第八章Advancedmathematics無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編目錄/Contents第一節(jié)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)第八章無窮級數(shù)第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法第三節(jié)任意項級數(shù)及其斂散性判別法第四節(jié)冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、無窮級數(shù)的性質(zhì)目錄/Contents第一節(jié)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)一、無窮級數(shù)的概念一、無窮級數(shù)的概念我們先觀察一個實際問題．【例l】現(xiàn)有某一資金欲設(shè)立一項永久性獎勵基金,每年發(fā)放一次,每次發(fā)放為多少?獎金額為萬元,獎金來源為基金的存款利息．設(shè)年復(fù)利率為,每年結(jié)算一次,試問設(shè)立該基金所需的資金額應(yīng)解對于第一年發(fā)放的獎金萬元,最初需投入的本金與獎金因此最初應(yīng)投入的本金為（萬元）：

；為發(fā)放第二年的獎金萬元,最初需投入的本金與之間的因此最初應(yīng)投入的本金為（萬元）：

；一、無窮級數(shù)的概念之間的關(guān)系為．關(guān)系為.依此類推,為發(fā)放第年的獎金萬元,最初應(yīng)投入的本金為（萬元）：從而為發(fā)放這次獎金,最初要投入的本金總和為（萬元）：一、無窮級數(shù)的概念.

.如此繼續(xù)下去,當(dāng)

無限增大時,上述總和的極限就是該基金的最低資金額

,這是一個無窮級數(shù)．下面給出相關(guān)定義：一、無窮級數(shù)的概念,這時和式中的項數(shù)無限增多,于是出現(xiàn)了無窮多個數(shù)量依次相加的數(shù)學(xué)式子一、無窮級數(shù)的概念級數(shù)的前項和,稱為稱為級數(shù)的前項部分和,簡稱部分和,記為.即：.定義8.1稱為無窮級數(shù),簡稱級數(shù),記為.其中第項稱為級數(shù)的一般項(或通項).設(shè)給定數(shù)列,則表達(dá)式稱為部分和數(shù)列．一、無窮級數(shù)的概念顯然,當(dāng)依次取…時,部分和構(gòu)成一個新的數(shù)列:,,,,,級數(shù)

去掉前

項的和

余下的項稱為余項,記為.即,故.一、無窮級數(shù)的概念定義

8.2如果級數(shù)

的部分和數(shù)列

極限存在,其極限值為

,即,則稱級數(shù)

收斂,且稱

為它的和,記作：當(dāng)級數(shù)

收斂時,余項的極限為零,即.如果部分和數(shù)列

極限不存在,則稱級數(shù)發(fā)散.一、無窮級數(shù)的概念.【例2】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）.解（1）因為,則部分和于是,所以級數(shù)

發(fā)散.一、無窮級數(shù)的概念,（2）因為,則部分和于是,所以級數(shù)

收斂,且其和為1,即.一、無窮級數(shù)的概念,【例3】

討論幾何級數(shù)(等比級數(shù))的斂散性,其中.解

如果,則部分和當(dāng)

時,有,于是,

所以級數(shù)

收斂,且其和為.一、無窮級數(shù)的概念.當(dāng),則,所以級數(shù)

發(fā)散.其部分和是

如果,當(dāng)時,

,于是,顯然,當(dāng)

時,不存在,所以級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時,級數(shù)為所以級數(shù)

發(fā)散；于是,一、無窮級數(shù)的概念綜上所述,可得如下重要結(jié)論：當(dāng)時,幾何級數(shù)收斂,其和為；當(dāng)時,幾何級數(shù)發(fā)散．一、無窮級數(shù)的概念由級數(shù)定義知,例1中基金所需的資金額為級數(shù)的和,即這是幾何級數(shù),公比,顯然,由例3得上面級數(shù)收斂,且其和為,即設(shè)立該基金所需的資金額

應(yīng)為萬元.

