2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在管理學(xué)中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=50q+0.05q2+1000，其中q為產(chǎn)量。求產(chǎn)量為100件時的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟意義。2.簡述需求價格彈性的概念及其在管理決策中的應(yīng)用。二、1.某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，其成本函數(shù)為C(x,y)=2x2+3y2+4xy+5，其中x和y分別為兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量。求在約束條件x+y=10下的最小成本，并說明最優(yōu)生產(chǎn)方案。2.解釋線性回歸分析的基本思想，并說明其在市場預(yù)測中的作用。三、1.某公司面臨是否投資一個新項目的決策。項目需要初始投資100萬元，預(yù)計在接下來3年內(nèi)每年末可獲得收益40萬元。假設(shè)公司要求的年回報率為10%，試計算該項目的凈現(xiàn)值（NPV），并判斷該項目是否值得投資。2.簡述排隊論模型的基本組成要素，并舉例說明排隊論在服務(wù)管理中的應(yīng)用。四、1.某市場調(diào)研顯示，某種產(chǎn)品的需求量Q與價格P之間的關(guān)系近似滿足Q=1200-2P。求當價格P=300元時的需求量，以及需求的價格彈性。2.假設(shè)某公司員工的月工資服從均值為5000元，標準差為800元的正態(tài)分布。求隨機抽取一名員工，其月工資超過6000元的概率。五、1.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每周生產(chǎn)的總成本（元）C與產(chǎn)量（件）q的關(guān)系式為C=0.04q2+30q+1500。若每件產(chǎn)品的售價為60元，求該工廠每周獲得最大利潤的產(chǎn)量及最大利潤。2.某公司有兩個工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其生產(chǎn)成本分別為C?=3x?+2和C?=2x?+4，其中x?和x?分別為兩個工廠的產(chǎn)量。若公司需要在總產(chǎn)量至少為100件的前提下，以最低成本生產(chǎn)這些產(chǎn)品，且兩個工廠的總產(chǎn)量相等，求最優(yōu)生產(chǎn)計劃及最低總成本。六、1.某公司有三種資源A、B、C，可用于生產(chǎn)兩種產(chǎn)品X和Y。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品X需要A2單位，B1單位，C0單位；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品Y需要A1單位，B0單位，C3單位。公司現(xiàn)有資源A100單位，B80單位，C240單位。若產(chǎn)品X的利潤為3元/單位，產(chǎn)品Y的利潤為4元/單位，問如何安排生產(chǎn)計劃可使公司總利潤最大？2.從一批產(chǎn)品中隨機抽取30件進行檢驗，發(fā)現(xiàn)其中有2件次品。試用估計法估計這批產(chǎn)品的次品率，并說明估計的依據(jù)。七、1.某公司經(jīng)理需要決定是否推出一種新產(chǎn)品。若推出，成功概率為0.6，成功則利潤為120萬元；失敗概率為0.4，失敗則虧損50萬元。若不推出，則利潤為0。若經(jīng)理以期望值作為決策依據(jù)，應(yīng)否決定推出新產(chǎn)品？2.簡述投入產(chǎn)出分析的基本原理及其在宏觀經(jīng)濟分析和管理決策中的應(yīng)用。八、1.某快餐店顧客到達服從泊松分布，平均每小時到達30人。服務(wù)員服務(wù)時間服從負指數(shù)分布，平均服務(wù)時間為2分鐘/人。求該快餐店空閑的概率，以及顧客需要等待的平均時間。2.某公司需要對員工進行培訓(xùn)以提高生產(chǎn)效率?，F(xiàn)有兩種培訓(xùn)方案：方案一成本為5000元，使員工效率提高10%；方案二成本為8000元，使員工效率提高15%。