第八章Advancedmathematics無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編第一節(jié)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)目錄/Contents第八章無窮級數(shù)第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法第三節(jié)任意項級數(shù)及其斂散性判別法第四節(jié)冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、正項級數(shù)斂散性判別法目錄/Contents第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法一、正項級數(shù)的概念正項級數(shù)是數(shù)項級數(shù)中比較特殊而又很重要的級數(shù),這是由于：如果級數(shù)滿足

（負(fù)項級數(shù)）,則級數(shù)

為正項級數(shù)．由性質(zhì)8.3,仍可用正項級數(shù)的斂散性判別法；如果級數(shù)中所有項的符號不規(guī)則,則級數(shù)為正項級數(shù)．由性質(zhì)8.2知正項級數(shù)的斂散性判別法適用于負(fù)項級數(shù)；如果級數(shù)

中前有限項的符號不規(guī)則,而為正項級數(shù)或負(fù)項級數(shù)．一、正項級數(shù)的概念如果級數(shù)

滿足

,則稱級數(shù)

為正項級數(shù)．定義8.3目錄/Contentse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、正項級數(shù)斂散性判別法第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性判別法一、正項級數(shù)的概念（正項級數(shù)的收斂定理）正項級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有界．即它的部分和數(shù)列是單調(diào)增加數(shù)列,如果數(shù)列

有界,則

存在,此時級數(shù)收斂．另一方面,由數(shù)列極限的性質(zhì)知道,如果級數(shù)收斂,則必有界．二、正項級數(shù)斂散性判別法定理8.1對于正項級數(shù),顯然有,證明否則,級數(shù)發(fā)散．由數(shù)列極限的單調(diào)有界存在準(zhǔn)則知道,我們還有如下正項級數(shù)斂散性的常用判別法．（1）若級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂；（2）若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法(比較判別法)設(shè)級數(shù)

與級數(shù)

都是正項級數(shù),且

,定理8.2對一般的正項級數(shù),要證明有上界往往是困難的,（1）如果級數(shù)收斂,則有界,因此也有界,所以級數(shù)收斂．（2）用反證法．假設(shè)級數(shù)收斂,由條件,根據(jù)已證明的第(1)部分結(jié)論可知級數(shù)收斂,這與已知條件發(fā)散矛盾,所以級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法證明設(shè),．因為,所以．那么由定理8.1知：其各項均大于正項級數(shù)的對應(yīng)項,后一個正項級數(shù)的一般項為,它是發(fā)散的．根據(jù)比較判別法得,調(diào)和級數(shù)加括號后得到的新級數(shù)發(fā)散,再由性質(zhì)4知調(diào)和級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法【例l】判別調(diào)和級數(shù)的斂散性．,解因為調(diào)和級數(shù)發(fā)散,所以根據(jù)比較判別法得,級數(shù)發(fā)散．當(dāng)時,因為當(dāng)時,有所以,二、正項級數(shù)斂散性判別法解當(dāng)時,有．【例2】判別級數(shù)的斂散性．這表明有界,故級數(shù)收斂．綜上所述,可得如下重要結(jié)論：當(dāng)時,級數(shù)收斂；當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散．調(diào)和級數(shù)是級數(shù)在時的一種特殊情形．二、正項級數(shù)斂散性判別法而級數(shù)的部分和

,即,（1）因為是正項級數(shù),且,而為時的幾何級數(shù),它是收斂的,所以根據(jù)比較判別法得級數(shù)收斂．二、正項級數(shù)斂散性判別法【例3】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）．所以根據(jù)性質(zhì)8.2知級數(shù)發(fā)散,再根據(jù)比較判別法得級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法而為調(diào)和級數(shù),它是發(fā)散的,（2）因為是正項級數(shù),且,而為時的等比級數(shù),它是收斂的,所以根據(jù)比較判別法得級數(shù)收斂．當(dāng)時,因為,顯然是發(fā)散的.當(dāng)時,因為,而是發(fā)散的,所以根據(jù)比較判別法得級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法【例4】討論級數(shù)的斂散性．解因為是正項級數(shù),且當(dāng)時,