,一、無窮級數(shù)的概念【例4】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）.解

（1）級數(shù)的一般項,這是幾何級數(shù),公比,因為,所以級數(shù)收斂.（2）這是幾何級數(shù),公比,因為,所以級數(shù)

發(fā)散.一、無窮級數(shù)的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第一節(jié)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)一、無窮級數(shù)的概念二、無窮級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)

8.1

如果級數(shù)

與級數(shù)都收斂,其和分別為,則級數(shù)

也收斂,且

二、無窮級數(shù)的性質(zhì)證明

設(shè)

與的部分和分別為和,則級數(shù)

的部分和于是.二、無窮級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)

8.2

如果級數(shù)

收斂（發(fā)散）,為非零常數(shù),則級數(shù)也收斂(發(fā)散),且收斂時有.（讀者自證.）

二、無窮級數(shù)的性質(zhì)【例5】

判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）.解

（1）因為幾何級數(shù)

與都收斂,根據(jù)性質(zhì)1,所以級數(shù)收斂.

（2）因為,而級數(shù)

與級數(shù)都收斂,由性質(zhì)1、性質(zhì)2,所以級數(shù)

收斂.二、無窮級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)

8.3

在級數(shù)的前面加上或去掉有限項,得到的新級數(shù)與原級數(shù)具有證明

設(shè)將級數(shù)

的前項去掉,得級數(shù),于是新級數(shù)的部分和有其中

為原級數(shù)的前

項和,是原級數(shù)前項和.,因為

是常數(shù),所以與同時收斂或同時發(fā)散.二、無窮級數(shù)的性質(zhì)相同的斂散性．類似地,可以證明在原級數(shù)前面加上有限項,亦不改變其斂散性．例如級數(shù),它是收斂級數(shù)

前面加上有限項

后二、無窮級數(shù)的性質(zhì)得到的級數(shù),所以該級數(shù)收斂.性質(zhì)8.4如果級數(shù)收斂,則對該級數(shù)的項任意加括號后所證明對級數(shù)任意加括號它的前項部分和為,則二、無窮級數(shù)的性質(zhì)成的級數(shù)仍收斂,且其和不變．可見,數(shù)列

是數(shù)列的一個子列．由于收斂數(shù)列的子列必收斂,因此收斂時,亦收斂,；；；；二、無窮級數(shù)的性質(zhì)應(yīng)當(dāng)注意：性質(zhì)4的逆不成立．即加括號后的級數(shù)收斂,例如級數(shù)

收斂于零,但級數(shù)卻是發(fā)散的．推論8.1

加括號后的級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)必發(fā)散．二、無窮級數(shù)的性質(zhì)不能保證原級數(shù)收斂．性質(zhì)

8.5(級數(shù)收斂的必要條件)

如果級數(shù)

收斂,證明

因為級數(shù)

收斂,所以.而,故.注意

一般項趨于零的級數(shù)不一定收斂．二、無窮級數(shù)的性質(zhì)則.例如,級數(shù)

滿足,但由例2知,它卻是發(fā)散的．二、無窮級數(shù)的性質(zhì)推論

8.2如果,則級數(shù)發(fā)散.我們經(jīng)常用這個推論來判定某些級數(shù)是發(fā)散的．【例6】判別級數(shù)的斂散性．解因為,二、無窮級數(shù)的性質(zhì)所以級數(shù)發(fā)散．e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics學(xué)海無涯,祝你成功！高等數(shù)學(xué)上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

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編第一節(jié)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)目錄/Contents第八章無窮級數(shù)第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法第三節(jié)任意項級數(shù)及其斂散性判別法第四節(jié)冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、正項級數(shù)斂散性判別法目錄/Contents第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法一、正項級數(shù)的概念正項級數(shù)是數(shù)項級數(shù)中比較特殊而又很重要的級數(shù),這是由于：如果級數(shù)滿足

（負(fù)項級數(shù)）,則級數(shù)

為正項級數(shù)．由性質(zhì)8.3,仍可用正項級數(shù)的斂散性判別法；如果級數(shù)中所有項的符號不規(guī)則,則級數(shù)為正項級數(shù)．由性質(zhì)8.2知正項級數(shù)的斂散性判別法適用于負(fù)項級數(shù)；如果級數(shù)