假設(shè)提高效率后，每位員工每年為公司帶來的額外收益增加3000元。問該公司應(yīng)選擇哪種培訓(xùn)方案？（不考慮時間價值）九、1.某產(chǎn)品的需求量在不同價格水平下的預(yù)測值如下表所示（單位：件）：|價格P(元)|需求量Q(件)||:---------|:-----------||10|500||20|400||30|300||40|200|試用最小二乘法擬合需求量Q關(guān)于價格P的直線回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟含義。2.解釋什么是風(fēng)險決策，并簡述決策樹在風(fēng)險決策分析中的作用。試卷答案一、1.邊際成本MC=dC/dq=50+0.1q。當q=100時，MC=50+0.1*100=60。經(jīng)濟意義：當產(chǎn)量為100件時，每增加一件產(chǎn)量，總成本大約增加60元。2.需求價格彈性(Ed)=(dQ/dP)*(P/Q)。它衡量價格變動引起的需求量變動的程度。在管理決策中，可用于分析價格變動對總收益的影響（Ed<1時，價格上升總收益增加；Ed>1時，價格上升總收益減少），指導(dǎo)定價策略。二、1.用拉格朗日乘數(shù)法。設(shè)L=2x2+3y2+4xy+5+λ(x+y-10)。求偏導(dǎo)并令其為零：Lx=4x+4y=0,Ly=6y+4x=0,Lx=x+λ=0,Ly=y+λ=0。解得x=4,y=6,λ=-16。代入目標函數(shù)得最小成本C(4,6)=2*42+3*62+4*4*6+5=16+108+96+5=225。最優(yōu)生產(chǎn)方案為生產(chǎn)A產(chǎn)品4件，B產(chǎn)品6件。2.線性回歸分析通過建立因變量與一個或多個自變量之間的線性關(guān)系式（回歸方程）來描述和預(yù)測現(xiàn)象。其基本思想是找到一條直線（或超平面），使得所有觀測點到該直線的“垂直”距離之和最?。ㄗ钚《朔ㄔ瓌t）。在市場預(yù)測中，可用于根據(jù)歷史數(shù)據(jù)預(yù)測未來銷售額、價格等。三、1.NPV=Σ[收益t/(1+r)^t]-初始投資=[40/(1+0.1)^1]+[40/(1+0.1)^2]+[40/(1+0.1)^3]-100=[40/1.1]+[40/1.21]+[40/1.331]-100≈36.36+33.06+30.05-100≈-0.63。由于NPV<0，該項目不滿足公司要求的回報率，不值得投資。2.排隊論模型通常包含輸入過程（顧客到達規(guī)律）、排隊規(guī)則（顧客等待方式）、服務(wù)機制（服務(wù)臺數(shù)量、服務(wù)時間分布）和排隊空間（系統(tǒng)容量限制）。例如，銀行柜臺可以看作一個排隊系統(tǒng)，顧客按一定規(guī)律到達，按規(guī)則排隊等待服務(wù)（如先到先服務(wù)），由多個出納員提供服務(wù)（服務(wù)臺），排隊空間有限。四、1.當P=300時，Q=1200-2*300=1200-600=600件。需求的價格彈性Ed=(dQ/dP)*(P/Q)=(-2)*(300/600)=-1。彈性值為-1，說明需求是單位彈性的，即價格變動百分比與需求量變動百分比相等。此時總收益（P*Q）不隨價格變動而變動。2.需求量Q服從N(5000,8002)分布。求P>6000的概率即求Z>(6000-5000)/800=500/800=5/8=0.625的概率。查標準正態(tài)分布表或使用計算器，P(Z>0.625)=1-P(Z≤0.625)≈1-0.734=0.266。所以概率約為0.266。五、1.利潤函數(shù)π=收入-成本=60q-(0.04q2+30q+1500)=-0.04q2+30q-1500。求導(dǎo)π'=-0.08q+30。令π'=0，得q=30/0.08=375。π''=-0.08<0，說明q=375是極大值點，即最大值點。最大利潤π(375)=-0.04*3752+30*375-1500=-0.04*140625+11250-1500=-5625+11250-1500=4125元。最優(yōu)產(chǎn)量為375件，最大利潤為4125元。2.總產(chǎn)量至少100件，且x?=x?。約束條件為x?+x?=100，即2x?=100，得x?=50,x?