2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——離散數(shù)學(xué)的基本概念考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5}，則(A∩B)∪C=?(A){1,2,3,4,5}(B){2,3,4}(C){3}(D){1,5}2.下列哪個(gè)命題公式是重言式？(A)p→?p(B)p∨?p(C)(p∧q)→p(D)q∧?q3.設(shè)關(guān)系R定義在集合A={a,b,c}上，R={(a,b),(b,c),(c,a)}，則關(guān)系R具有下列哪種性質(zhì)？（多個(gè)性質(zhì)可同時(shí)存在，請(qǐng)選擇所有符合條件的）(A)自反性(B)反自反性(C)對(duì)稱性(D)傳遞性4.函數(shù)f:A→B，其中A={1,2},B={3,4,5}，定義如下：f(1)=4,f(2)=5。則f是什么類型的函數(shù)？(A)單射(B)滿射(C)雙射(D)以上都不是5.設(shè)G是一個(gè)無(wú)向圖，頂點(diǎn)集V={v1,v2,v3,v4}，邊集E={(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v1),(v1,v3)}。則G是？(A)樹(B)連通圖但不是樹(C)不連通圖(D)空?qǐng)D二、填空題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）6.若集合A有3個(gè)元素，集合B有5個(gè)元素，則A×B的基數(shù)是________。7.謂詞邏輯公式?x(P(x)→Q(x))的意思是________。8.關(guān)系R的自反閉包Rr是通過(guò)在R中添加哪些元素得到的？請(qǐng)描述其定義。9.如果一個(gè)函數(shù)f:X→Y是雙射，那么它的逆函數(shù)f?1:Y→X定義為________。10.n階簡(jiǎn)單無(wú)向連通圖中，至少有________條邊。三、判斷題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將“正確”或“錯(cuò)誤”填在題后的括號(hào)內(nèi)）11.兩個(gè)集合的差集A-B包含所有屬于A但不屬于B的元素。()12.命題公式p∨(q∧r)與(p∨q)∧(p∨r)是等價(jià)的。()13.如果一個(gè)關(guān)系R是反自反的，那么它也是反對(duì)稱的。()14.任何無(wú)限集都至少與自然數(shù)集N具有相同的基數(shù)。()15.如果一棵樹有n個(gè)頂點(diǎn)，則它有n-1條邊。()四、計(jì)算題（每小題5分，共20分）16.化簡(jiǎn)邏輯公式：(p∧(q∨?r))∨(?p∧q)。17.設(shè)集合A={1,2,3}，關(guān)系R定義在A上，R={(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)}。寫出關(guān)系R的關(guān)系矩陣M_R。18.計(jì)算關(guān)系R={(1,a),(a,b),(b,c)}的傳遞閉包R*。19.設(shè)函數(shù)f:R→R，定義f(x)=x2+1。求f(2)+f(-1)的值。五、證明題（每小題10分，共20分）20.證明：對(duì)于任意集合A，B，C，有A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。（提示：可以使用雙重否定法或?qū)θ我庠豿進(jìn)行證明）21.證明：設(shè)R是集合A上的關(guān)系。如果R是自反的和對(duì)稱的，則R是等價(jià)關(guān)系。（提示：根據(jù)等價(jià)關(guān)系的定義，需要證明R也是傳遞的）---試卷答案一、選擇題1.(A)2.(B)3.(B)(C)4.(B)5.(B)二、填空題6.157.對(duì)于所有x屬于X，如果P(x)為真，則Q(x)也為真。8.在R中添加所有形如(x,x)的元素，其中x屬于集合A（關(guān)系R的定義域）。9.對(duì)于每個(gè)y屬于Y，如果存在唯一的x屬于X使得f(x)=y，則f?1(y)=x。10.n-1三、判斷題11.正確12.正確13.正確14.正確15.正確四、計(jì)算題16.q∨?r17.M_R=[[0,1,1],[0,0,1],[1,0,0]]18.R*={(1,a),(1,b),(a,b),(a,c),(1,c)}19.6五、證明題20.證明思路：對(duì)任意元素x，證明x∈A∩(B∪C)當(dāng)且僅當(dāng)x∈(A∩B)∪(A∩C)。-(∵)假設(shè)x∈A∩(B∪C)。則x∈A且x∈(B∪C)。所以x∈A且(x∈B或x∈C)。因此x∈(A∩B)或x∈(A∩C)。即x∈(A∩B)∪(A∩C)。-(∴)假設(shè)x∈(A∩B)∪(A∩C)。則x∈(A∩B)或x∈(A∩C)。所以(x∈A且x∈B)或(x∈A且x∈C)。因此x∈A且(x∈B或x∈C)。即x∈A且x∈(B∪C)。所以x∈A∩(B∪C)。-綜上，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。21.證明思路：根據(jù)等價(jià)關(guān)系的定義，需要證明R是自反的、對(duì)稱的、傳遞的。-自反性：對(duì)于任意x∈A，由于R是自反的，有(x,x)∈R。因此對(duì)于任意x∈A，(x,x)∈R，滿足等價(jià)關(guān)系定義的第一條。-對(duì)稱性：對(duì)于任意x,y∈A，如果(x,y)∈R，由于R是對(duì)稱的，有(y,x)∈R。滿足等價(jià)關(guān)系定義的第二條。-傳遞性：對(duì)于任意x,y,z∈A，如果(x,y)∈R且(