中前有限項的符號不規(guī)則,而為正項級數(shù)或負(fù)項級數(shù)．一、正項級數(shù)的概念如果級數(shù)

滿足

,則稱級數(shù)

為正項級數(shù)．定義8.3目錄/Contentse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、正項級數(shù)斂散性判別法第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法一、正項級數(shù)的概念（正項級數(shù)的收斂定理）正項級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有界．即它的部分和數(shù)列是單調(diào)增加數(shù)列,如果數(shù)列

有界,則

存在,此時級數(shù)收斂．另一方面,由數(shù)列極限的性質(zhì)知道,如果級數(shù)收斂,則必有界．二、正項級數(shù)斂散性判別法定理8.1對于正項級數(shù),顯然有,證明否則,級數(shù)發(fā)散．由數(shù)列極限的單調(diào)有界存在準(zhǔn)則知道,我們還有如下正項級數(shù)斂散性的常用判別法．（1）若級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂；（2）若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法(比較判別法)設(shè)級數(shù)

與級數(shù)

都是正項級數(shù),且

,定理8.2對一般的正項級數(shù),要證明有上界往往是困難的,（1）如果級數(shù)收斂,則有界,因此也有界,所以級數(shù)收斂．（2）用反證法．假設(shè)級數(shù)收斂,由條件,根據(jù)已證明的第(1)部分結(jié)論可知級數(shù)收斂,這與已知條件發(fā)散矛盾,所以級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法證明設(shè),．因為,所以．那么由定理8.1知：其各項均大于正項級數(shù)的對應(yīng)項,后一個正項級數(shù)的一般項為,它是發(fā)散的．根據(jù)比較判別法得,調(diào)和級數(shù)加括號后得到的新級數(shù)發(fā)散,再由性質(zhì)4知調(diào)和級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法【例l】判別調(diào)和級數(shù)的斂散性．,解因為調(diào)和級數(shù)發(fā)散,所以根據(jù)比較判別法得,級數(shù)發(fā)散．當(dāng)時,因為當(dāng)時,有所以,二、正項級數(shù)斂散性判別法解當(dāng)時,有．【例2】判別級數(shù)的斂散性．這表明有界,故級數(shù)收斂．綜上所述,可得如下重要結(jié)論：當(dāng)時,級數(shù)收斂；當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散．調(diào)和級數(shù)是級數(shù)在時的一種特殊情形．二、正項級數(shù)斂散性判別法而級數(shù)的部分和

,即,（1）因為是正項級數(shù),且,而為時的幾何級數(shù),它是收斂的,所以根據(jù)比較判別法得級數(shù)收斂．二、正項級數(shù)斂散性判別法【例3】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）．所以根據(jù)性質(zhì)8.2知級數(shù)發(fā)散,再根據(jù)比較判別法得級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法而為調(diào)和級數(shù),它是發(fā)散的,（2）因為是正項級數(shù),且,而為時的等比級數(shù),它是收斂的,所以根據(jù)比較判別法得級數(shù)收斂．當(dāng)時,因為,顯然是發(fā)散的.當(dāng)時,因為,而是發(fā)散的,所以根據(jù)比較判別法得級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法【例4】討論級數(shù)的斂散性．解因為是正項級數(shù),且當(dāng)時,

,由級數(shù)去掉或增加有限項不影響級數(shù)的斂散性,下面有比較判別法的極限形式,它使用起來更為方便.二、正項級數(shù)斂散性判別法再結(jié)合比較判別法的條件,對于級數(shù),只要存在整正數(shù),當(dāng)時,有,仍可應(yīng)用比較判別法．則（1）當(dāng)時,級數(shù)與級數(shù)同斂散；