=50。總成本C=C?+C?=3x?+2+2x?+4=3*50+2+2*50+4=150+2+100+4=256元。最優(yōu)生產(chǎn)計劃為工廠1生產(chǎn)50件，工廠2生產(chǎn)50件，最低總成本為256元。六、1.設(shè)生產(chǎn)X產(chǎn)品x?件，Y產(chǎn)品x?件。目標函數(shù)：MaxZ=3x?+4x?。約束條件：*2x?+x?≤100(資源A)*x?≤80(資源B)*3x?≤240(資源C)*x?≥0,x?≥0(非負)*x?+x?=100(總產(chǎn)量相等)代入x?=100-x?到其他約束：2x?+(100-x?)≤100=>x?≤100；x?≤80；3(100-x?)≤240=>300-3x?≤240=>3x?≥60=>x?≥20。所以20≤x?≤80。當x?=80時，x?=20。此時Z=3*80+4*20=240+80=320。最優(yōu)生產(chǎn)計劃為生產(chǎn)X產(chǎn)品80件，Y產(chǎn)品20件，最低總成本為320元。2.次品率估計p?=2/30=1/15。這是用樣本中次品的比例（2次/總抽樣數(shù)30次）來估計整批產(chǎn)品的次品率。依據(jù)是當樣本量足夠大時，樣本比例可以作為總體比例的較好估計。七、1.期望收益E=0.6*120+0.4*(-50)=72-20=52萬元。若以期望值決策，因為52>0，應(yīng)決定推出新產(chǎn)品。2.投入產(chǎn)出分析基于“部門聯(lián)系平衡表”，揭示國民經(jīng)濟各部門之間相互依存、相互提供的投入產(chǎn)出關(guān)系。它通過計算直接消耗系數(shù)、完全消耗系數(shù)等，分析總產(chǎn)出變動對各部門產(chǎn)生的影響，或分析最終需求變動對各部門生產(chǎn)的影響，可用于宏觀經(jīng)濟預(yù)測、政策模擬、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)分析等管理決策。八、1.到達率λ=30人/小時，服務(wù)率μ=60人/小時(因為平均服務(wù)時間為2分鐘/人)。系統(tǒng)忙的概率P?=1-(λ/μ)=1-(30/60)=1-0.5=0.5。空閑概率即為P?=0.5。平均等待時間Lq=λ2/[μ(μ-λ)]=302/[60(60-30)]=900/[60*30]=900/1800=0.5小時=30分鐘。2.方案一：成本5000元，效率提高10%，年增收=0.1*3000*員工數(shù)。方案二：成本8000元，效率提高15%，年增收=0.15*3000*員工數(shù)。設(shè)員工數(shù)為N。方案一凈收益=0.1*3000*N-5000=300N-5000。方案二凈收益=0.15*3000*N-8000=450N-8000。比較：若300N-5000>450N-8000，則選方案一。解得8000>150N，N<53.33。若300N-5000<450N-8000，則選方案二。解得8000<150N，N>53.33。若300N-5000=450N-8000，則N=53.33。由于員工數(shù)N必須為整數(shù)，當N≤53時，方案一凈收益較高，應(yīng)選方案一；當N≥54時，方案二凈收益較高，應(yīng)選方案二。九、1.Q關(guān)于P的直線回歸方程為Q=a+bP。數(shù)據(jù)點(P?,Q?),(P?,Q?),(P?,Q?),(P?,Q?)分別為(10,500),(20,400),(30,300),(40,200)。計算P的均值bar{P}=(10+20+30+40)/4=25，Q的均值bar{Q}=(500+400+300+200)/4=375。計算b=Σ(Pi-bar{P})(Qi-bar{Q})/Σ(Pi-bar{P})2=[(10-25)(500-375)+(20-25)(400-375)+(30-25)(300-375)+(40-25)(200-375)]/[(10-25)2+(20-25)2+(30-25)2+(40-25)2]=[(-15*125)+(-5*25)+(-5*-75)+(15*-175)]/[(-15)2+(-5)2+(-5)2+(15)2]=[-1875-125+375-2625]/[225+25+25+225]=[-4250]/[500]=-8.5。計算a=bar{Q}-b*