2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——平面幾何中的三角形面積問(wèn)題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為a=5,b=7,c=8。求該三角形的面積。二、在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。若a=3,b=5,C=60°。求△ABC的面積。三、已知點(diǎn)D,E分別是△ABC邊BC,CA上的點(diǎn)，且AD=2,DB=3,AE=2,EC=4。求△ADE的面積與△ABC面積的比值。四、已知△ABC的面積為S，邊長(zhǎng)分別為a,b,c。若a=6,b=8,且S=12√3。求邊長(zhǎng)c。五、在直角三角形ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=8。求△ABC的面積。六、已知△ABC內(nèi)接于圓O，圓的半徑為R=7。若AB=8,AC=6。求△ABC的面積。七、已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且S△ABP:S△ACP:S△BCP=2:3:6。若△ABC的面積為36。求點(diǎn)P到邊BC的距離。八、等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為12。求該等腰三角形的面積。九、已知△ABC中，AB=AC=10，BC=12。求△ABC的面積。十、在△ABC中，點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，DE=3。若△ABC的面積為S。求S。十一、已知四邊形ABCD中，AD//BC，AD=4,BC=6,∠DAB=45°,∠ABC=30°。求四邊形ABCD的面積。十二、在△ABC中，點(diǎn)E,F分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且AE=1,EB=2,AF=2,FC=1。求△AEF的面積與△ABC面積的比值。十三、已知△ABC的邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2+c2=2(a2+b2)。若a=5,b=7。求△ABC的面積。十四、已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a。求該正三角形的面積。十五、在△ABC中，若a=5,b=7,A=30°。求滿足上述條件的△ABC的面積（注意：可能存在兩個(gè)解，分別求出）。試卷答案一、解：由海倫公式，設(shè)半周長(zhǎng)s=(a+b+c)/2=(5+7+8)/2=10。面積S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[10(10-5)(10-7)(10-8)]=√[10*5*3*2]=√300=10√3。二、解：利用三角形面積公式S=1/2*ab*sinC。S=1/2*3*5*sin60°=15/2*(√3/2)=(15√3)/4。三、解：利用線段乘積比?！鰽BC的面積S_ABC=AD*BC/2=(AD+DB)*EC/2=(2+3)*4/2=5*4/2=10?！鰽DE的面積S_ADE=AD*AE/2=2*2/2=2。所以S_ADE/S_ABC=2/10=1/5。四、解：利用三角形面積公式S=1/2*ab*sinC，結(jié)合余弦定理。設(shè)∠B=θ，則sinθ=2S/(ab)=2*12√3/(6*8)=√3/2。θ=60°或120°。若θ=60°，則cosθ=1/2，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosθ=62+82-2*6*8*(1/2)=36+64-48=52。c=√52=2√13。若θ=120°，則cosθ=-1/2，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosθ=62+82-2*6*8*(-1/2)=36+64+48=148。c=√148=2√37。所以c=2√13或2√37。五、解：利用直角三角形面積公式S=1/2*底*高。S=1/2*AC*BC=1/2*8*6=24。六、解：利用正弦定理求角C，再求面積。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。sinA=a/(2R)=8/(2*7)=4/7。sinB=b/(2R)=6/(2*7)=3/7。sinC=√(1-sin2A)=√(1-(4/7)2)=√(1-16/49)=√(33/49)=√33/7。（也可sinC=√(1-sin2B)=√(1-(3/7)2)=√(1-9/49)=√(40/49)=2√10/7。兩者應(yīng)等價(jià)，或題目數(shù)據(jù)有誤。此處按sinC=√33/7計(jì)算。）面積S=1/2*ab*sinC=1/2*8*6*(√33/7)=24√33/7。七、解：利用面積比求高比。S_ABC=S_ABP+S_ACP+S_BCP=36。S_ABP/S_ABC=2/(2+3+6)=2/11。S_ABP=36*(2/11)=72/11。點(diǎn)P到邊BC的距離h_P=S_ABP/(AB/2)=(72/11)/(10/2)=(72/11)/5=72/55。八、解：過(guò)頂點(diǎn)作底邊高，構(gòu)造直角三角形。作AD⊥BC于D。設(shè)AD=h。在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2=>h2+(12/2)2=102=>h2+36=100=>h2=64=>h=8。面積S=1/2*BC*AD=1/2*12*8=48。九、解：利用等腰三角形性質(zhì)和余弦定理。作AD⊥BC于D。由等腰三角形性質(zhì)，BD=BC/2=12/2=6。在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2=>AD2+62=102=>AD2+36=100=>AD2=64=>AD=8。面積S=1/2*BC*AD=1/2*12*8=48。十、解：利用中位線性質(zhì)。DE是△ABC的中位線，所以DE//BC且DE=BC/2=a/2?！鰽DE與△ABC相似，相似比為1:2。所以△ADE的面積S_ADE=(1/2)2*S_ABC=1/4*S_ABC。由DE=a/2=3=>a=6。S_ABC=4*S_ADE=4*(DE2/(BC/2)2)*S_ABC=4*(32/(a/2)2)*S_ABC=4*(9/(6/2)2)*S_ABC=4*(9/9)*S_ABC=4*S_ABC。S_ABC=4*S_ADE=>S_ADE=S_ABC/4。所以S=S_ABC/4。十一、解：過(guò)點(diǎn)D作高DH交BC于H。在Rt△ADH中，AD=4,∠DAB=45°=>DH=AD*sin45°=4*(√2/2)=2√2。在Rt△BZH(或△BCH)中，BH=BC*cos30°=6*(√3/2)=3√3。四邊形ABCD的面積S=S△ADH+S△BCH=(AD*DH)/2+(BC*BH)/2=(4*2√2)/2+(6*3√3)/2=4√2+9√3。十二、解：利用線段乘積比?！鰽BC的面積S_ABC=(AB*AC*sinA)/2=(3*3*sinA)/2=(9*sinA)/2。△AEF的面積S_AEF=(AE*AF*sinA)/2=(1*2*sinA)/2=sinA。所以S_AEF/S_ABC=(sinA)/((9*sinA)/2)=2/9。十三、解：由a2+b2+c2=2(a2+b2)=>c2=a2+b2。利用海倫公式S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]。s=(a+b+c)/2=(a+b+a+b)/2=a+b。s-a=b,s-b=a。s-c=(a+b)-(a2+b2)^(1/2)。S=√[(a+b)(b)(a)(a+b-(a2+b2)^(1/2))]。S=√[ab(a+b-√(a2+b2))]。由勾股定理推廣(a2+b2)=(c2)=((a+b)2-2ab)=>√(a2+b2)=√((a+b)2-2ab)=a+b-2(ab)^(1/2)。代入S=√[ab(a+b-(a+b-2ab)^(1/2))]=√[ab(2ab)^(1/2)]=√[2ab*ab^(1/2)]=√(2a^(3/2)b^(3/2))。當(dāng)a=5,b=7時(shí)，S=√[2*5^(3/2)*7^(3/2)]=√[2*(5*7)^(3/2)]=√[2*35^(3/2)]=√[2*35*35^(1/2)]=√[70*35^(1/2)]=35^(1/2)*√70=√(352*2)=35√2。十四、解：利用正三角形面積公式S=(√3/4)*a2。S=(√3/4)*a2。十五、解：由正弦定理a/sinA=b=>a=b*sinA。代入a=5,A=30°=>5=7*sin30°=>5=7*(1/2)=>5=3.5。此等式不成立。說(shuō)明滿足條件a=5,b=7,A=30°的三角形不存在。（若題目意圖為求C，則sinC=(a*b*sinA)