（2）當(dāng)時,若級數(shù)收斂,那么級數(shù)也收斂；

（3）當(dāng)時,若級數(shù)發(fā)散,那么級數(shù)也發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法定理8.3(比較判別法的極限形式)設(shè)級數(shù)與級數(shù)都是正項級數(shù),且（）,則由于,根據(jù)比較判別法得,收斂;若發(fā)散,則由于,再根據(jù)比較判別法得級數(shù)發(fā)散．類似地可證明（2）,（3）．二、正項級數(shù)斂散性判別法證明（1）由極限的定義可知,對,存在正整數(shù),當(dāng)時,有,即,因為,所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)與級數(shù)同斂散,而級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂．二、正項級數(shù)斂散性判別法（1）由于是正項級數(shù),當(dāng)時,

,令,解【例5】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）．所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)與級數(shù)同斂散,而級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂．二、正項級數(shù)斂散性判別法（2）由于是正項級數(shù),當(dāng)時,

,令,因為,（3）；（4）．因為,二、正項級數(shù)斂散性判別法（1）由于當(dāng)時,

,令,解【例6】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（2）由于當(dāng)時,

,因為,所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)與級數(shù)同斂散,而級數(shù)發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)

與級數(shù)同斂散,而級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂．

令,所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)與級數(shù)同斂散,而級數(shù)發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散．（4）因為,而級數(shù)發(fā)散,所以根據(jù)比較判別法的極限形式得級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法（3）由于當(dāng)時,

,令,因為,則（1）當(dāng)時,級數(shù)收斂；（2）當(dāng),或時,級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時,級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法定理8.4(比值判別法,或達(dá)朗貝爾（）判別法)設(shè)有正項級數(shù),如果（）,即,因此,當(dāng)取時,有,

,．由于級數(shù)收斂(公比為且的等比級數(shù)),根據(jù)比較判別法得,級數(shù)收斂．二、正項級數(shù)斂散性判別法證明（1）當(dāng)時,可取一個適當(dāng)小的正數(shù),使得,由極限的定義,對于這樣的,存在整正數(shù),當(dāng)時,有,即,因此,當(dāng)取時,有,

,．由于級數(shù),從而,由性質(zhì)8.5(級數(shù)收斂的必要條件)得,級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法(2)當(dāng),或時,存在,使得,由極限的定義,對于這樣的,存在整正數(shù),當(dāng)時,有但是我們知道,當(dāng)時級數(shù)收斂,當(dāng)時級數(shù)發(fā)散,因此當(dāng)時不能判定級數(shù)的斂散性.二、正項級數(shù)斂散性判別法(3)當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．例如級數(shù),不論為何值都有.根據(jù)比值判別法得級數(shù)收斂．（2）因為是正項級數(shù),且,根據(jù)比值判別法得級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法（1）因為是正項級數(shù),且,解【例7】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）

.根據(jù)比值判別法得級數(shù)得原級數(shù)收斂.二、正項級數(shù)斂散性判別法【例8】判斷級數(shù)的斂散性.解因為,而,設(shè)有正項級數(shù),如果,則（1）當(dāng)時,級數(shù)收斂；（2）當(dāng)或時,級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時,級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法類似于定理8.4的證明我們可得如下結(jié)論：定理8.5（根值判別法,或柯西（Cauchy）判別法）（1）因為是正項級數(shù),且根據(jù)根值判別法得級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法解【例9】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）.且,二、正項級數(shù)斂散性判別法（2）因為是正項級數(shù),根據(jù)根值判別法得級數(shù)

收斂．二、正項級數(shù)斂散性判別法【例10】解二、正項級數(shù)斂散性判別法【例11】解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics學(xué)海無涯,祝你成功！高等數(shù)學(xué)上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

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編第一節(jié)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)目錄/Contents第八章無窮級數(shù)第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法第三節(jié)任意項級數(shù)及其斂散性判別法第四節(jié)冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、絕對收斂與條件收斂目錄/Contents第三節(jié)任意項級數(shù)及其斂散性判別法一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法定義8.4如果級數(shù)滿足,則稱級數(shù)為交錯級數(shù)．關(guān)于交錯級數(shù)斂散性的判別有下面定理：一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法如果交錯級數(shù)滿足(1),

(2)

