2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——?jiǎng)傮w動(dòng)力學(xué)中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代表字母填寫在答題紙上對(duì)應(yīng)位置。）1.下列關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的說(shuō)法中，正確的是（）A.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)H取決于剛體的質(zhì)量B.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)H取決于剛體的轉(zhuǎn)軸位置C.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量，與剛體質(zhì)量及其質(zhì)量分布有關(guān)D.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度有關(guān)2.一根質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒，分別繞通過(guò)其一端垂直于棒的軸和通過(guò)其質(zhì)心垂直于棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之比I_端/I_質(zhì)心為（）A.1/2B.1/3C.2D.33.一質(zhì)量為m、半徑為R的均勻薄圓環(huán)，其對(duì)于通過(guò)環(huán)心且垂直于環(huán)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（）A.1/2mR2B.3/2mR2C.mr2D.2mR24.根據(jù)平行軸定理，一個(gè)剛體對(duì)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于它對(duì)于通過(guò)質(zhì)心且平行于該軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I_質(zhì)心加上剛體質(zhì)量M與質(zhì)心到該軸距離d的平方的乘積，即I=I_質(zhì)心+Md2。應(yīng)用該定理時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（）A.該定理適用于任意形狀的剛體和任意轉(zhuǎn)軸B.該定理只適用于具有對(duì)稱軸的剛體C.該定理要求所選取的兩個(gè)平行軸必須都在剛體內(nèi)部D.該定理的應(yīng)用前提是兩個(gè)轉(zhuǎn)軸都與剛體的質(zhì)心連線垂直5.對(duì)于一個(gè)給定的剛體和一條確定的光滑轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（）A.在所有通過(guò)該軸的點(diǎn)上都是相同的B.只在通過(guò)其質(zhì)心的點(diǎn)上才為零C.在通過(guò)該軸的任意點(diǎn)上都是相同的D.是一個(gè)與轉(zhuǎn)軸位置無(wú)關(guān)的固定值二、填空題（每空2分，共20分。請(qǐng)將答案填寫在答題紙上對(duì)應(yīng)位置。）6.質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為l的不可伸長(zhǎng)的輕繩系于O點(diǎn)，在水平面內(nèi)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，小球?qū)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為_(kāi)_____。7.一質(zhì)量為M、半徑為R的均勻圓盤，其對(duì)于通過(guò)盤心且垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式為_(kāi)_____。8.平行軸定理表述為：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，等于剛體對(duì)于通過(guò)其質(zhì)心且平行于該軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I_質(zhì)心加上剛體質(zhì)量M與質(zhì)心到該軸距離d的平方的乘積，數(shù)學(xué)表達(dá)式為_(kāi)_____。9.一質(zhì)量為M、邊長(zhǎng)為a的正方形薄板，其對(duì)于通過(guò)中心且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為_(kāi)_____。10.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表征剛體______的物理量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，剛體越難改變其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。三、計(jì)算題（共70分。請(qǐng)寫出必要的文字說(shuō)明、方程式和重要演算步驟。）11.（15分）一半徑為R、質(zhì)量為M的均勻薄圓盤，求其對(duì)于通過(guò)盤心且垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。要求：先考慮將圓盤看作由無(wú)數(shù)個(gè)同心細(xì)圓環(huán)組成，再用積分方法求解。12.（15分）一根質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒，求其對(duì)于通過(guò)棒的中點(diǎn)且垂直于棒的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。要求：先計(jì)算通過(guò)質(zhì)心且垂直于棒的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再應(yīng)用平行軸定理求解。