意．

故選：D．

由作法得AB=AD，PB=PD，則可判斷AP垂直平分BD，于是根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可對A選項進(jìn)行判斷；由作法得AE平分∠BAC，則∠BAE=∠CAE=30°，所以∠CAE=∠C，則可對B選項進(jìn)行判斷；在2．（2024·吉林模擬）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（

）A．AF=BF B．AE=C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC【答案】B【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是∠ABC的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是∠ABC的角平分線，∴AF=BF,∠BDF=90°,∠ABF=∠CBE，∴∠ABF=∠BAF,∠DBF+∠DFB=90°，∴∠BAF=∠EBC，綜上，正確的是A、C、D選項，故選：B．【點睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西模擬）如圖，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延長線交BC于點E，若∠EAC=49°，則∠BAE的度數(shù)為【答案】82°.【分析】如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F,利用等腰三角形的三線合一證明CF是BD的垂直平分線，從而得到AB=AD,再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：∠DAF=∠BAF,從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F,∵AC平分∠DCB，CB=CD，∴CF⊥BD,DF=BF,∴CF是BD的垂直平分線，∴AB=AD,∴∠DAF=∠BAF,∵∠EAC=49°,∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=49°,∴∠BAE=180°?49°?49°=82°,故答案為：82°.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．題型06角平分線的性質(zhì)與判定【解題策略】角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．方法總結(jié)性質(zhì)中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”,因此在應(yīng)用時必須含有“垂直”這個條件,否則不能得到線段相等.【典例分析】例1．（2022·四川）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DE//AB，交AC于點E，DF⊥AB于點F，DE=5,DF=3，則下列結(jié)論錯誤的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DF=3，故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF∽△DEC，求出BF，故A錯誤．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DF⊥AB∴CD=DF=3，故B正確；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正確；∴AC=AE+CE=9，故D正確；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，∴△BDF∽△DEC，

∴CEDF∴BF=DF?CD故選：A．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對等角證明角相等，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識點并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式演練】1．（2021·廣東深圳·中考真題）如圖，已知∠BAC=60°，AD是角平分線且AD=10，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF周長為．【答案】5+5【分析】知道∠BAC=60°和AD是角平分線，就可以求出∠DAE=30°，AD的垂直平分線交AC于點F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，再求出DE，得到C△DEF【詳解】解：∵AD的垂直平分線交AC于點F，∴DF=AF（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）∴C△DEF∵∠BAC=60°，AD是角平分線∴∠DAE=30°∵AD=10∴DE=5，AE=53∴C【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)的綜合題，掌握運用三者的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.（2022·江蘇）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項C不正確；故選：C．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．1．（2023·江蘇）如圖，△ABC中，∠BAC=55°，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α=40°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得∠B=∠ADB=∠ADE，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)角α=40°即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，∵α=40°，∴∠DAF=15°，∠B=∠ADB=∠ADE=70°，∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°，故選：B．【點睛】本題考查了幾何—旋轉(zhuǎn)問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．2．（2022·湖北）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，則C，D兩點的距離是m【答案】800【分析】如圖所示：過點C作CE⊥BD于點E，先求出CE=800m，再根據(jù)勾股定理即可求出CD【詳解】如圖所示：過點C作CE⊥BD于點E，則∠BEC=∠DEC=90°，∵∠ABC=150°，∴∠CBD=30°，∴∠BCE=90°-30°=60°，又∵∠BCD=105°，∴∠CDB=45°，∴∠ECD=45°=∠D，∴CE=DE，∵BC=1600m∴CE=1∴CD2=C故答案為：8002【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)內(nèi)容并能靈活運用．3．（2023·江蘇）若一個等腰三角形的腰長為3，則它的周長可能是(

)A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B

【解析】【解答】解：∵等腰三角形的腰長為3，∴3?3<等腰三角形的底長<3+3，即0<等腰三角形的底長<6，∴6<等腰三角形的周長<12，故選：B．4.（2023·四川）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為邊BC的中點，連結(jié)OE.若AC=6，BD=8，則OE=(

)A.2

B.52

C.3

D.【答案】B

【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，

∵AC=6，BD=8，

∴OC=3，OB=4，

∴CB=OB2+OC2=5，

∵E為邊BC的中點，

∴OE=12BC=52．

故選：B．

由菱形的性質(zhì)得到OC=5.（2022·四川）如圖，在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，A