,

則級數(shù)收斂,且其和,其余項的絕對值．上述萊布尼茲定理是判別交錯級數(shù)收斂性的方法,稱為萊布尼茲判別法．一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法(萊布尼茲（Leibniz）定理)定理8.6由條件(2)知,所有括號中的差都是非負(fù)的.,及.即.由第一種形式可知

隨

增大而增大；由第二種形式可得

．?dāng)?shù)列

存在極限

,根據(jù)極限的單調(diào)有界存在準(zhǔn)則,且

,一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法證明先證明前項和的極限存在,為此將寫成如下兩種形式：.一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法再證明前項和的極限.得,且．于是,由于,又由條件(1)知,因此一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法最后,由于,而,上式右邊也是一個交錯級數(shù),它也滿足收斂的兩個條件,所以其和小于級數(shù)的第一項,

即

.

顯然對交錯級數(shù),如果極限不存在,或存在但,則的一般項的極限不存在或不為零,此時交錯級數(shù)發(fā)散．一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法解級數(shù)為交錯級數(shù),滿足條件(1),(2),；根據(jù)萊布尼茲定理得級數(shù)收斂,且其和．【例1】

判別級數(shù)的斂散性：一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法如果取其前項和,作為的近似值,則所產(chǎn)生的誤差.一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法【例2】

判別級數(shù)的斂散性.解級數(shù)為交錯級數(shù),滿足條件(1),(2),；根據(jù)萊布尼茲定理得級數(shù)收斂,且其和．e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、絕對收斂與條件收斂目錄/Contents第三節(jié)任意項級數(shù)及其斂散性判別法一、交錯級數(shù)及萊布尼茲判別法正項負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)．可見,交錯級數(shù)是任意項級數(shù)的一種特殊情形．任意項級數(shù)斂散性的判別涉及絕對收斂與條件收斂．二、絕對收斂與條件收斂定義8.5設(shè)有任意項級數(shù),如果級數(shù)收斂,則稱級數(shù)絕對收斂；若級數(shù)發(fā)散,而級數(shù)收斂,則稱級數(shù)條件收斂；二、絕對收斂與條件收斂證明由于任意項級數(shù)絕對收斂,即級數(shù)收斂,令,則有且．由比較判別法可知級數(shù)收斂,從而級數(shù)也收斂.而,于是由性質(zhì)8.1得級數(shù)收斂．二、絕對收斂與條件收斂定理8.7如果任意項級數(shù)絕對收斂,則級數(shù)必收斂．（1）；（2）.根據(jù)比較判別法得收斂．所以級數(shù)絕對收斂．二、絕對收斂與條件收斂（1）因為,而級數(shù)收斂,解【例3】判別下列級數(shù)的斂散性,若收斂,指出其是絕對收斂還是條件收斂：（2）設(shè),

因為,

根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)

與級數(shù)

同斂散,而級數(shù)發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散．二、絕對收斂與條件收斂而交錯級數(shù),

,又,根據(jù)萊布尼茲定理得收斂.所以原級數(shù)條件收斂.二、絕對收斂與條件收斂則(1)當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂；(2)當(dāng)或

時,級數(shù)發(fā)散.(1)當(dāng)時,級數(shù)收斂,即級數(shù)絕對收斂;

(2)當(dāng)或時,由于數(shù)列遞增,故,二、絕對收斂與條件收斂如果任意項級數(shù),滿足條件,定理8.8對正項級數(shù)由本章第二節(jié)定理8.4(比值判別法)知,證明從而,所以級數(shù)發(fā)散．同理可證下面定理:則(1)當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂；(2)當(dāng)或時,級數(shù)發(fā)散.二、絕對收斂與條件收斂如果任意項級數(shù),滿足條件,定理8.9（1）