13.（15分）一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R的均勻球體，求其對(duì)于通過(guò)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。已知積分結(jié)果：∫r2sin2θdrdθdφ=(2/3)R3sin3θ。（提示：利用球坐標(biāo)系積分）14.（15分）一個(gè)質(zhì)量為M、邊長(zhǎng)為a的正方形薄板，求其對(duì)于通過(guò)中心且一邊平行于薄板邊的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。要求：先利用垂直軸定理，分別計(jì)算對(duì)過(guò)中心且垂直于板面、平行于一邊的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后求解。15.（10分）一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R的光滑半球殼，求其對(duì)于通過(guò)球心且垂直于半球大圓面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。要求：利用平行軸定理，先計(jì)算對(duì)通過(guò)質(zhì)心且平行于該軸的軸（即沿大圓直徑）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。提示：半球殼可看作由無(wú)數(shù)個(gè)平行圓環(huán)組成，質(zhì)心位于球心正下方半球高度的一半處（h=R/2）。試卷答案一、選擇題1.C2.C3.D4.D5.A二、填空題6.ml27.1/2MR28.I=I_質(zhì)心+Md29.1/6Ma210.抵抗轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的能力（或慣性）三、計(jì)算題11.解析思路：采用微元法，將圓盤分割為一系列同心細(xì)圓環(huán)。取半徑為r、寬度為dr的細(xì)圓環(huán)，其質(zhì)量dm=(M/πR2)*2πrdr=(2M/R2)rdr。該細(xì)圓環(huán)對(duì)通過(guò)盤心垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dI=dm*r2=(2M/R2)rdr*r2=(2M/R2)r3dr。對(duì)整個(gè)圓盤積分，I=∫??(2M/R2)r3dr=(2M/R2)*[r?/4]??=(2M/R2)*(R?/4)=1/2MR2。答案：1/2MR2。12.解析思路：先計(jì)算通過(guò)質(zhì)心且垂直于棒的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I_質(zhì)心。將細(xì)棒看作由無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)元組成，取離一端距離為x、質(zhì)量為dx=(M/L)dx的質(zhì)元，其到質(zhì)心距離為x=L/2。該質(zhì)元對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dI_質(zhì)心=dx*(L/2)2=(M/L)dx*(L/2)2=(ML2/4L)dx=(ML2/4)dx。對(duì)整個(gè)棒積分，I_質(zhì)心=∫??(ML2/4)dx=(ML2/4)[x]??=(ML2/4)*L=1/12ML2。再應(yīng)用平行軸定理，求通過(guò)中點(diǎn)且垂直于棒的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I。此軸與質(zhì)心軸平行，距離d=0。根據(jù)平行軸定理I=I_質(zhì)心+Md2=1/12ML2+M*02=1/12ML2。13.解析思路：采用球坐標(biāo)系積分。將球體分割為無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)元，取半徑為r、厚度為dr的薄球殼。球殼質(zhì)量dm=(M/((4/3)πR3))*((4/3)πr3)dr=(M/R3)r3dr。球殼對(duì)通過(guò)球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dI=dm*r2=(M/R3)r3dr*r2=(M/R3)r?dr。對(duì)整個(gè)球體積分，I=∫??(M/R3)r?dr=(M/R3)*[r?/6]??=(M/R3)*(R?/6)=2/5MR2。答案：2/5MR2。14.解析思路：利用垂直軸定理（慣量積性質(zhì)及平行軸定理）。設(shè)中心軸為z軸，過(guò)中心平行于x軸為x'軸。正方形對(duì)中心z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Izz已知為1/6Ma2。根據(jù)垂直軸定理，Ix'x'=Izz+Iyy。正方形關(guān)于過(guò)中心且互相垂直的三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，即Izz=Iyy=Ixx。設(shè)其為I?。則Ix'x'=I?+I?=2I?。又Ix'x'=1/12Ma2（因?yàn)閤'軸過(guò)質(zhì)心，且平行于一邊）。所以2I?=1/12Ma2，得到I?=1/24Ma2。所求軸過(guò)中心且一邊平行，即為x'軸或y'軸。該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即為Ixx'=I?=1/24Ma2。答案：1/24Ma2。15.解析思路：利用平行軸定理。半球殼質(zhì)量M。其質(zhì)心位于球心正下方半球高度的一半處，即質(zhì)心到球心的距離d=R/2。半球殼對(duì)通過(guò)質(zhì)心且平行于垂直軸（大圓直徑）的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I_質(zhì)心'已知為2/5MR2（可視為整個(gè)球體I=2/5MR2減去上半球部分，但此處直接使用該結(jié)