,由級數(shù)去掉或增加有限項不影響級數(shù)的斂散性,下面有比較判別法的極限形式,它使用起來更為方便.二、正項級數(shù)斂散性判別法再結(jié)合比較判別法的條件,對于級數(shù),只要存在整正數(shù),當(dāng)時,有,仍可應(yīng)用比較判別法．則（1）當(dāng)時,級數(shù)與級數(shù)同斂散；

（2）當(dāng)時,若級數(shù)收斂,那么級數(shù)也收斂；

（3）當(dāng)時,若級數(shù)發(fā)散,那么級數(shù)也發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法定理8.3(比較判別法的極限形式)設(shè)級數(shù)與級數(shù)都是正項級數(shù),且（）,則由于,根據(jù)比較判別法得,收斂;若發(fā)散,則由于,再根據(jù)比較判別法得級數(shù)發(fā)散．類似地可證明（2）,（3）．二、正項級數(shù)斂散性判別法證明（1）由極限的定義可知,對,存在正整數(shù),當(dāng)時,有,即,因為,所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)與級數(shù)同斂散,而級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂．二、正項級數(shù)斂散性判別法（1）由于是正項級數(shù),當(dāng)時,

,令,解【例5】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）．所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)與級數(shù)同斂散,而級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂．二、正項級數(shù)斂散性判別法（2）由于是正項級數(shù),當(dāng)時,

,令,因為,（3）；（4）．因為,二、正項級數(shù)斂散性判別法（1）由于當(dāng)時,

,令,解【例6】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（2）由于當(dāng)時,

,因為,所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)與級數(shù)同斂散,而級數(shù)發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)

與級數(shù)同斂散,而級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂．

令,所以根據(jù)比較判別法的極限形式得,級數(shù)與級數(shù)同斂散,而級數(shù)發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散．（4）因為,而級數(shù)發(fā)散,所以根據(jù)比較判別法的極限形式得級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法（3）由于當(dāng)時,

,令,因為,則（1）當(dāng)時,級數(shù)收斂；（2）當(dāng),或時,級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時,級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法定理8.4(比值判別法,或達(dá)朗貝爾（）判別法)設(shè)有正項級數(shù),如果（）,即,因此,當(dāng)取時,有,

,．由于級數(shù)收斂(公比為且的等比級數(shù)),根據(jù)比較判別法得,級數(shù)收斂．二、正項級數(shù)斂散性判別法證明（1）當(dāng)時,可取一個適當(dāng)小的正數(shù),使得,由極限的定義,對于這樣的,存在整正數(shù),當(dāng)時,有,即,因此,當(dāng)取時,有,

,．由于級數(shù),從而,由性質(zhì)8.5(級數(shù)收斂的必要條件)得,級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法(2)當(dāng),或時,存在,使得,由極限的定義,對于這樣的,存在整正數(shù),當(dāng)時,有但是我們知道,當(dāng)時級數(shù)收斂,當(dāng)時級數(shù)發(fā)散,因此當(dāng)時不能判定級數(shù)的斂散性.二、正項級數(shù)斂散性判別法(3)當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．例如級數(shù),不論為何值都有.根據(jù)比值判別法得級數(shù)收斂．（2）因為是正項級數(shù),且,根據(jù)比值判別法得級數(shù)發(fā)散．二、正項級數(shù)斂散性判別法（1）因為是正項級數(shù),且,解【例7】判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）

.根據(jù)比值判別法得級數(shù)得原級數(shù)收斂.二、正項級數(shù)斂散性判別法【例8】判斷級數(shù)的斂散性.解因為,而,設(shè)有正項級數(shù),如果,則（1）當(dāng)時,級數(shù)收斂；（2）當(dāng)