；（2）；（3）

；（4）.所以根據(jù)定理8.8得級數(shù)絕對收斂.二、絕對收斂與條件收斂判別下列級數(shù)的斂散性,若收斂,確定是絕對收斂還是條件收斂：【例4】（1）因為,解（2）因為,所以根據(jù)定理8.8得級數(shù)發(fā)散.（3）因為,所以根據(jù)定理8.9得級數(shù)絕對收斂．二、絕對收斂與條件收斂（4）因為,所以當(dāng)時,根據(jù)定理8.9得級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時,根據(jù)定理8.9得級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時,原級數(shù)為調(diào)和級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時,原級數(shù)為交錯級數(shù)條件收斂．二、絕對收斂與條件收斂e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics學(xué)海無涯,祝你成功！高等數(shù)學(xué)上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

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編第一節(jié)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)目錄/Contents第八章無窮級數(shù)第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法第三節(jié)任意項級數(shù)及其斂散性判別法第四節(jié)冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、冪級數(shù)的收斂域三、冪級數(shù)的運(yùn)算目錄/Contents第四節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念

的級數(shù)稱為的冪級數(shù),簡記為,其中均為常數(shù),稱為冪級數(shù)的系數(shù)．定義8.6形如當(dāng)時,上式變?yōu)榉Q為的冪級數(shù)．下面僅對進(jìn)行討論,對只要令,就可以轉(zhuǎn)化為.

一、冪級數(shù)的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第四節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的收斂域三、冪級數(shù)的運(yùn)算,可以用常數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法確定其斂散性．當(dāng)時,若冪級數(shù)收斂,則稱點(diǎn)為冪級數(shù)的收斂點(diǎn)；當(dāng)取一確定值時,冪級數(shù)就成為一個常數(shù)項級數(shù)若冪級數(shù)發(fā)散,則稱點(diǎn)為冪級數(shù)的發(fā)散點(diǎn).二、冪級數(shù)的收斂域記作.冪級數(shù)所有收斂點(diǎn)的集合,稱為冪級數(shù)的收斂域,在收斂域上,冪級數(shù)的和是的函數(shù),稱為冪級數(shù)

的和函數(shù),

記為..二、冪級數(shù)的收斂域顯然,和函數(shù)的定義域就是冪級數(shù)的收斂域,表示為我們已經(jīng)知道,冪級數(shù),當(dāng)時,該級數(shù)收斂于；當(dāng)時,該級數(shù)發(fā)散．因此它的收斂域為,并且當(dāng)時,有.二、冪級數(shù)的收斂域冪級數(shù)絕對收斂.（1）如果冪級數(shù)當(dāng)時收斂,則當(dāng)時,（2）如果冪級數(shù)當(dāng)時發(fā)散,則當(dāng)時,冪級數(shù)發(fā)散.二、冪級數(shù)的收斂域（阿貝爾（Abel）定理）定理8.10證明（1）先設(shè)是冪級數(shù)的收斂點(diǎn),即級數(shù)收斂.由級數(shù)收斂的必要條件可知.于是存在一個常數(shù),使得,二、冪級數(shù)的收斂域從而當(dāng)時,有,因為收斂.由比較判別法知收斂,即冪級數(shù)絕對收斂.二、冪級數(shù)的收斂域假設(shè)存在,

,而收斂.由（1）可知收斂,這與發(fā)散矛盾．所以對于任意的,只要,就有發(fā)散.二、冪級數(shù)的收斂域（2）用反證法證明．關(guān)于冪級數(shù)的收斂半徑,有下面定義.整個實數(shù)軸上都收斂,則必有一個確定的正數(shù)存在,使得當(dāng)時,由此可知,冪級數(shù)的收斂域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的一個區(qū)間.二、冪級數(shù)的收斂域如果冪級數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂,也不是在定義8.7冪級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時,冪級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時,冪級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.則統(tǒng)稱數(shù)為冪級數(shù)的收斂半徑,稱區(qū)間為冪級數(shù)的收斂區(qū)間,二、冪級數(shù)的收斂域、、或.這時收斂域只有一個點(diǎn)；如果冪級數(shù)只在處收斂,則規(guī)定收斂半徑,收斂,則規(guī)定收斂半徑,這時收斂域是.由處級數(shù)的斂散性可以確定冪級數(shù)的收斂域是二、冪級數(shù)的收斂域如果冪級數(shù)在整個實數(shù)軸上都定理8.11設(shè)冪級數(shù),若,則冪級數(shù)的收斂半徑為二、冪級數(shù)的收斂域證明根據(jù)比值判別法：考慮級數(shù),由于如果,當(dāng),即時,冪級數(shù)絕對收斂；二、冪級數(shù)的收斂域當(dāng),即時,級數(shù)發(fā)散,由于此時,從而級數(shù)發(fā)散.如果,則對任何,冪級數(shù)絕對收斂.

于是收斂半徑.如果,則對于除外的其他一切值,級數(shù)發(fā)散.于是收斂半徑.二、冪級數(shù)的收斂域于是收斂半徑.另外,我們可以根據(jù)根值法來求級數(shù)的收斂半徑.定理8.12設(shè)冪級數(shù),若,則冪級數(shù)的收斂半徑為二、冪級數(shù)的收斂域（1）

；

（2）；（3）

；

（4）.二、冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域：【例1】故收斂半徑．所以冪級數(shù)的收斂域是．,二、冪級數(shù)的收斂域（1）冪級數(shù)的系數(shù),解因為（2）冪級數(shù)的系數(shù),故收斂半徑．所以冪級數(shù)的收斂域是．,二、冪級數(shù)的收斂域因為（3）冪級數(shù)的系數(shù),因為,故收斂半徑,收斂區(qū)間為.二、冪級數(shù)的收斂域此級數(shù)(條件)收斂；當(dāng)時,冪級數(shù)成為交錯級數(shù),此級數(shù)發(fā)散．當(dāng)時,冪級數(shù)成為調(diào)和級數(shù),所以冪級數(shù)的收斂域為．二、冪級數(shù)的收斂域（4）冪級數(shù)的系數(shù),因為,故收斂半徑,收斂區(qū)間為.二、冪級數(shù)的收斂域此級數(shù)(絕對)收斂；此級數(shù)收斂．當(dāng)時,冪級數(shù)成為交錯級數(shù),當(dāng)時,冪級數(shù)成為級數(shù),所以冪級數(shù)的收斂域為．二、冪級數(shù)的收斂域（1）；（2）.其系數(shù),因為,故冪級數(shù)的收斂半徑,收斂區(qū)間為,即.二、冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域：【例2】（1）解法一

令,則冪級數(shù)變?yōu)?解當(dāng)時,冪級數(shù)成為級數(shù),此級數(shù)發(fā)散．所以冪級數(shù)的收斂域為．解法二由于這個冪級數(shù)的奇次項系數(shù)為零,故不能根據(jù)定理8.11或8.12直接求考慮級數(shù),

,因為,二、冪級數(shù)的收斂域收斂半徑.可利用比值或根值判別法來處理,當(dāng),即時,冪級數(shù)收斂；當(dāng),即時,冪級數(shù)發(fā)散,所以收斂半徑．當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散,故冪級數(shù)的收斂域為．二、冪級數(shù)的收斂域（2）令,則冪級數(shù)變?yōu)?其系數(shù),因為所以冪級數(shù)收斂半徑,收斂區(qū)間為,即．,二、冪級數(shù)的收斂域當(dāng)時,冪級數(shù)成為交錯級數(shù),此級數(shù)(條件)收斂；當(dāng)時,冪級數(shù)成為級數(shù),此級數(shù)發(fā)散．所以冪級數(shù)的收斂域為．二、冪級數(shù)的收斂域e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第四節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的收斂域三、冪級數(shù)的運(yùn)算1．代數(shù)運(yùn)算它們的收斂半徑分別是和,記,則三、冪級數(shù)的運(yùn)算設(shè),定理8.13＝,；＝,；＝,,其中．三、冪級數(shù)的運(yùn)算2．分析運(yùn)算則其和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù),即,．三、冪級數(shù)的運(yùn)算(連續(xù)性)

設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,定理8.14則它在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo),

即,且所得冪級數(shù)